初二初三衔接知识点汇总.docx
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初二初三衔接知识点汇总
初二初三衔接知识点汇总
二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率二次根式【1选择,1填空,6分】1、二次根式的概念:
式子叫做二次根式。
(1)最简二次根式:
被开方数的因数是整数,因式是整式,被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
(2)同类二次根式:
化为最简二次根式之后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式。
(3)分母有理化:
把分母中的根号化去叫做分母有理化。
(4)有理化因式:
把两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理化因式有:
与;与)2、二次根式的性质:
(1);
(2);(3)(a≥0,b≥0);(4)3、运算:
(1)二次根式的加减:
将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式。
(2)二次根式的乘法:
(a≥0,b≥0)。
(3)二次根式的除法:
二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式。
例题已知最简二次根式和是同类二次根式,求b的值。
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一元二次方程【1选择3分+】
(1)一元二次方程的一般形式:
(其中x是未知数,a、b、c是已知数,a≠0)
(2)一元二次方程的解法:
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法(3)一元二次方程解法的选择顺序是:
先特殊后一般,如果没有要求,一般不用配方法。
(4)一元二次方程的根的判别式:
当Δ>0时方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时方程有两个相等的实数根;当Δ<0时方程没有实数根,无解;当Δ≥0时方程有两个实数根(5)一元二次方程根与系数的关系:
若是一元二次方程的两个根,那么:
,(6)以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:
【典型例题】例1、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为__________,常数项为__________.例2、方程(m2?
1)x2?
(m?
1)x?
1?
0,当_________时,方程为一元二次方程;当________时,方程为一元一次方程。
例3、一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为()A.(x-1)2=m2+1B.(x-1)2=m-12
C.(x-1)2=1-m例4、用恰当的方法解一元二次方程
(1)3x2-10x+6=0D.(x-1)2=m+1
(2)3x(2-3x)=-1(3)(2x?
1)2?
3(2x?
1)?
0(4)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0例5、若p2?
3p?
5?
0,q2?
3q?
5?
0,且p?
q,试求1p2?
1q2的值?
旋转【1大题10分】2011转折平转折转2016一.概念:
1.旋转:
如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.例:
(1)旋转中心是什么?
旋转角是什么?
(2)经过旋转,点A、B、C分别移动到什么位置?
[来源:
学_科_网Z_X_X_K]3
2.中心对称图形:
图形绕着中心旋转180°后与自身重合称中心对称图形(如:
平行四边形、旋转中心旋转中心圆等)。
二.性质1.旋转的性质:
[]①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等).②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角).③经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等2.旋转三要点:
旋转①中心,②方向,③角度.三.应用1.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点P′(-x,-y)例.如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段AB?
关于原点对称的图形.y4321B-4-3-2-1O123x-1A-2-34
圆【1大10分】1、圆的有关性质在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径。
由圆的意义可知:
圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。
就是说:
圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。
心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法:
利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内接三角形。
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2、反证法反证法的三个步骤:
①假设命题的结论不成立;②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
例如:
求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明:
设有两个以上是钝角则两个钝角之和>180°与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推理1:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2:
圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。
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定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。
推理:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、圆周角顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3:
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。
六、圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆定理:
圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
例如图6—1,连EF后,可得:
∠DEF=∠B∠DEF+∠A=180°∴∠A+∠B=18ry7
∴BC∥DA七、直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点。
直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。
2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
直线和圆相交d<r;直线和圆相切d=r;直线和圆相离d>r;直线和圆相交d<r例如:
图6-2中,直线与圆O相割,有:
r>d图6-3中,直线与圆O相切,r=d图6-4中,直线与圆O相离,r<d八、切线的判定和性质切线的判定:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:
圆的切线垂直于经过切点的半径推理1:
经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。
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推理2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
例如图6-5中,O为圆心,AC是切线,D为切点。
∠B=90°则有BC是切线OD是半径OD⊥AC九、三角形的内切圆要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切∵分角线上的点到角的两边距离相等。
∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。
十、切线长定理经过圆外一点可作圆的两条切线。
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,如图6-69
B、C为切点,O为圆心。
AB=AC,∠1=∠2十一、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。
弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。
推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
例如图6-7,AB为切线,则有:
∠C=∠BAE,∠BAE=∠D∴∠C=∠D十二、和圆有关的比例线段相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
推理:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
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推理:
从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,如图6-8,若F为切点则有:
AF2=AH·AC,AG·AB=AF2EM·MD=BM·MGCN·NH=DN·NE十三、圆和圆的位置关系如图6-9若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则:
1、两圆外离d>R+r;2、两圆外切d=R+r;3、两圆相交R-r<d<R+r(R>r)4、两圆内切d=R-r;(R>r)5、两圆内含d<R-r。
(R>r)定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
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如图6-10,O1,O2为圆心,则有:
AB⊥O1O2,且AB被O1O2平分十四、两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6-11,若A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形,如图6-12,OO1A为直角三角形。
d2=(R-r)2+e2为外公切线长,又如图6-13,OO1C为直角三角形。
d2=(R十r)2+e’2为内公切线长。
十五、相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线(线段或孤)平滑地渡到另一条线上,通常称为圆弧连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图6-1412
十六、正多边形和圆各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。
定理:
把圆分成n(n>3)等分:
(l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形;
(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
定理:
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。
正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。
正n边形的每个中心角等于正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。
若n为偶数,则正n边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。
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十七、正多边形的有关计算正n边形的每个内角都等于定理:
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
十八、画正多边形1、用量角器等分圆2、用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形)。
正五边形的近似作法;二十、圆周长、弧长1、圆周长C=2πR;2、弧长二十一、圆扇形,弓形的面积l、圆面积:
;2、扇形面积:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为:
注意:
因为扇形的弧长(3)弓形的面积。
所以扇形的面积公式又可写为14
由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。
如果弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
若弓形的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。
二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图1、圆柱的侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的,如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。
(图6一16)AB叫圆柱的轴,圆柱侧面上平行轴的线段CD,C’D’,…都叫圆柱的母线。
圆柱的母线长都相等,等于圆柱的高。
圆柱的两个底面是平行的。
圆柱的侧面展开图是一个长方形,如图6-17,其中AB=高,AC=底面圆周长。
∴S侧面=2πRh圆柱的轴截面是长方形一边长为h,一边长为2RR是圆柱底半径,h是圆柱的高。
见图6-815
(2)圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。
初三下:
二次函数锐角三角形相似投影与视图16