复习高中数学课题教学设计案例docx.docx
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——数学建模、数学课题学习的教学设计的案例
1.升旗中的数学问题
（一）问题情景和任务
问题情景：
在不同地区，同一天的H出和H落吋间不尽相同；对一个地区而言，H岀日落时间又是随FI期的变化而变化的。
北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分LI期的升、降旗时刻表：
日期
升/降时刻
口期
升/降时刻
L1期
升/降时刻
1月1日
7:
36/16:
59
5月16日
4:
59/19:
23
9月20日
5:
59/18:
15
1月21日
7:
31/17:
20
6月3R
4:
47/19:
38
10月8日
6:
17/17:
46
2月10FI
7:
14/17:
43
6月22日
4:
46/19:
46
10月26日
6:
36/17:
20
3月20
6:
47/18:
06
7月9a
4:
53/19:
45
11月13日
6:
56/17:
00
3月22H
6:
15/18:
27
7月27日
5:
07/19:
33
12月1H
7:
16/16:
50
4月911
5:
46/18:
46
8月14日
5:
24/19:
13
12月200
7:
31/16:
51
4刀28H
5:
19/19:
05
9刀2R
5:
42/18:
45
任务1：
试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的人致规律；建立坐标系，将以上数据描在坐标系中；
任务2：
分别建立I」出时间和I」落时间关于I」期的近似函数模型；利用你建立的函数模型，计算“五一”国际劳动节、“十一”国庆节的升、降旗时间；
任务3：
利用年鉴、互联网或其它资料，查阅北京天安门2003年升旗时间表，检验模型的准确度，分析误差原因，考虑如何改进口己的模型。
任务4：
你所生活地区（城市、省、乡村等）某年不同的日期的“日出和FI落”的时间,建立一个函数关系。
（二）实施建议与说明
通过对升旗中数学问题的求解和讨论，进一步了解相关数学知识的意义和作用，体验数学建模的基木过程，增强数学知识的应用意识。
理解用函数拟合数据的方法，捉高对数据的观察、分析、处理、从中获取有益信息的能力。
在这个探求活动屮，要特别重视观察、分析、处理数据的一般方法、现代技术的合理使用、数学得到的结果与实际情况不同的原因分析。
1•组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，独立思考，完成每个人的“成果报告”。
2.任务1的建议：
为了便于在坐标系中观察表中数据，选择适当的计最单位，如升旗时刻以10分之为一个单位，H期可以天为单位，即1月1H为第0天，12月31日为第364天；可借助图形计算器或其它工具绘制各点，
3.任务2的建议：
利用自己的生活经验，或者访问家长、地理老师等，结合散点图，选择学过的适当函数,作为刻画该关系的模型；要应注意关键数据（如最早升（降）旗时间和最迟升（降）旗时间等）在确定拟合函数参数小的作用；
4.任务3的建议：
根据观察坐标平而上所绘制点的走向趋势，对以考虑分段拟合函数。
5.“成果报告”的书写建议
成果报告可以下表形式呈现。
表1：
探究学习成果报告表年级班—完成时间
1、课题组成员、分工、贡献：
成员姓名
分工与主要工作或贡献
2、探究的过程和结果：
3、参考文献:
4、成果的自我评价：
（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）
5、拓展（选做）：
在解决问题的过程中发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的内容；得
到的新结果或猜想等
6.体会：
描述在工作中的感受
5.成果交流：
建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体会。
6.评价建议：
在评价中，采用自评、互评、教师评价相结合的形式，善于发现别人工作中的特色，以
下几个方血的内容可作为重点考虑：
（1）求解过程和结果：
合理、清楚、简洁；
（2）独到的思考和发现；
（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
（4）发挥组员的特长，合作学习的效果；
（5）合理使用技术；
（6）查阅文献，获取信息的能力。
（三）教学参考信息
第七届数学知识应用初赛试题
题目：
在不同地区，同一天的口出和口落时间不尽相同；对一个地区而言，日出L1落时间有时虽日期的变化而变化的。
北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起，伴着太阳降落。
表1是天安门广场2003年部分FI期的升旗吋刻，表2是天安门广场2004年2月部分日期的升旗时刻。
请回答卜•而的问题：
（1）建立坐标系，将表1数据描在坐标系屮；
（2）根据已给数据建立数学模型，估算2004年“五一”国际劳动节的升旗时间：
（3）如果你打算在“五一”观看升旗，选择什么吋间到达观看点？
表1
日期
升旗时
刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时
刻
日期
升旗时
刻
1月1日
7：
36
4月9日
5：
46
7月9日
4：
53
10月8日
6：
17
1月21日
7：
31
4月28日
5：
19
7月27日
5：
07
10月26日
6：
36
2月10日
7：
14
5月16日
4：
59
8月14日
5：
24
11月13日
6：
56
3月2日
6：
47
6月3日
4：
47
9月2日
5：
42
12月1日
7：
16
3月22日
6：
15
6月22日
4：
46
9月20日
5：
59
12月20日
7：
31
表2
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
2月1日
7：
23
2月11日
7：
13
2月21日
7：
00
2月3日
7：
22
2月13日
7：
11
2月23日
6：
58
2月5日
7：
20
2月15日
7：
08
2月25日
6：
55
2月7日
7：
17
2月17日
7：
06
2月27日
6：
52
2月9日
7：
15
2月19日
7：
03
2月29日
6：
49
解：
（1）将数据描在坐标系中，如图1-23
（2）天体运动具冇很强的周期性，所以UHIU落时间成周期变化。
观察题内两表，2003年2月10日升旗时间是7：
14,2004年2月9日是7：
15,2刀
11FI是7：
13,可以认为，在这儿天，两年的升旗时间是相同的；
2003年3月2日升旗吋间是6：
47,2004年2月27日是6：
52,2M29H是6：
49,
再过两天就是3刀2口，显见，在这儿天，两年的升旗时间也是相同的。
取4月28日的5：
19和5月16日的4：
59,
因为升旗时间是早上，所以5刀16日就
y=ax+bxw[3,5.5]
记作瑞，讪日就记作5,于是有:
）9,27z
5—=4—a+b
6030
「9<15k
4—=5—a+b
6031
得y二-0.5709x+8.114
对于x=5,有y=-0.5709x5+8.114=5.26
5.26月为5：
15
所以，2004年“五一”国际劳动节的升旗时间约为5：
150
（3）因为5：
15是个近似值，且是估值，为了确保不误事，所以，2004年“五一”观
看升旗，就应该在4：
59（2003年5刀16日的升旗时刻）至5：
15这段时间到达。
2.正方体截面的形状
（一）问题情景与任务
用一个平而去截正方体，截而的形状是什么样的?
1.给出分类的原则（例如：
按截面图形的边数分类）。
按照你的分类原则，能得到多少
类不同的截而？
设计一种方案，找到截得这些形状截而的方法，并在正方体中画出示意图。
2.如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？
3.如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形？
4*.证明上而的结果。
5*.截面多边形的边数最多有几条？
请说明理由。
截面可能是正多边形吗？
可能冇几种？
应出示意图。
7*.如果截lij是三介J形，其liU积最人是多少？
画出示意图。
8*.你还能提岀哪些相关的数学问题？
（-）实施建议与说明
该课题学习设计的意图
1.按课标要求，在高中阶段金少要冇一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识白主探究、学习的过程,所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。
2.该课题涉及内容：
点、线、面的位置关系及直观图画法。
涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理，木课题学习的过程是对立体几何知识的一次全面的综合应用的过程。
3.该课题的学习很好的体现了立体儿何初步一章的基本要求：
有助于认识空间图形,培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及儿何直观能力。
4.在本章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个丿施展所学的舞台；另一方面，也达到了借此课题的研究促进学生对所学的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。
此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥口己的想像力和创造力。
课题学习的实施建议
采用形式：
形式一（能有效节省课吋，但要求学生已初步具备一些自主探索、学习的经验和能力）:
首先分组（2-3人）进行课下讨论研究，适学生悄况，可建议学生通过实验操作进行研究，最后形成小组的学习报告。
然后，根据学生的学习报告完成情况，在课上让部分小组报告他们所得到的结果，阐述理山。
并回答教师或英他学牛提岀的问题，共同研究讨论。
形式二（需要较多课吋，适合于没有自主探究、学习的习惯和经验的学生，有利于他们初步认识、了解口主学习的开展）：
让学生课前准备几个正方体模型，课堂上教师引导学生探索、讨论、发现。
可以让学生前后桌四人一组，对引导问题逐一研究讨论，分组报告研究结果，阐述理由，并接受教师和学生的质疑。
对课上未能很好解决的问题，或是山此而引发的新的问题，可以布置给学牛课下去探索、研究，并完成研究报告。
根据情况，可以适当安排时间让学生报告。
教学实施中要注意的几个问题：
1.无论是课下指导，还是课上教学实施过程zm,教师都要注意引导学牛从直观、感性的猜测，到严密、理性的思考和推理论证上来，帮助学牛认识到两者在数学研究中的关系;注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点，使学生学会欣赏别人，并从中吸取友谊经验；注意帮助学生清塑、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反思、调节自己的思维活动。
2.采用形式一时，教师应注意及时了解学生研究的进展情况，加强对学生H主研究、学习的指导；对没能在课上进行报告的小组，要进行及吋鼓励性评价，积极肯定其长处，并指出不足Z处，做到关注每一个学生。
冃的是让所有学生从中受益。
3.釆川形式二时，教师除了要关注1.中要点外，要特别注意是引导学牛进行主动研究、学习，而不是取而代之，白己给学生讲解。
此外，在布置的课下任务中，可以适当拓宽一些,不必仅局限于该课题学习内容本身。
如：
（I）通过对正方体棱上点确定的截而的作图方法的了解，利用儿何画板制作课件，通过课件进行研究。
（II）研究满足某些特定条件的截面形状及性质：
与棱平行的截面；与体对角线垂直的截面；等分正方体的截血等。
（III）一个装有定量液体（不满）的封闭中空的正方体随着位宜的某种规则（如：
以一棱为轴旋转）变化，液体与正方体各接触而的而积有怎样的性质，各接触而之间有怎样的关
系？
处于何位置吋接触而最小？
何位置时液而而积最小？
（IV）研究其它几何体截而形状。
4.帮助、指导学生完成课题学习报告
特别是以下几个方面：
课题学习屮发现的新问题，可拓展的或与其相关的问题；课题研究的白我评价，包括探究方法或原理的合理性、特色或创新点、不足Z处等；课题学习的反思和体会，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的，某种特别的感受等。
（三）教学参考信息
1.课题学习报告的结构形式：
图1-21
“正方体截面形状问题”课题学习报告—年级—班完成时间
课题名称：
研究的简要过程和方法，相关信息及参考文
献的来源和出处等
初步结论（写明所得结论的性质，如由实验观察得到、猜想、已证、能证、待证、已构造出、已找到实例等等）
发现的新问题、可拓展的、相关的问题
初步结论（写明所得结论的性质，如由实验观察得到、猜想、已证、能证、待证、已构造出、已找到实例等等）
课题探究的白我评价
课题学习的反思和体会
若上表填写时地域不够，可以自己增加副页，也町以自己设计一个研究报告的报表。
2.课题研究的部分结论
（1）多边形的种类：
三角形，四边形，五边形，六边形。
（2）截面三角形只能是锐角三角形（可以是等腰，等边）•如图1-21,
122_2
°2=夕2+小2<员+。
2,由预先定理cosA=—>0,所以边°所对角为锐角，
2bc
同理可得其余和也为锐角。
或由图可知边。
所对顶点在以d为直径的圆外，所以该角为锐介,同理其余角也为锐角。
（3）因为止方体的六个面中，冇三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体的面的交线，所以截面多边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形小至少有一对边平行。
截面多边形可以是正方形，矩形，菱形，平行四边形，等腰梯形，其它梯形。
五边形截而至少与两组平行而相交，所以有两组平行边，所以必然有两内角相等。
六边形截面一定与三组平行而都相交，所以必有三组平行边，所以有三组相等内角。
（4）截面多边形可以是正三角形，正四边形和正六边形。
建议教师提出下列相关引申的问题：
1满足特定条件的截而多边形形状：
*与正方体一棱垂宜的平面，截得的截面多边形只能是正方形；
*与正方体的一条棱平行的平面，截出的截面多边形只能冇正方形，矩形;
*与正方体的以体对角线垂直的平面，截得的截面多边形只能有正三角形，各内角相等的六边形；过正方体中心的平而，截得的截而都是中心对称的多边形，具体的只能有正方形,矩形，菱形，平行四边形，对边相等的六边形；
*与止方体的一面对角线平行的平面，截得的截面多边形只能是等边三角形，等腰三角形，等腰梯形，正方形，矩形，菱形，可拆分成一个等腰三角形和等腰梯形的五边形，可拆分成两个筹腰梯形的六边形。
2截而-定不会是以下儿种多边形。
*不町能是直角三角形和钝角三角形。
（证略）
*不可能是直角梯形。
证明:
如图1-22,若ZHEF=90°,又由正方体性质可得
AB丄HE,所以HE丄面ABD,所以HE//AA\所以
图1-22
AA'll\b\EFGH,所以AA7/GF,所以HE//GFf与是梯形才盾。
*不可能是正五边形。
证明：
因为疋方体有三对平行而，五条边是截面与正方体六个而中的五个而的交线，其中至少冇两组平行面，由“一平面与平行平面的两交线互相平行”矢口，至少冇两纽平行边,所以显然不可能是正五边形。
3.正方体水槽中的问题
侧面：
（1）侧而多边形的种类：
三角形，四边形，五边形
（2）侧面多边形性质：
三角形只能是直角三角形；四边形是直角梯形或矩形；五边形必有且仅有相邻三内/（］为肓角
（3）正方体位宜与侧面形状的关系
1正方体一而着地时：
侧而多边形为矩形。
2仅一条棱着地时：
d.含该棱或与该棱平行的一组侧面为矩形，另一组侧面为全等直角三角形或直角梯形或五边形
b.若水体积不变，形状为直角三角形或直角梯形或五边形的侧面面积不随倾斜度的变化而变化（即使形状山梯形变到五边形也不变）
c・若水体积不变，且一组侧而为直角梯形时，另一组侧面而积Z和为定值，定值等于直角梯形面积的两倍，或者说此时各侧面面积Z和不变。
d.若水体积不变且一组侧面为自角三角形时，另一组侧面面积的积为定值
3仅有一顶点着地时
若过着地顶点的体对角线与地而垂直时，水侧面多边形仅有两种：
等腰直角三角形和五边形；
b.若仅三个侧血时，则三侧面都是肓和三和形，且三个三角形的面积之积为定值（水体积不变条件下）。
水面与侧面关系：
正方体中水而而积的平方等于水侧而的三组相对而而积差的平方和（包括退化情形）。
相似拓展问题：
1正四面体的截面形状有三如形（锐角或肓角），四边形；
2四边形截面只可以是正方形，矩形，等腰梯形，无平行边的四边形。
3当截而与一对棱平行时，四边形截而面积的最大值问题
设正四面体棱长为截面一边长为〃7,则由比例关系可得另一边为a~m,所以截面
22
1何积=—"2）=—（加）"HS,此时截|侨为正方形。
244
4与不在同一平面内的四个顶点距离相等的截面冇7个。
分类：
*三个顶点在截面的同一侧，另一顶点在平面另一侧时冇4个平面；
*截面两侧各两个顶点时有3个平面。
3.打包问题
（一）问题情景和任务
问题情景：
有些商品是若干件被装在一起按包销伟的，例如一包火柴中装有TO盒火柴、一人包纸巾小装有10小包纸巾、--条香烟中装有10包香烟等。
不同商品的打包形式常常不同，请同学们收集一些这样的商品，先看其外观，再打开包装看内部的摆放形式。
哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？
为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包"法，这是指包内的物体都是长方体，打包时要求包内的相邻两物必须以全等的两个侧而來对接，打包后的结果仍是一个长方体。
这样，我们就可以更数学化地提问：
火柴等长方体的物品，按“规则打包”的方法将10包打成一个大包，表面积何时最小？
任务请先就10包纸i|J来讨论一下按“规则打包”的形式将10包纸i|J打成一个长方体
的大包，怎样打包可使表而积最小？
任务2：
请根据得到的结果，分别给出将以下1（）件以下物品打包示，具有最小表而积的打包形式：
（1）一盒火柴：
长=46mm宽=36mm高=16mm
（2）—本书：
长=183mm宽=129mm高=20mm
任务3：
解决下而的问题：
（1）不给出待打包的“基本长方体”的长（。
）、宽（b）、高（c）的具体尺寸,而只给心心c,你能知道按“规则打包”的形式将10个“基本长方体”打成一个长方体的人包,怎样打包可使表面积最小？
（2）数学上得到的10包纸巾表而积最小的打包形式和纸巾实际的打包形式一致吗？
为什么？
（3）
将6包纸山按“规则打包”的形式打成一包，表面积不同的打包方式有几种？
其1卩表面积最小的打包方式是怎样的？
（5*）将上题屮的6包改成12包或8
包，结果怎样？
有没有一个更一般的处理这
类问题程序？
（6*）你能设计一个其他类型的打包问题吗？
由打包问题你还能联想到那些相关的问题？
你有解决这些问题的想法或方案吗？
（-）实施建议和说明
1.可以组成学习探究小组，集体讨论，互相启发，分工合作，形成具体可行的探究方案，再形成每一个人的“成果报告”。
2.
图1-2
对完成任务1的建议：
（1）.初步观察：
先把10包纸巾
摆成图1-1的样子，再改摆成图1・2的
样了，哪一种摆法表面积小？
（2）.测量基本数据：
一包纸山的外形尺寸是多少？
（3）.分组讨论求解的方案：
建议先试着摆岀儿种打包方案，对■每一种打包方案由具体数据算出而积，再从中挑出最小的。
这样，按规则打包的规定，10包纸巾打成一包，到底有几种不同的摆放方式，就是问题的难点和关键所在。
不妨动手摆一摆、M-Mo
3.对完成任务3的建议：
对应于每i种摆放形式，如果用a、b、c分别表示一个“基本长方体”的长、宽、高,
其中心b$c,可以得到表而积表达式，用代数的方法比较大小。
4.“成果报告”的书写建议
成果报告可以用下表的形式呈现。
表1/打包问题”探究学习成果报告表年级—班完成时间
1、课题组成员、分工、贡献：
成员姓名
分工与主要工作或贡献
2、探究的过程和结果：
3、参考文献：
4、成果的自我评价：
（请说明方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等）
5、拓展（选做）：
在解决问题的过程屮发现和提出的新问题，可以延伸或拓广的
内容；得到的新结果或猜想等
6.体会：
描述在工作中的感受
5.成果交流：
建议以小组为单位，选出代表，在班级中报告研究成果，交流研究体
会。
6.评价建议：
采用自评、互评、教师评价相结合的形式，要善于发现别人工作中的特色，可主要考虑以下几个方而：
（1）求解过程和结果：
合理、清楚、简洁、正确；
（2）独到的思考和发现；
（3）提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
（4）发挥组员的特长，合作学习的效果。
（三）教学参考信息
打包问题的教学实况与说明
背景：
这是一个在小学高年级、初中、高中课堂上做过多次的数学建模讨论课。
比如以香烟盒的打包问题为背景，让学生体验面积极值问题的求解过程，对彖可以是高一或高二的学生。
事实上这个问题涉及的数学知识可多（如后面的扩充部分）可少（如貝通过计算解决十包朋的打包问题），经过适当改造，也可以用于初中其至小学高年级学生，若加上后面引屮的问题，则可作成数学课外兴趣小组的活动素材，引导学牛•通过研究性学习的方式解决问题。
一、课堂实录与说明
I.教师在全班展示事先准备的一包（内装10盒）火柴和一条香烟，可先看其外观，再打开包装看內部的摆放形式，然后教师向学生叙述下列问题：
一般地，市场上一包火柴内装10盒火柴；一条香烟内装10包香烟。
它们打包作外包装的形式一样吗？
哪一种包装形式更能节省外包装材料呢？
为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包”法，这是指打包时要求包内的相邻两物必须以全等的两个侧面來对接。
打包后的结呆仍是一个长方体。
我们可以更数学地提问：
火柴、香烟或其它长方体的物品，按“规则打包”的形式将10包打成一个人包，怎样打包可使表而积最小？
为了节省时间，请人家先就I0包香烟來讨论一下求解的方案。
【说明】为了使低年级的学生对问题的意义更清楚，教师应注意问题描述的直观性。
比
如“规则打包”的实物演示，非“规则打包”的实物演示。
为了使学生对“表面积最小”有所理解,
教师可以先把＞10包香烟摆成图1-3的样子，再改摆成图1-4的样子，问学生哪一种摆法
图1-3图1-4
表面积小，再问表面积最小的摆法是什么，学生对问题的理解就清楚了。
学生A：
老师，您能告诉我们一包香烟盒的外形尺寸吗？
教师：
町以，香烟盒的外形尺寸是a=88mm,b=58mm,c=22mm。
2.讨论五分种以后，教师在教室小巡视发现人多数学生的草稿纸上都有了对儿种摆放形式的表而积计算结果。
教师：
谁来说说你们讨论的解题方案是什么？
学生B：
先试着摆出几种打包方案，对每一种打包方案由具体数据算出面积，再从中挑出最小的，它对应的打包方案就是我们所要的。
教师：
小釦呵学的想法很好，请问你已经找到了几种打包方案？
学生C：
5种。
教师：
你觉得找全了吗？
学生C：
不清楚，好彖还冇。
教师：
其它同学找到几种
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