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新浙教版56章
第5章 一元一次方程
5.1__一元一次方程__[学生用书B40]
1.下列四个方程中,是一元一次方程的是( C )
A.x2-1=0 B.x+y=0
C.=2D.=2
【解析】两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的指数是1次的方程是一元一次方程,A中未知数指数是2次;B中有2个未知数;D中不是整式,选C.
2.[2014·海南]方程x+2=1的解是( D )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.[2014·滨州]方程2x-1=3的解是( D )
A.-1B.C.1D.2
4.下列结论中,正确的是( D )
A.y=-3是方程2-1-y=-2的解
B.x=1是-x=的解
C.-x+2=0的解是x=-4
D.x=2是方程2x+1=5的解
5.根据下列条件,能列出方程-x=6的是( A )
A.x的相反数的是6
B.x与的差等于6
C.x与6的和等于-
D.3的2倍等于某数x与的和
【解析】B不正确,列式为x-=6;C不正确,列式为x+6=-;D不正确,列式为3×2=x+.故选A.
6.下列方程中,解不是x=2的方程是( B )
A.x-2=-
B.3x-5=x
C.·(x-1)=0.5
D.2x+3=7
7.A种饮料比B种饮料单价少1元,小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了13元.如果设B种饮料单价为x元/瓶,那么下面所列方程正确的是( A )
A.2(x-1)+3x=13
B.2(x+1)+3x=13
C.2x+3(x+1)=13
D.2x+3(x-1)=13
8.甲、乙两人同时由A地骑摩托车去B地赶集,甲骑车每小时行35km,乙骑车每小时行30km,当甲到达B地时,乙距B地还有6km,设A,B两地的距离为x,则可列方程为( A )
A.=B.=
C.=D.=
【解析】相等关系:
甲骑xkm所用的时间=乙骑(x-6)km所用的时间.
9.观察图5-1-1并分析两只乌鸦的对话:
图5-1-1
根据图中给出的信息,可得正确的方程是(提示:
大、小两个量筒的形状均为圆柱形,圆柱的体积=底面积×高)( A )
A.π×x=π××(x+5)
B.π×x=π××(x-5)
C.π×82x=π×62×(x-5)
D.π×82x=π×62×5
【解析】相等关系:
大量筒中水的体积=小量筒中水的体积,选A.
10.请写出一个解为x=2的一元一次方程:
__2x-2=2(答案不唯一)__.
11.[2014·湘潭]七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共589人,到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人.设到雷锋纪念馆的人数为x人,可列方程为__2x+56=589-x__.
12.判断下列x的值是不是一元一次方程-2x+3=15+x的解:
(1)x=4;
(2)x=-4.
解:
(1)不是;
(2)是.
13.小华带x元去买甜点,若全买红豆汤圆刚好可买30杯,若全买豆花刚好可买40杯.已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元,依题意可列出方程为( A )
A.=+1B.=+1
C.=D.=
【解析】由题意知红豆汤圆每杯元,豆花每杯元,又因为豆花每杯比红豆汤圆便宜1元,
即=+1.
14.育才中学七年级上学期期末总结时,把1400元奖金按照两种奖项奖给22名学生,其中一等奖每人100元,二等奖每人50元,若设一等奖x人,可列方程为__100x+50(22-x)=1__400__.
【解析】等量关系:
一等奖奖金数+二等奖奖金数=1400.
15.[2014·娄底]已知关于x的方程2x+a-5=0的解是x=2,则a的值为__1__.
16.根据题意,列出方程:
(1)某数与-1的差的2倍等于8,求这个数;
(2)三个连续整数的和为147,求这三个连续整数;
(3)小明今年13岁,他爸爸今年39岁,几年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半?
(4)有甲、乙两支同样长的蜡烛,甲蜡烛可使用8小时,乙蜡烛可使用6小时.两支蜡烛同时点燃,问:
几小时后乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的一半?
解:
(1)设这个数为x,则根据题意得
2[x-(-1)]=8;
(2)设中间的数为n,则根据题意,得
n-1+n+n+1=147;
(3)设x年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半,则根据题意,得13+x=(39+x);
(4)设x小时后,乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的一半,则根据题意,得=1-x.
17.已知关于x的方程(m-3)xm+4+18=0是一元一次方程.试求:
(1)m的值;
(2)2(3m+2)-3(4m-1)的值.
解:
(1)由一元一次方程的特点得m+4=1,m-3≠0,
∴m=-3;
(2)原式=-6m+7,
把m=-3代入,得
原式=18+7=25.
5.2__等式的基本性质__[学生用书A42]
1.下列运用等式的性质,变形正确的是( B )
A.若x=y,则x-5=y+5
B.若a=b,则ac=bc
C.若=,则2a=3b
D.若x=y,则=
2.下列变形错误的是( D )
A.若2x-1=3,则2x=4
B.若3x-1=x+3,则2x-1=3
C.若2=x,则x=2
D.若2x=x-8,则3x=-8
【解析】A正确,方程两边同时加上1;B正确,根据等式性质1,方程两边同时减去x;C正确;D不正确,方程两边同时减去x,得x=-8.
3.下列变形正确的是( C )
A.4x-5=3x+2变形得4x-3x=-2+5
B.x-1=x+3变形得4x-1=3x+3
C.2x-5y=0变形得2x=5y
D.-3x=2变形得x=
4.[2014·咸宁]若代数式x+4的值是2,则x等于( B )
A.2 B.-2
C.6D.-6
5.设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,称得情况如图5-2-1所示.则选项中图形正确的是( B )
图5-2-1
【解析】设“●”的质量为a,“▲”的质量为b,“■”的质量为c,则3a=a+b,b=c,所以b=2a=c.A可看成:
a+b=2b,即a=b,不正确;B可看成2a=c,正确;C可看成2c>c+b,即c>b,不正确;D可看成a>c,不正确.
6.在方程3x-8=5x两边都减去__5x__,得-2x-8=0,这是根据__等式的性质1__;在方程-2x-8=0两边都加上__8__,得-2x=8,这是根据__等式的性质1__;在方程-2x=8两边都除以__-2__,得x=-4,这是根据__等式的性质2__.
7.用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式,并在括号内说明是根据等式的哪一条性质变形的:
(1)如果x+8=10,那么x=__10-8__(等式的性质1);
(2)如果4x=3x+15,那么4x__-3x__=15(等式的性质1);
(3)如果-3x=7,那么x=__-__(等式的性质2);
(4)如果x=-2,那么x=__-4__(等式的性质2).
8.根据等式的性质填空:
若4x-9=7,则4x=__16__,于是x=__4__;若4x=7x-9,则-3x=__-9__,于是x=__3__.
9.[2014·湖州]方程2x-1=0的解是x=____.
10.用等式的性质解下列方程,并写出检验过程:
(1)x-5=6;
(2)0.3x=45;
(3)5x+4=0;(4)2-x=3.
解:
(1)方程两边都加上5,得x-5+5=6+5,合并同类项,得x=11.
检验:
把x=11代入方程,左边=6,右边=6,
∵左边=右边,∴x=11是方程的解;
(2)方程两边都除以0.3,得
0.3x÷0.3=45÷0.3,得x=150.
检验:
把x=150代入方程,左边=150×0.3=45,右边=45,∵左边=右边,∴x=150是方程的解.
(3)方程两边都减去4,得5x+4-4=0-4,
合并同类项,得5x=-4,x=-.
检验:
把x=-代入方程,左边=5×+4=0=右边,∴x=-是方程的解.
(4)两边都减去2,得2-x-2=3-2,
合并同类项,得-x=1.
两边都乘以-4,得x=-4.
检验:
当x=-4时,左边=2-×(-4)=3=右边,所以x=-4是原方程的解.
11.利用等式的性质解下列方程:
(1)y+3=2;
(2)-y-2=3;
(3)9x=8x-6;(4)8m=4m+1.
解:
(1)方程两边都减去3,得y+3-3=2-3,
合并同类项,得y=-1;
(2)方程两边都加上2,得-y-2+2=3+2,
合并同类项,得-y=5,
方程两边都乘以-2,得y=-10;
(3)方程两边都减去8x,得9x-8x=8x-6-8x,合并同类项,得x=-6;
(4)方程两边都减去4m,得8m-4m=4m+1-4m,
合并同类项,得4m=1,
方程两边都除以4,得m=.
12.解下列方程:
(1)5x-2x=9;
(2)x+x=7;
(3)-3x+0.5x=10;(4)6m-1.5m-2.5m=3.
解:
(1)x=3;
(2)x=;(3)x=-4;(4)m=.
13.下列结论中不能由a+b=0得到的是( C )
A.a2=-abB.|a|=|b|
C.a=0,b=0D.a2=b2
14.若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解,则m的值为__-1__.
15.某天王强对张涛说:
“我发现5可以等于4.这里有一个方程:
5x-8=4x-8,等式两边同时加上8得5x=4x,等式两边同时除以x得5=4.”请你想一想,王强说得对吗?
请简要说明理由.
解:
不对.
理由:
∵5x-8=4x-8的解为x=0,当5x=4x两边同时除以x时,即两边同时除以0,0不能作除数.
∴王强说的不对.
16.根据下列条件列方程,并求出方程的解:
(1)某数的比它本身小6,求这个数;
(2)一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差.
解:
(1)设这个数是x,
根据题意,得方程x-x=6,
合并同类项,得x=6,
解得x=9;
(2)设这个数是x,根据题意,得方程2x+3=x-7,
解得x=-10.
17.足球的表面由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成的(如图5-2-2),黑、白皮块的数目比为3∶5.一个足球的表面一共有32块皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少?
图5-2-2
解:
设黑色皮块和白色皮块分别是3x块,5x块,
则根据题意,得3x+5x=32,
解得x=4.
黑色皮块和白色皮块各是12块,20块.
18.请欣赏一首诗:
太阳下山晚霞红,我把鸭子赶回笼;
一半在外闹哄哄,一半的一半进笼中;
剩下十五围着我,共有多少请算清.
你能用方程来解决这个问题吗?
解:
设共有x只鸭子,则x-x-x=15,
合并同类项,得x=15,
方程两边都乘以4,得x=60.
答:
共有60只鸭子.
5.3__一元一次方程的解法__
第1课时 利用移项、去括号法则解一元一次方程
[学生用书B42]
1.方程2x-7=3x+5可变形为( D )
A.2x+3x=7+5 B.2x-3x=7-5
C.2x+3x=-7-5D.2x-3x=5+7
【解析】把3x从等号的右边移到等号的左边,-7从等号的左边移到等号的右边,注意要变号.
2.对于方程-3t-7=12t+6,下列移项正确的是( A )
A.-3t-12t=6+7B.-3t+12t=-7+6
C.-3t-12t=7-6D.12t-3t=6+7
【解析】把12t从等号的右边移到等号的左边,-7从等号的左边移到等号的右边,移项时要变号.
3.解方程3-5(x+2)=x去括号正确的是( B )
A.3-x+2=xB.3-5x-10=x
C.3-5x+10=xD.3-x-2=x
4.给方程7(3-x)-5(x-3)=8去括号,下面正确的是( C )
A.21-x-5x+15=8
B.21-7x-5x-15=8
C.21-7x-5x+15=8
D.21-x-5x-15=8
5.方程4(2-x)-3(x+1)=6的解是( C )
A.x=7B.x=
C.x=-D.x=-7
【解析】去括号,得8-4x-3x-3=6.移项,得
-4x-3x=6-8+3.合并同类项,得-7x=1.系数化为1,得x=-.
6.已知2(x-1)+3=x,则x=__-1__.
【解析】去括号,得2x-2+3=x.移项,合并同类项,得x=-1.
7.解一元一次方程:
5(x+8)-5=6(2x-7).
解:
去括号,得5x+40-5=12x-42,
移项,得5x-12x=-42-35,
合并同类项,得-7x=-77,
系数化为1,得x=11.
8.解下列方程:
(1)5(x-5)+2x=-4;
(2)3(x-1)-2(2x+3)=0;
(3)4y-3(20-y)=6y-7(11-y).
解:
(1)去括号,得5x-25+2x=-4,
移项,合并同类项,得7x=21,
系数化为1,得x=3;
(2)去括号,得3x-3-4x-6=0,
移项,得3x-4x=3+6,
合并同类项,得-x=9,
系数化为1,得x=-9;
(3)去括号,得4y-60+3y=6y-77+7y,
移项,得4y+3y-6y-7y=-77+60,
合并同类项,得-6y=-17,
系数化为1,得y=.
9.解下列方程:
(1)6x-7=4x-5;
(2)x-6=x;
(3)5x-2=7x+8;
(4)1-x=3x+.
解:
(1)x=1;
(2)x=-24;
(3)x=-5;(4)x=-.
10.解下列方程:
(1)4x+3(2x-3)=12-(x+4);
(2)6+2x=7-.
解:
(1)x=;
(2)x=6.
11.解方程:
3(4x-1)+5(3x+2)=7(2x-1)+1.
解:
x=-1.
12.列出方程求x.
(1)x的3倍减5,等于x的2倍加1;
(2)x的30%加2的和的一半,等于x的20%减5.
解:
(1)依题意,得3x-5=2x+1,
解得x=6;
(2)依题意,得(x×30%+2)=x×20%-5,
解得x=120.
13.[2014·裕华区模拟]如图5-3-1,漠漠和嘉嘉做数学游戏:
假设嘉嘉抽到牌的点数为x,漠漠猜中的结果为y,则y等于( A )
A.2 B.3 C.6 D.x+2
图5-3-1
【解析】根据题意得:
(3x+6)÷3-x=y,
解得y=2.故选A.
14.小明家距县城有28km,除乘公共汽车外,还需步行一段路程,公共汽车的速度为36km/h,步行的速度为4km/h,小明从家到县城全程共需1h,则步行的路程为( A )
A.1kmB.2kmC.3kmD.4km
【解析】设步行的时间为xh,则乘车的时间为(1-x)h,依题意,得4x+36(1-x)=28,解得x=,4×=1(km).选A.
15.[2014·绍兴]如图5-3-2
(1),天平呈平衡状态,其中左侧秤盘中有一袋玻璃球,右侧秤盘中也有一袋玻璃球,还有2个各20g的砝码.现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘,并拿走右侧秤盘的一个砝码后,天平仍呈平衡状态,如图
(2),则被移动的玻璃球质量为( A )
A.10gB.15gC.20gD.25g
图5-3-2
【解析】设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为mg,ng,
根据题意得m=n+40;
设被移动的玻璃球的质量为xg,
根据题意得m-x=n+x+20,
x=(m-n-20)=(n+40-n-20)=10.
16.[2014·荆门]我们知道,无限循环小数都可以转化为分数.例如:
将0.转化为分数时,可设0.=x,则x=0.3+x,解得x=,即0.=.仿此方法,将0.化成分数是____.
17.已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解,求关于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解.
解:
把y=1代入方程2-(m-y)=2y,得
2-(m-1)=2,解得m=1.
把m=1代入关于x的方程得
(x-3)-2=2x-5,解得x=0.
18.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成,定义=ad-bc,若=8,求x的值.
解:
由定义3(x+1)-2(x-1)=8,
去括号,得3x+3-2x+2=8,
移项,得3x-2x=8-2-3,
合并同类项,得x=3,
∴原方程的解为x=3.
19.毕业在即,九年级某班为纪念师生情谊,班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册,分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念.其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元.请问这两种不同留念册的单价分别为多少元?
解:
设送给任课老师的留念册的单价为x元,
根据题意,得10x+50(x-8)=800,
解得x=20,∴x-8=12.
答:
送给任课老师的留念册的单价为20元,送给同学的留念册的单价为12元.
20.[2014·金华]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐,现把若干张这样的餐桌按如图5-3-3方式进行拼接.
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来,四周分别可坐多少人?
(2)若用餐的人数有90人,则这样的餐桌需要多少张?
图5-3-3
解:
(1)4×4+2=18;4×8+2=34;
(2)设这样的餐桌需要x张,由题意得4x+2=90,
解得x=22.
答:
这样的餐桌需要22张.
第2课时 利用去分母解一元一次方程[学生用书A44]
1.解方程-1=时,去分母正确的是( B )
A.3x-3=2(x-1)
B.3x-6=2(x-1)
C.3x-6=2x-1
D.3x-3=2x-1
【解析】方程两边同时乘以6,得3x-6=2(x-1),选B.
2.解方程+=时,为了去分母应将方程两边同时乘以( A )
A.30B.15
C.10D.6
【解析】分母2,3,5的最小公倍数为30,故方程两边同时乘以30.
3.方程=x-1的解是( B )
A.x=1B.x=2
C.x=3D.x=4
4.方程5x-1=+13的解是( B )
A.x=-3B.x=3
C.x=-D.x=
【解析】方程两边同时乘以2,得10x-2=x-1+26,解得9x=27,x=3,故选B.
5.若某数与8的和的等于这个数的,则这个数为( A )
A.B.
C.D.
【解析】设这个数为x,则(x+8)=x,解得x=.
6.[2014·厦门]方程x+5=(x+3)的解是__x=-7__.
7.解方程:
=.
解:
去分母,得__3x=2(x-1)__.
__去括号__,得3x=2x-2.
__移项__,得__3x-2x=-2__.
合并同类项,得x=-2.
8.解方程:
1-=.
解:
__去分母__,得10-2(x+2)=5(x-1).
__去括号__,得10-2x-4=5x-5.
__移项__,得-2x-5x=-5-10+4.
__合并同类项__,得-7x=-11.
__系数化为1__,得x=.
9.依据下列解方程=的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据.
解:
原方程可变形为=.(__分式的基本性质__)
去分母,得3(3x+5)=2(2x-1).(__等式的性质2__)
去括号,得9x+15=4x-2.(__去括号法则或乘法分配律__)
(__移项__),得9x-4x=-15-2.(__等式的性质1__)
合并同类项,得5x=-17.(__合并同类项__)
(__系数化为1__),得x=-.(__等式的性质2__)
10.解方程:
x-=-.
解:
去分母,得6x-3x+1=4-2x+4……①,
即3x+1=-2x+8……②,
移项,得3x+2x=8-1……③,
合并同类项,得5x=7……④,
∴x=……⑤.
上述解方程的过程中,是否有错误?
答:
__有__;如果有错误,则错在第__①__步.如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程.
解:
正确的解题过程:
去分母,得6x-3(x-1)=4-2(x+2),
去括号,得6x-3x+3=4-2x-4,
移项,合并同类项,得5x=-3,
系数化为1,得x=-.
11.解下列方程:
(1)-=;
(2)=.
解:
(1)x=2;
(2)y=.
12.解方程:
(1)-=1;
(2)=-.
解:
(1)去分母,得2x-(9x-1)=6,
去括号,得2x-9x+1=6,
移项,合并同类项,得-7x=5,
系数化为1,得x=-;
(2)去分母,得4(2x+5)=2(4x+3)-(2-3x),
去括号,得8x+20=8x+6-2+3x,
移项,合并同类项,得-3x=-16,
系数化为1,得x=.
13.解方程=6,下列几种解法中较为简便的是( B )
A.两边都乘以4,得3=24
B.用分配律去括号,得x-9=6
C.两边都乘以,得x-12=8
D.小括号内先通分,得×=6
14.解方程:
(1)2-=x-;
(2)-1=.
解:
(1)x=1;
(2)x=.
15.解方程:
=5x.
解:
x=-.
16.已知代数式的值比的值小1,求x的值.
解:
由题意得+1=,解得x=.
17.已知关于x的方程-=x-1与方程3(x-2)=4x-5有相同的解,求a的值.
解:
解方程3(x-2)=4x-5,得x=-1.
将x=-1代入方程-=x-1,
得-=-2,
解得a=-2.
专题五__解较复杂的一元一次方程__[学生用书B44]
(教材P125作业题第3题、第5题)
解方程:
(1)=-;
(2)x-=.
解:
(1)x=-2.7;
(2)x=.
【思想方法】解一元一次方程的一般步骤是:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤.有些特殊的方程有特殊的解法,如分母含有小数的方程,先利用分式的基本性质化为整数系数的方程;有大括号、中括号、小括号的方程可以由里向外按照小括号、中括号、大括号的顺序进行解题,也可以反过来按照大括号、中括号、小括号的由外向里的顺序进行解题.
解下列方程:
(1)=;
(2)=;
(3)-1=;
(4)+=2-.
解:
(1)x=-;
(2)x=;
(3)y=-1;
(4)y=.
解下列一元一次方程:
(1)-x=2;
(2)=x+.
解:
(1)x=-8;
(2)x=-.
已知x=2是关于x的一元一次方程=1的解,试求a的值.
解:
原方程去大括号,得
+10=9.
去中括号,得
-7+60=54.
去小括号,得
+4-21+180=162.
移项,合并同类项,得
=-1.
去分母,得
x+a=-2.
移项,得x=-2-a.
∵x=2,
∴-2-a=2.
∴a=-4.
解下列一元一次方程:
(1)-=3;
(2)=-1;
(3)x-=+.
解:
(1)x=5;
(2)x=;
(3)x=.
阅读下面的解题过程:
解方程|5x|=2.
解:
当5x≥0时,原方程可化为一元一次方程5x=2,解得x=;
当5x<0时,原方程可化为一元一次方程-5x=2,解得x=-.
请同学们仿照上面的解法,解方程3|x-1|