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新浙教版56章

第5章　一元一次方程

5.1__一元一次方程__[学生用书B40]

1．下列四个方程中，是一元一次方程的是（　C　）

A．x2－1＝0　　　　　　B．x＋y＝0

C.＝2D.＝2

【解析】两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的指数是1次的方程是一元一次方程，A中未知数指数是2次；B中有2个未知数；D中不是整式，选C.

2．[2014·海南]方程x＋2＝1的解是（　D　）

A．3　　　B．－3　　　C．1　　　D．－1

3．[2014·滨州]方程2x－1＝3的解是（　D　）

A．－1B.C．1D．2

4．下列结论中，正确的是（　D　）

A．y＝－3是方程2－1－y＝－2的解

B．x＝1是－x＝的解

C．－x＋2＝0的解是x＝－4

D．x＝2是方程2x＋1＝5的解

5．根据下列条件，能列出方程－x＝6的是（　A　）

A．x的相反数的是6

B．x与的差等于6

C．x与6的和等于－

D．3的2倍等于某数x与的和

【解析】B不正确，列式为x－＝6；C不正确，列式为x＋6＝－；D不正确，列式为3×2＝x＋.故选A.

6．下列方程中，解不是x＝2的方程是（　B　）

A.x－2＝－

B．3x－5＝x

C.·（x－1）＝0.5

D．2x＋3＝7

7．A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元．如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（　A　）

A．2（x－1）＋3x＝13

B．2（x＋1）＋3x＝13

C．2x＋3（x＋1）＝13

D．2x＋3（x－1）＝13

8．甲、乙两人同时由A地骑摩托车去B地赶集，甲骑车每小时行35km，乙骑车每小时行30km，当甲到达B地时，乙距B地还有6km，设A，B两地的距离为x，则可列方程为（　A　）

A.＝B.＝

C.＝D.＝

【解析】相等关系：

甲骑xkm所用的时间＝乙骑（x－6）km所用的时间．

9．观察图5－1－1并分析两只乌鸦的对话：

图5－1－1

根据图中给出的信息，可得正确的方程是（提示：

大、小两个量筒的形状均为圆柱形，圆柱的体积＝底面积×高）（　A　）

A．π×x＝π××（x＋5）

B．π×x＝π××（x－5）

C．π×82x＝π×62×（x－5）

D．π×82x＝π×62×5

【解析】相等关系：

大量筒中水的体积＝小量筒中水的体积，选A.

10．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：

__2x－2＝2（答案不唯一）__．

11．[2014·湘潭]七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为__2x＋56＝589－x__．

12．判断下列x的值是不是一元一次方程－2x＋3＝15＋x的解：

（1）x＝4；

（2）x＝－4.

解：

（1）不是；

（2）是．

13．小华带x元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买30杯，若全买豆花刚好可买40杯．已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，依题意可列出方程为（　A　）

A.＝＋1B.＝＋1

C.＝D.＝

【解析】由题意知红豆汤圆每杯元，豆花每杯元，又因为豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，

即＝＋1.

14．育才中学七年级上学期期末总结时，把1400元奖金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人100元，二等奖每人50元，若设一等奖x人，可列方程为__100x＋50（22－x）＝1__400__．

【解析】等量关系：

一等奖奖金数＋二等奖奖金数＝1400.

15．[2014·娄底]已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为__1__．

16．根据题意，列出方程：

（1）某数与－1的差的2倍等于8，求这个数；

（2）三个连续整数的和为147，求这三个连续整数；

（3）小明今年13岁，他爸爸今年39岁，几年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半？

（4）有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲蜡烛可使用8小时，乙蜡烛可使用6小时．两支蜡烛同时点燃，问：

几小时后乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的一半？

解：

（1）设这个数为x，则根据题意得

2[x－（－1）]＝8；

（2）设中间的数为n，则根据题意，得

n－1＋n＋n＋1＝147；

（3）设x年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半，则根据题意，得13＋x＝（39＋x）；

（4）设x小时后，乙蜡烛的长度是甲蜡烛长度的一半，则根据题意，得＝1－x.

17．已知关于x的方程（m－3）xm＋4＋18＝0是一元一次方程．试求：

（1）m的值；

（2）2（3m＋2）－3（4m－1）的值．

解：

（1）由一元一次方程的特点得m＋4＝1，m－3≠0，

∴m＝－3；

（2）原式＝－6m＋7，

把m＝－3代入，得

原式＝18＋7＝25.

5.2__等式的基本性质__[学生用书A42]

1．下列运用等式的性质，变形正确的是（　B　）

A．若x＝y，则x－5＝y＋5

B．若a＝b，则ac＝bc

C．若＝，则2a＝3b

D．若x＝y，则＝

2．下列变形错误的是（　D　）

A．若2x－1＝3，则2x＝4

B．若3x－1＝x＋3，则2x－1＝3

C．若2＝x，则x＝2

D．若2x＝x－8，则3x＝－8

【解析】A正确，方程两边同时加上1；B正确，根据等式性质1，方程两边同时减去x；C正确；D不正确，方程两边同时减去x，得x＝－8.

3．下列变形正确的是（　C　）

A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5

B.x－1＝x＋3变形得4x－1＝3x＋3

C．2x－5y＝0变形得2x＝5y

D．－3x＝2变形得x＝

4．[2014·咸宁]若代数式x＋4的值是2，则x等于（　B　）

A．2　　　　　　　　B．－2

C．6D．－6

5．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，称得情况如图5－2－1所示．则选项中图形正确的是（　B　）

图5－2－1

【解析】设“●”的质量为a，“▲”的质量为b，“■”的质量为c，则3a＝a＋b，b＝c，所以b＝2a＝c.A可看成：

a＋b＝2b，即a＝b，不正确；B可看成2a＝c，正确；C可看成2c＞c＋b，即c＞b，不正确；D可看成a＞c，不正确．

6．在方程3x－8＝5x两边都减去__5x__，得－2x－8＝0，这是根据__等式的性质1__；在方程－2x－8＝0两边都加上__8__，得－2x＝8，这是根据__等式的性质1__；在方程－2x＝8两边都除以__－2__，得x＝－4，这是根据__等式的性质2__．

7．用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并在括号内说明是根据等式的哪一条性质变形的：

（1）如果x＋8＝10，那么x＝__10－8__（等式的性质1）；

（2）如果4x＝3x＋15，那么4x__－3x__＝15（等式的性质1）；

（3）如果－3x＝7，那么x＝__－__（等式的性质2）；

（4）如果x＝－2，那么x＝__－4__（等式的性质2）．

8．根据等式的性质填空：

若4x－9＝7，则4x＝__16__，于是x＝__4__；若4x＝7x－9，则－3x＝__－9__，于是x＝__3__．

9．[2014·湖州]方程2x－1＝0的解是x＝____．

10．用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：

（1）x－5＝6;

（2）0.3x＝45；

（3）5x＋4＝0;（4）2－x＝3.

解：

（1）方程两边都加上5，得x－5＋5＝6＋5，合并同类项，得x＝11.

检验：

把x＝11代入方程，左边＝6，右边＝6，

∵左边＝右边，∴x＝11是方程的解；

（2）方程两边都除以0.3，得

0．3x÷0.3＝45÷0.3，得x＝150.

检验：

把x＝150代入方程，左边＝150×0.3＝45，右边＝45，∵左边＝右边，∴x＝150是方程的解．

（3）方程两边都减去4，得5x＋4－4＝0－4，

合并同类项，得5x＝－4，x＝－.

检验：

把x＝－代入方程，左边＝5×＋4＝0＝右边，∴x＝－是方程的解．

（4）两边都减去2，得2－x－2＝3－2，

合并同类项，得－x＝1.

两边都乘以－4，得x＝－4.

检验：

当x＝－4时，左边＝2－×（－4）＝3＝右边，所以x＝－4是原方程的解．

11．利用等式的性质解下列方程：

（1）y＋3＝2；　　　　

（2）－y－2＝3；

（3）9x＝8x－6;（4）8m＝4m＋1.

解：

（1）方程两边都减去3，得y＋3－3＝2－3，

合并同类项，得y＝－1；

（2）方程两边都加上2，得－y－2＋2＝3＋2，

合并同类项，得－y＝5，

方程两边都乘以－2，得y＝－10；

（3）方程两边都减去8x，得9x－8x＝8x－6－8x，合并同类项，得x＝－6；

（4）方程两边都减去4m，得8m－4m＝4m＋1－4m，

合并同类项，得4m＝1，

方程两边都除以4，得m＝.

12．解下列方程：

（1）5x－2x＝9；　　　

（2）x＋x＝7；

（3）－3x＋0.5x＝10;（4）6m－1.5m－2.5m＝3.

解：

（1）x＝3；

（2）x＝；（3）x＝－4；（4）m＝.

13．下列结论中不能由a＋b＝0得到的是（　C　）

A．a2＝－abB．|a|＝|b|

C．a＝0，b＝0D．a2＝b2

14．若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为__－1__．

15．某天王强对张涛说：

“我发现5可以等于4.这里有一个方程：

5x－8＝4x－8，等式两边同时加上8得5x＝4x，等式两边同时除以x得5＝4.”请你想一想，王强说得对吗？

请简要说明理由．

解：

不对．

理由：

∵5x－8＝4x－8的解为x＝0，当5x＝4x两边同时除以x时，即两边同时除以0，0不能作除数．

∴王强说的不对．

16．根据下列条件列方程，并求出方程的解：

（1）某数的比它本身小6，求这个数；

（2）一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差．

解：

（1）设这个数是x，

根据题意，得方程x－x＝6，

合并同类项，得x＝6，

解得x＝9；

（2）设这个数是x，根据题意，得方程2x＋3＝x－7，

解得x＝－10.

17．足球的表面由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成的（如图5－2－2），黑、白皮块的数目比为3∶5.一个足球的表面一共有32块皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？

图5－2－2

解：

设黑色皮块和白色皮块分别是3x块，5x块，

则根据题意，得3x＋5x＝32，

解得x＝4.

黑色皮块和白色皮块各是12块，20块．

18．请欣赏一首诗：

太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；

一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；

剩下十五围着我，共有多少请算清．

你能用方程来解决这个问题吗？

解：

设共有x只鸭子，则x－x－x＝15，

合并同类项，得x＝15，

方程两边都乘以4，得x＝60.

答：

共有60只鸭子.

5.3__一元一次方程的解法__

第1课时　利用移项、去括号法则解一元一次方程

[学生用书B42]

1．方程2x－7＝3x＋5可变形为（　D　）

A．2x＋3x＝7＋5　　　　B．2x－3x＝7－5

C．2x＋3x＝－7－5D．2x－3x＝5＋7

【解析】把3x从等号的右边移到等号的左边，－7从等号的左边移到等号的右边，注意要变号．

2．对于方程－3t－7＝12t＋6，下列移项正确的是（　A　）

A．－3t－12t＝6＋7B．－3t＋12t＝－7＋6

C．－3t－12t＝7－6D．12t－3t＝6＋7

【解析】把12t从等号的右边移到等号的左边，－7从等号的左边移到等号的右边，移项时要变号．

3．解方程3－5（x＋2）＝x去括号正确的是（　B　）

A．3－x＋2＝xB．3－5x－10＝x

C．3－5x＋10＝xD．3－x－2＝x

4．给方程7（3－x）－5（x－3）＝8去括号，下面正确的是（　C　）

A．21－x－5x＋15＝8

B．21－7x－5x－15＝8

C．21－7x－5x＋15＝8

D．21－x－5x－15＝8

5．方程4（2－x）－3（x＋1）＝6的解是（　C　）

A．x＝7B．x＝

C．x＝－D．x＝－7

【解析】去括号，得8－4x－3x－3＝6.移项，得

－4x－3x＝6－8＋3.合并同类项，得－7x＝1.系数化为1，得x＝－.

6．已知2（x－1）＋3＝x，则x＝__－1__．

【解析】去括号，得2x－2＋3＝x.移项，合并同类项，得x＝－1.

7．解一元一次方程：

5（x＋8）－5＝6（2x－7）．

解：

去括号，得5x＋40－5＝12x－42，

移项，得5x－12x＝－42－35，

合并同类项，得－7x＝－77，

系数化为1，得x＝11.

8．解下列方程：

（1）5（x－5）＋2x＝－4；

（2）3（x－1）－2（2x＋3）＝0；

（3）4y－3（20－y）＝6y－7（11－y）．

解：

（1）去括号，得5x－25＋2x＝－4，

移项，合并同类项，得7x＝21，

系数化为1，得x＝3；

（2）去括号，得3x－3－4x－6＝0，

移项，得3x－4x＝3＋6，

合并同类项，得－x＝9，

系数化为1，得x＝－9；

（3）去括号，得4y－60＋3y＝6y－77＋7y，

移项，得4y＋3y－6y－7y＝－77＋60，

合并同类项，得－6y＝－17，

系数化为1，得y＝.

9．解下列方程：

（1）6x－7＝4x－5；

（2）x－6＝x；

（3）5x－2＝7x＋8；

（4）1－x＝3x＋.

解：

（1）x＝1；

（2）x＝－24；

（3）x＝－5；（4）x＝－.

10．解下列方程：

（1）4x＋3（2x－3）＝12－（x＋4）；

（2）6＋2x＝7－.

解：

（1）x＝；

（2）x＝6.

11．解方程：

3（4x－1）＋5（3x＋2）＝7（2x－1）＋1.

解：

x＝－1.

12．列出方程求x.

（1）x的3倍减5，等于x的2倍加1；

（2）x的30%加2的和的一半，等于x的20%减5.

解：

（1）依题意，得3x－5＝2x＋1，

解得x＝6；

（2）依题意，得（x×30%＋2）＝x×20%－5，

解得x＝120.

13．[2014·裕华区模拟]如图5－3－1，漠漠和嘉嘉做数学游戏：

假设嘉嘉抽到牌的点数为x，漠漠猜中的结果为y，则y等于（　A　）

A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．x＋2

图5－3－1

【解析】根据题意得：

（3x＋6）÷3－x＝y，

解得y＝2.故选A.

14．小明家距县城有28km，除乘公共汽车外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36km/h，步行的速度为4km/h，小明从家到县城全程共需1h，则步行的路程为（　A　）

A．1kmB．2kmC．3kmD．4km

【解析】设步行的时间为xh，则乘车的时间为（1－x）h，依题意，得4x＋36（1－x）＝28，解得x＝，4×＝1（km）．选A.

15．[2014·绍兴]如图5－3－2

（1），天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20g的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的一个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图

（2），则被移动的玻璃球质量为（　A　）

A．10gB．15gC．20gD．25g

图5－3－2

【解析】设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为mg，ng，

根据题意得m＝n＋40；

设被移动的玻璃球的质量为xg，

根据题意得m－x＝n＋x＋20，

x＝（m－n－20）＝（n＋40－n－20）＝10.

16．[2014·荆门]我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：

将0.转化为分数时，可设0.＝x，则x＝0.3＋x，解得x＝，即0.＝.仿此方法，将0.化成分数是____．

17．已知y＝1是方程2－（m－y）＝2y的解，求关于x的方程m（x－3）－2＝m（2x－5）的解．

解：

把y＝1代入方程2－（m－y）＝2y，得

2－（m－1）＝2，解得m＝1.

把m＝1代入关于x的方程得

（x－3）－2＝2x－5，解得x＝0.

18．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad－bc，若＝8，求x的值．

解：

由定义3（x＋1）－2（x－1）＝8，

去括号，得3x＋3－2x＋2＝8，

移项，得3x－2x＝8－2－3，

合并同类项，得x＝3，

∴原方程的解为x＝3.

19．毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念．其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？

解：

设送给任课老师的留念册的单价为x元，

根据题意，得10x＋50（x－8）＝800，

解得x＝20，∴x－8＝12.

答：

送给任课老师的留念册的单价为20元，送给同学的留念册的单价为12元．

20．[2014·金华]一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图5－3－3方式进行拼接．

（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？

（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

图5－3－3

解：

（1）4×4＋2＝18；4×8＋2＝34；

（2）设这样的餐桌需要x张，由题意得4x＋2＝90，

解得x＝22.

答：

这样的餐桌需要22张．

第2课时　利用去分母解一元一次方程[学生用书A44]

1．解方程－1＝时，去分母正确的是（　B　）

A．3x－3＝2（x－1）　　　

B．3x－6＝2（x－1）

C．3x－6＝2x－1

D．3x－3＝2x－1

【解析】方程两边同时乘以6，得3x－6＝2（x－1），选B.

2．解方程＋＝时，为了去分母应将方程两边同时乘以（　A　）

A．30B．15

C．10D．6

【解析】分母2，3，5的最小公倍数为30，故方程两边同时乘以30.

3．方程＝x－1的解是（　B　）

A．x＝1B．x＝2

C．x＝3D．x＝4

4．方程5x－1＝＋13的解是（　B　）

A．x＝－3B．x＝3

C．x＝－D．x＝

【解析】方程两边同时乘以2，得10x－2＝x－1＋26，解得9x＝27，x＝3，故选B.

5．若某数与8的和的等于这个数的，则这个数为（　A　）

A.B.

C.D.

【解析】设这个数为x，则（x＋8）＝x，解得x＝.

6．[2014·厦门]方程x＋5＝（x＋3）的解是__x＝－7__．

7．解方程：

＝.

解：

去分母，得__3x＝2（x－1）__．

__去括号__，得3x＝2x－2.

__移项__，得__3x－2x＝－2__．

合并同类项，得x＝－2.

8．解方程：

1－＝.

解：

__去分母__，得10－2（x＋2）＝5（x－1）．

__去括号__，得10－2x－4＝5x－5.

__移项__，得－2x－5x＝－5－10＋4.

__合并同类项__，得－7x＝－11.

__系数化为1__，得x＝.

9．依据下列解方程＝的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．

解：

原方程可变形为＝.（__分式的基本性质__）

去分母，得3（3x＋5）＝2（2x－1）．（__等式的性质2__）

去括号，得9x＋15＝4x－2.（__去括号法则或乘法分配律__）

（__移项__），得9x－4x＝－15－2.（__等式的性质1__）

合并同类项，得5x＝－17.（__合并同类项__）

（__系数化为1__），得x＝－.（__等式的性质2__）

10．解方程：

x－＝－.

解：

去分母，得6x－3x＋1＝4－2x＋4……①，

即3x＋1＝－2x＋8……②，

移项，得3x＋2x＝8－1……③，

合并同类项，得5x＝7……④，

∴x＝……⑤.

上述解方程的过程中，是否有错误？

答：

__有__；如果有错误，则错在第__①__步．如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程．

解：

正确的解题过程：

去分母，得6x－3（x－1）＝4－2（x＋2），

去括号，得6x－3x＋3＝4－2x－4，

移项，合并同类项，得5x＝－3，

系数化为1，得x＝－.

11．解下列方程：

（1）－＝；

（2）＝.

解：

（1）x＝2；

（2）y＝.

12．解方程：

（1）－＝1；

（2）＝－.

解：

（1）去分母，得2x－（9x－1）＝6，

去括号，得2x－9x＋1＝6，

移项，合并同类项，得－7x＝5，

系数化为1，得x＝－；

（2）去分母，得4（2x＋5）＝2（4x＋3）－（2－3x），

去括号，得8x＋20＝8x＋6－2＋3x，

移项，合并同类项，得－3x＝－16，

系数化为1，得x＝.

13．解方程＝6，下列几种解法中较为简便的是（　B　）

A．两边都乘以4，得3＝24

B．用分配律去括号，得x－9＝6

C．两边都乘以，得x－12＝8

D．小括号内先通分，得×＝6

14．解方程：

（1）2－＝x－；

（2）－1＝.

解：

（1）x＝1；

（2）x＝.

15．解方程：

＝5x.

解：

x＝－.

16．已知代数式的值比的值小1，求x的值．

解：

由题意得＋1＝，解得x＝.

17．已知关于x的方程－＝x－1与方程3（x－2）＝4x－5有相同的解，求a的值．

解：

解方程3（x－2）＝4x－5，得x＝－1.

将x＝－1代入方程－＝x－1，

得－＝－2，

解得a＝－2.

专题五__解较复杂的一元一次方程__[学生用书B44]

（教材P125作业题第3题、第5题）

解方程：

（1）＝－；

（2）x－＝.

解：

（1）x＝－2.7；

（2）x＝.

【思想方法】解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤．有些特殊的方程有特殊的解法，如分母含有小数的方程，先利用分式的基本性质化为整数系数的方程；有大括号、中括号、小括号的方程可以由里向外按照小括号、中括号、大括号的顺序进行解题，也可以反过来按照大括号、中括号、小括号的由外向里的顺序进行解题．

　解下列方程：

（1）＝；

（2）＝；

（3）－1＝；

（4）＋＝2－.

解：

（1）x＝－；

（2）x＝；

（3）y＝－1；

（4）y＝.

　解下列一元一次方程：

（1）－x＝2；

（2）＝x＋.

解：

（1）x＝－8；

（2）x＝－.

　已知x＝2是关于x的一元一次方程＝1的解，试求a的值．

解：

原方程去大括号，得

＋10＝9.

去中括号，得

－7＋60＝54.

去小括号，得

＋4－21＋180＝162.

移项，合并同类项，得

＝－1.

去分母，得

x＋a＝－2.

移项，得x＝－2－a.

∵x＝2，

∴－2－a＝2.

∴a＝－4.

　解下列一元一次方程：

（1）－＝3；

（2）＝－1；

（3）x－＝＋.

解：

（1）x＝5；

（2）x＝；

（3）x＝.

　阅读下面的解题过程：

解方程|5x|＝2.

解：

当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x＝2，解得x＝；

当5x＜0时，原方程可化为一元一次方程－5x＝2，解得x＝－.

请同学们仿照上面的解法，解方程3|x－1|