湖北省襄阳市学年高一上学期期末数学试题.docx

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湖北省襄阳市学年高一上学期期末数学试题

湖北省襄阳市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

_、单选题

1.已知集合P={xe/V|l

A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2}D.{2}

2.已知半径为1

的扇形面积为上，

8

则扇形的圆心角为（）

3龙

3龙

一3兀小3兀

A,

B.——

C.——D.—

16

8

42

3.为了求函数/（x）=2r+3x-7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数

/（X）的部分对应值，如表所示：

X

1.25

1.3125

1.375

1.4375

1.5

1.5625

刃工）

-0.8716

-0.5788

-0-2813

0.2101

0.32843

0.64115

则方程2"+3x=7近似解（精确到0.1）可取为（）

A.1.32B.1.39C.1.4D.1.3

4.下列说法中正确的是（）

A.第一象限角一定不是负角B.—831°是第四象限角

C.钝角一定是第二彖限角D.终边与始边均相同的角一定相等

5.如图，设Q是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Pgy）,我们把丄叫做a的

x

正割，记作seca：

把丄叫做a的余割，记作csca.则sec—-esc—=（）

y33

a的坯边

6.

若dsine+cosO=hbsin&-cosO=l,贝ijab的值是（

7.如图，在圆C中，C是圆心，点在圆上，屈•況的值（）

A.只与圆C的半径有关

B.只与弦43的长度有关

C.既与圆C的半径有关，又与弦43的长度有关

D.是与圆C的半径和弦的长度均无关的定值

s.如果丄＜卜丫＜〔丄丫＜1,那么（）2⑵⑵

A.aa＜ah＜baB・aa＜ba＜ab

C.ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa

9.已知函数f（x）=2sin（2x+（p）（0＜（p＜7r）9若将函数/（x）的图象向右平移£个单

6

位后关于）'轴对称，则下列结论中不正确的是

5龙

A.（P=

6

B.（醫、0）是/'（x）图彖的一个对称中心

c.f（

D.X-"是/W图象的一条对称轴

6

10.已知定义在R上的函数y=/（x）满足以下三个条件：

①对于任意的XWR,都有

/（x+4）=/（x）；②对于任意的xl9x2eR,且0<為

函数y=/（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）

A./（7）＜/（4.5）＜/（6.5）B./（4.5）＜/（7）＜/（6.5）

C./（7）＜/（6.5）＜/（4.5）D./（4.5）＜/（6.5）＜/（7）

11.已知函数y二f（x）的图彖与函数y二a、（a＞0且aHl）的图象关于直线y=x对称,记g（x）二f（x）[f（x）+f

（2）-11.若yp（x）在区间住彳上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.[2,+8）B.（0,12（1,2）C.D.0,1

12.已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，当xXO时,

/（.丫）=丄（^x-a\+\x-3a若对任意xeR./（x-l）

2

数“的取值范闱为（）

■1r

E.

'V6応

C・

■11'

D.

"_V2至

L2'6]

6'6

_2'2]

2'2

二、填空题

14.已知向量a.b,满足间=2,b=1,且（万一扌5［丄（7+巧，则万与b的夹角8

为•

15•设定义在［-2,2］上的偶函数/（X）在区间［0,2］上单调递减，若/（1-/H）＜/（/«）,

则实数m的取值范围是.

16.已知点G是△43C的重心，点P是aGBC内一点，若

AP=AAB+//AC（2,z/g/?

）,则2+//的取值范围是.

三、解答题

17.计算与化简:

（1）2x（^2x^3）+（7^）亍-4x（鸟乜一返x8025+（-1024）°；

49

（3）

18.己知函数f（x）=Asin（处+0）

cos（180°+&）sm（90+a）tan（a+360J

等于20毫克/百亳升、小于80亳克/百亳升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量人于或

等于80亳克/百亳升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：

80

时间（小时）

70

60

50

40

30

20

10

该函数模型如卞，

八、44.21sinf—x|+0.21,0

〔54.27八I+10.1&x22

根据上述条件，回答以卞问题：

（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？

最大值是多少？

（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？

（时间以整小时计）（参考数据：

1119.82«2.28,lnl0.18«2.32,ln54.27«3.99）

20.如图，在R仏ABC中，已知3C=g,若长为2a的线段PO以点4为中点，问P©

与BC的夹角0取何值时AB•CQ的值最大？

并求出这个最人值.

21.若函数/⑴在xe［ci,b］时，函数值丫的取值区间恰为［；丄］,就称区间a、b为ba

/（X）的一个“倒域区间定义在［-2,2］±的奇函数g（x）,当xw［0,2］时，

g（x）=-x2+2x.

（I）求g（x）的解析式；

（II）求函数g（x）在［1,2］内的“倒域区间”;

（HD若函数g⑴在定义域内所护倒域区间”上的图像作为函数>=/?

（%）的图像，是否存在实数刃,使集合{（x,y）\y=h（x）}r\{（x,y）\y=x2+m}恰含有2个元素.

22.已知函数/?

Cv）=（；?

r—5w+i）yn+1为幕函数，且为奇函数.

（1）求加的值；

（2）求函数g（X）=//（%）+J1-2〃（X）,XE[0,y]的值域.

乙

参考答案

1.D

【解析】

试题分析：

e={x€/?

|x2+x-6=o}={—3,2}:

.PoQ={2}

考点：

集合的交集运算

2.C

【分析】

根据扇形的面积公式S=-ra,代入相应值即可.

2

【详解】

由5=i|cr|r得竺=丄xaxl2,所以a=—,

211824

故选：

C.

【点睛】

本题考查扇形的面积公式，若扇形的圆心角为©（弧度制）且为正值，半径为几弧长为/,周长为C,面积为S,贝il=ar,C=2厂+/,S=-lr=-ar2.

22

3.C

【分析】

由图表可知，函数/（x）的零点介于1.375到1.4375之间，所以方程T+3x=l的近似解介于1.375到1.4375之间，结合精确度和选项可得答案.

【详解】

由图表可知，函数/'（X）=2'+3X-7的零点介于1375到1.4375之间，

故方程2"+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间，

由于精确到0.1,结合选项可知1.4符合题意，

故选：

C.

【点睛】

本题考查二分法求方程的近似解，属于基础题.

4.C

【解析】试题分析：

比较锐角和第一彖限角的关系，比较第一象限角和第二象限角的关系，比较负角和第一彖限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论.第一象限的角一定不是负角，不正确，例如-300°，对于一831°是第四象限角，应该是第三象限角，错误，对于D,由于终边与始边均相同的角一定相等，比如0和360°,因此错误，故排除法得到C。

考点：

彖限角和轴线角

点评：

本题考查象限角和轴线角，是一个基础题，解题的关键是举岀特姝的角度来说明问题是错误或正确的.

5.B

【解析】

分析：

由题意结合新定义的知识整理计算即可求得最终结呆.

J.

secaTy

详解：

由题意结合新定义的知识可得：

——=y==

esca£x

y

mil2兀2龙2龙

贝\]sec——4-esc——=tail——=_J3・

333

本题选择3选项.

点睛：

本题主要考查三角函数的定义，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.

6.B

【解析】

Tcisin0+cos0=1，bsin&—cos0=1

1-cos0.1+cos0

:

.a=,b=

sin0sm0

.f1-cos01+cos01-cos20.

••ub=1

siii6sin0sin0・siii0

故选E

7.B

【分析】

根据数量积的定义去求，而与犹的夹角用卜科和I疋I去表示，即得结论.

【详解】

__-AB

设丽与走的夹角为8,在△43C中，cosC=・

AC

:

.AB-AC=\a^C|cos&二网阿.

-AB

2

AC

..AB•走的值只与弦AB的长度有关,故选：

B・

【点睛】

本题主要考查向量的数列积，结合圆的性质，属于基础题.

8.C

【解析】

根据函数/（x）=（|y在/?

是减函数，且扌<（卩

以1>b>ci>0,用f以aa

9.C

【解析】

函数/（x）=2sin（2x+0）的图彖向右平移乡个单位，可得g（x）=2sm（2x_f+0g（x）=2sm［2x—f+0的图象关于y轴对称，所以一匕+（p=kz®,k=0时可得

歼字，故/（x）=2sin（2x+字），/（0）=2sin（¥+字）=2sm^=2,/（

?

）=-2不OO30Z

正确，故选C.

10.B

【解析】

【分析】

由①可知函数f（x）是周期T=4的周期函数；由②可得函数f（x）在［0,2］上单调递增；由③可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称.于是f（4.5）=f（0.5）,f（7）=f（3）=f（l）,f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）.即可得出结果.

【详解】

定义在R上的函数V=f（x）满足以下三个条件：

由①对于任意的xWR,都有f（x+4）=f（x）,可知函数f（x）是周期T=4的周期函数；②对于任意的X】，x2GR,且0

（Xi）

③函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称.・・・f（4.5）=f（0.5）,f（7）=f（3）=f

（1）,f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）.Vf（0.5）

（1）

B.

【点睛】

本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，熟练掌握函数的周期性，单调性，对称性是解题的关键.

11.D

【解析】

【分析】

先表述出函数/（X）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数d进行讨论即可得到答案.

【详解】

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a\a>工1）的图象关于直线=兀对称，

则f（x）=log“x,记g（x）=/（x）[/（x）+/⑵—1]=（log“x）2+（log“2—1）log“x.

当。

>1时，若y=g（x）在区间£,2]上是增函数，）'=logflx为增函数，

1log2—11

令r=logax,te[log-Jog,2],要求对称轴—一笃一Wlog（巧，无解；

当Osv1时，若y=g（x）在区间[斗,2]上是增函数，）=log“x为减函数，

1Iop2-11

令r=te[loga2,loga-],要求对称轴一——Miog”，

解得所以实数a的取值范围是（0,|]»

故选D.

【点睛】

本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数.这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的人小有关，即当底数人于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减.

12.C

【分析】

根据绝对值的意义把函数写成分段函数，作出函数的图象，平移图象，寻找对应的条件求解.

【详解】

2）

•••当0vxS时，/（尤）=斗（川一兀+3/一.丫一4/）=+（一2尤）=一，

厶乙

当a2

当x>3a2时，/（x）=丄（兀一亍+x-3a‘一4。

'）=丄（2兀一8。

'）=x-4c/‘，

2

x+4几

x<-3cr

a2,

-3>a~

一兀

-a2

-cr,

a2

x-4a2,

x>3cr

即/©H

画出其图彖如下,

要使对任意xe/?

/（x-l）

则将/（x）向右平移一个单位得到的/（xT）的图彖,将f（x）向左平移一个单位得到的/（兀+1）的图彖，

•••对任意xwR,/（x-l）

•••/（x—l）的图彖都在/（兀+1）的图象的下方，

■y

1/111f\11

\.z

/、o

/\_/3

此时只需要4点在B点的左侧（或重合）即可,

A点的横坐标为-1，B点的横坐标为-4a2+1，

即4a‘一15-4cr+1，

即Scr52’即9

4

得一丄<^<-,

22

即实数°的取值范围是-扌,*,

故选：

C.

【点睛】

本题考查函数的表示方法和函数的奇偶性，考查函数的图象和图象变换，把不等式恒成立转

化为图彖位置关系是解决本题的关键.属于较难的题目.

13.丄

2

【分析】

—II（lnl1

由己知，得^（|）=liil<0,进而gIn-=e2=-・

22I2丿2

【详解】

2

【点睛】

本题考查了分段函数求值和对数恒等式，考查了计算能力，属于基础题.

n

14.一

3

【分析】

根据向量垂直，数量积为零，再由数量枳的定义可求.

【详解】

g_一

即a2-—ab--b2=0,•/1«|=2,b=1

2211

/.JZ?

=b・•・2x1xcos&二1,.・・cos0=-，又8w［0s］,.•.&=#.

故答案为：

—•

【点睛】

本题考查向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题.

「小

15.-1,-

L2丿

【分析】

由题意知函数在［0,2］上是减函数，在［-2,0］上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小,其函数值越人，由此可直接将转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出加的取值范|韦|

【详解】

解：

丁函数是偶函数，

Mm）=/（|mI）,

•・•定义在［-2,2］上的偶函数/⑴在区间［0,2］±单调递减，

/.0冬|m|<|1-m\£2,得一1W加v丄.

2

「1、故答案为一1，厅•

-°/

【点睛】

本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽彖函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解.本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为［-2,2］来限制参数的范围・做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价.

【分析】

由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可知：

当点P在线段BC上时，久+〃=1,当P2

与G重合时，人+“最小为一・

3

【详解】

由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可知：

当点P在线段BC上时，2+〃=1.

•••点P是»GBC内一点，.•.兄+“v1.

设线段BC的中点为D，则AG=|a5=|x|（AS+AC）=|（AS+AC）.

当P与G重合时，2+“最小，

112

此时，A+p=-+-=-・

333

2

•••点P是“GBC内一点,:

.-

（2、

故答案为：

lj,lj

【点睛】

本题考查平面向量基本定理及三点共线的充要条件，属中档题.

71

17.

（1）210；

（2）-；（3）・

2sma

【分析】

（1）利用根式与分数指数幕的互化和指数幕的运算性质即得.

（2）利用对数的运算性质即可求值.

（3）利用同角三角函数的基本关系式和正余弦函数的诱导公式化简即可.

【详解】

（1）2x（^2xy/3）6+-4x（鸟乜-i/2x8025+（-1024）°

49

「山-1

4

3

r<4Vi

（22）2

-4x

—

17丿J

11

=2（2^33/+

i

飞12

-2zx27+1

1£347丄？

=2（25x33）6+（2亍）了-4x——27x2z+1

4

=2x2*33+2—7—2+1=210：

（2）log,56.25+lg击+In（幺血）+log,（log216）=^252.52+1^10'2+111e2+log2（log224）

337

=2-2+-+log.4=-+2=-；

2*22

cos（180°+a）sin（90+a）tan（a+3600）

sin（-6Z-1805）cos（-180-a）cos（270一a）

-cosacosa・

sma

cosa

sina・（一cosa）・（_sin&）sina

【点睛】本题考查根式与分数指数幕的互化和指数幕的运算性质，考查对数的运算性质，考查同角三角函数的基本关系式和正余弦函数的诱导公式，属于基础题.

18.

（1）/（x）=2sin2x+^,周期为龙；

（2）[-1,2]

v6丿

【分析】

（1）由图象上的最低点，可求4•由图象与x轴的相邻两个交点之间的距离求岀周期，可求

3,再由最低点求可得函数的解析式.

（2）利用函数/（X）的定义域、图彖和单调性求值域.

【详解】

又函数/（X）的图彖与X轴的相邻两个交点之间的距离为扌,

1==2x—=7T9..e=2・

CD2

4龙…3龙7▽

..（p—2k7thgZ

32

/.（p=2k7T+—,kgZ,

6

「c兀兀

又•••0v0v—,：

・（p=—・

26

.•.ya）=2sin（2x+彳,周期为龙.

故当2x+£=¥时’/（^）mjn=2sin^=2x^-|^=-l；当2x+£=彳时,/⑴比=2sin#=2.

故函数f（x）的值域为［一1,2］.

【点睛】

本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题.

19.

（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最人值是44.42亳克/百亳升；

（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车

【分析】

（1）由图可知，当函数/（X）取得最大值时，0VXV2,此时0v¥<¥匸¥=扌时,

/（x）取得最人值，即可求得.

（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20亳克/100亳升可以驾车，此时x>2,解不等式/（^）<20,两边取对数，即可求出.•

【详解】

（1）由图可知，当函数/（X）取得最人值时，0vxv2・

此时f（x）=44.2Ism

/JJ.\

-x+0.21.

U丿

当£x=-时，即x=-时，函数/（X）取得最大值为儿址=44.21+0.21=44.42,322

故喝一瓶啤酒后1・5小时血液中的酒精达到最人值，最人值是44.42亳克/百亳升，

（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20亳克/100亳升可以驾车，此时x>2,

982由54・27/°"+10・18<20,得3v<—

54.27

982

两边取自然对数得lll^°3r

即-0.3%

2.28-3.99’

••A>

=3./,

-0.3

故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.

【点睛】本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题.

20.当6>=^-aiccos|时，丽耳最大，最大值为

【分析】

以直角顶点4为坐标原点，建立平面直角坐标系，设出各点的坐标，利用平面向量的坐标表示，进行数量积的运算，即可求解.

【详解】

以直角顶点4为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设AB=b,AC=c,则4（0,0）,3（00）（（0疋）八・・而=（»0）,貳=（一伤（?

）・

设P（x,y）,则Q（-x-y）.

•:

|pX|=yjx2+y2=a,:

.-a

PQ—（一2兀,—2y）,C0=（一兀，一一c）•

PQ・BC=（-2x,-2y）・（-b,c）=2bx—2cy=2a2cos0,.•.cos川—2cy=g

2crcr

乂AB'CQ=（b,（））•（—x,—y—c）=—bx,

・••当x=-d时,（ABCQX=ab・

\/max

b

此时y=o,cose=-一（a>z?

>o）・

a

b\

arccos——ka）

所以当:

.0=7r-circcos^时，莎耳最大，最大值为血.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查用向量方法解决问题的能力.

（III）m=-2

z、-x2+2x,xe[0,21

21-（I）^W=^+2^e[-Z0）

【解析】

z、—x"+2x9xe[o,21

试题分析:

⑴运用奇偶性得出掩）5+2和詁2』⑵得出方程组问题

*=g（b）=_b?

+2b

—=g（a）=-a2+2aa

a

（3）{11,利用方程思想求解A（x）={

—<—

ba

内恰有一个实数根，并且使方程亍+加=亍+2兀，在

-1内恰有一个实数

试题解析：

（I）当xe[—2,0）时，g（x）=—g（—x）=—-（—x）+2（—=x~

翠丿—£