高考数学一轮复习64不等式的解法一教案.docx

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高考数学一轮复习64不等式的解法一教案

2019-2020年高考数学一轮复习6.4不等式的解法

（一）教案

●知识梳理

1.一元一次不等式的解法.

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b（a≠0）的形式.

当a＞0时，解集为{x|x＞}；当a＜0时，解集为{x|x＜}.

2.一元二次不等式的解法.

任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2+bx+c＞0（或＜0）（其中a＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.

3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.

思考讨论

用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理?

●点击双基

1.（xx年全国Ⅳ，5）不等式＜0的解集为

A.{x|x＜－2或0＜x＜3}B.{x|－2＜x＜0或x＞3}

C.{x|x＜－2或x＞0}D.{x|x＜0或x＞3}

解析：

在数轴上标出各根.

答案：

A

2.（xx年北京）若不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），则实数a等于

A.8B.2C.－4D.－8

解析：

由|ax+2|＜6得－6＜ax+2＜6，

即－8＜ax＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），易检验a=－4.

答案：

C

3.（xx年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集是

A.（1，4）B.（－1，2）

C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）

解析：

由题意知f（0）=－1，f（3）=1.又|f（x+1）|＜1－1＜f（x+1）＜1，

即f（0）＜f（x+1）＜f（3）.

又f（x）为R上的增函数，∴0＜x+1＜3.∴－1＜x＜2.

答案：

B

4.（理）（xx年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为____________.

解析：

当x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1.∴x=1；

当x－1＜0时，原不等式化为x2+x－2≤0，解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1.

综上，x≥－2.

答案：

{x|－2≤x≤1}

（文）不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b=_______.

解析：

∵ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，

∴

解得或∴a+b=－或－3.

答案：

－或－3

5.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2－bx+c＞0的解集为_______.

解析：

令f（x）=ax2+bx+c，其图象如下图所示，

再画出f（－x）的图象即可.

答案：

{x|－3＜x＜－2}

●典例剖析

【例1】解不等式＜－1.

剖析：

这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.

解：

原不等式变为＋1＜0，

即＜0

－1＜x＜1或2＜x＜3.

∴原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜1或2＜x＜3｝.

【例2】求实数m的范围，使y=lg［mx2+2（m+1）x+9m+4］对任意x∈R恒有意义.

剖析：

mx2+2（m+1）x+9m+4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R.故应

解：

由题意知mx2+2（m+1）x+9m+4＞0的解集为R，则

解得m＞.

评述：

二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的条件：

若未说明是二次不等式还应讨论a=0的情况.

思考讨论

本题若要使值域为全体实数，m的范围是什么?

提示：

对m分类讨论，m=0适合.

当m≠0时，解m即可.

【例3】若不等式2x－1＞m（x2－1）对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.

剖析：

对于m∈［－2，2］，不等式2x－1＞m（x2－1）恒成立，把m视为主元，利用函数的观点来解决.

解：

原不等式化为（x2－1）m－（2x－1）＜0.

令f（m）=（x2－1）m－（2x－1）（－2≤m≤2）.

则

解得＜x＜.

深化拓展

1.本题若变式：

不等式2x－1＞m（x2－1）对一切－2≤x≤2都成立，求m的取值范围.

2.本题若把m分离出来再求m的范围能行吗?

●闯关训练

夯实基础

1.（xx年重庆，4）不等式x+＞2的解集是

A.（－1，0）∪（1，+∞）B.（－∞，－1）∪（0，1）

C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）

解法一：

x+＞2x－2+＞0＞0x（x－1）（x+1）＞0－1＜x＜0或x＞1.

解法二：

验证，x=－2、不满足不等式，排除B、C、D.

答案：

A

2.设f（x）和g（x）都是定义域为R的奇函数，不等式f（x）＞0的解集为（m，n），不等式g（x）＞0的解集为（，），其中0＜m＜，则不等式f（x）·g（x）＞0的解集是

A.（m，）B.（m，）∪（－，－m）

C.（，）∪（－n，－m）D.（，）∪（－，－）

解析：

f（x）、g（x）都是定义域为R的奇函数，f（x）＞0的解集为（m，n），g（x）＞0的解集为（，）.

∴f（－x）＞0的解集为（－n，－m），g（－x）＞0的解集为（－，－），

即f（x）＜0的解集为（－n，－m），g（x）＜0的解集为（－，－）.

由f（x）·g（x）＞0得或.又0＜m＜，

∴m＜x＜或－＜x＜－m.

答案：

B

3.若关于x的不等式－x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则实数m的值为_______.

解析：

由题意，知0、2是方程－x2+（2－m）x=0的两个根，∴－=0+2.∴m=1.

答案：

1

4.（xx年浙江，13）已知f（x）=则不等式x+（x+2）·f（x+2）≤5的解集是____________.

解析：

当x+2≥0，即x≥－2时.x+（x+2）f（x+2）≤5

2x+2≤5x≤.∴－2≤x≤.

当x+2＜0即x＜－2时，x+（x+2）f（x+2）≤5

x+（x+2）·（－1）≤5－2≤5，∴x＜－2.

综上x≤.

答案：

（－∞，］

5.（xx年宣武二模题）定义符号函数sgnx=

当x∈R时，解不等式（x+2）＞（2x－1）sgnx.

解：

当x＞0时，原不等式为x+2＞2x－1.∴0＜x＜3.

当x=0时，成立.

当x＜0时，x+2＞.x－+2＞0.

＞0.＞0.∴－＜x＜0.

综上，原不等式的解集为{x|－＜x＜3}.

6.（xx年北京西城区一模题）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）.

解：

原不等式变形为ax2+（a－2）x－2≥0.

①a=0时，x≤－1；

②a≠0时，不等式即为（ax－2）（x+1）≥0，

当a＞0时，x≥或x≤－1；

由于－（－1）=，于是

当－2＜a＜0时，≤x≤－1；

当a=－2时，x=－1；

当a＜－2时，－1≤x≤.

综上，当a=0时，x≤－1；当a＞0时，x≥或x≤－1；当－2＜a＜0时，≤x≤－1；

当a=－2时，x=－1；当a＜－2时，－1≤x≤.

培养能力

7.（xx年春季安徽）解关于x的不等式loga3x＜3logax（a＞0，且a≠1）.

解：

令y=logax，则原不等式化为y3－3y＜0，解得y＜－或0＜y＜，

即logax＜－或0＜logax＜.

当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＞a}∪{x|a＜x＜1}；

当a＞1时，不等式的解集为{x|0＜x＜a}∪{x|1＜x＜a}.

8.有点难度哟！

（xx年天津质量检测题）已知适合不等式|x2－4x+a|+|x－3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式.

解：

∵x≤3，∴|x－3|=3－x.

若x2－4x+a＜0，则原不等式化为x2－3x+a+2≥0.

此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，∴x2－4x+a＜0不成立.

于是，x2－4x+a≥0，则原不等式化为x2－5x+a－2≤0.∵x≤3，

令x2－5x+a－2=（x－3）（x－m）=x2－（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，∴a=8.

此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.

探究创新

9.关于x的不等式的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围.

解：

由x2－x－2＞0可得x＜－1或x＞2.

∵的整数解为x=－2，

又∵方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为－k和－.

①若－k＜－，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；

②若－＜－k，则应有－2＜－k≤3.

∴－3≤k＜2.

综上，所求k的取值范围为－3≤k＜2.

●思悟小结

1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.

2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.

3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.

4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.

●教师下载中心

教学点睛

1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.

2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.

3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.

拓展题例

【例1】（xx年南京市第二次质量检测题）解关于x的不等式＞x（a∈R）.

解法一：

由＞x，得－x＞0，即＞0.

此不等式与x（ax－1）＞0同解.

若a＜0，则＜x＜0；

若a=0，则x＜0；

若a＞0，则x＜0或x＞.

综上，a＜0时，原不等式的解集是（，0）；

a=0时，原不等式的解集是（－∞，0）；

a＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（，+∞）.

解法二：

由＞x，得－x＞0，即＞0.

此不等式与x（ax－1）＞0同解.

显然，x≠0.

（1）当x＞0时，得ax－1＞0.

若a＜0，则x＜，与x＞0矛盾，

∴此时不等式无解；

若a=0，则－1＞0，此时不等式无解；

若a＞0，则x＞.

（2）当x＜0时，得ax－1＜0.

若a＜0，则x＞，得＜x＜0；

若a=0，则－1＜0，得x＜0；

若a＞0，则x＜，得x＜0.

综上，a＜0时，原不等式的解集是（，0）；

a=0时，原不等式的解集是（－∞，0）；

a＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（，+∞）.

【例2】f（x）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f（a2－sinx）≤f（a+1+cos2x）对一切x∈R均成立，求实数a的取值范围.

解：

由题意可得

即

对x∈R恒成立.

故

∴－≤a≤.

2019-2020年高考数学一轮复习y%3dAsinωx+φ的图象和性质学案理

知识梳理：

（阅读教材必修4第49页—第60页）

1、在物理中，函数y=Asin（）（A>0,>0）表示一个振动时，A叫做振动的振幅，T=称为振动的周期，f=称为振动的频率，称为振动的相位；叫做初相。

2、五点法画函数y=Asin（）（A>0,>0）图象的简图，主要是先找了出确定曲线形状起关键作用的五个点，这五个点应使函数取得最大值和最小值及与x轴的交点，找出它们的方法是做变量代换，设X=，由X取0，，，，2来确定对应的x值。

3、变换法画函数y=Asin（）（A>0,>0）图象的一般方法是

1、

2、

3、

4、

5、

6、

一、题型探究

探究一：

五点法画函数y=Asin（）（A>0,>0）图象

例1：

设函数y=sincos（>0）的周期为。

（1）、求的它的振幅，初相；

（2）、用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

（3）、说明函数是图象是由y=sin的图象经过怎么的变换得到。

探究二：

三角函数图象的变换

例2：

下列函数中，周期为，且在上为减函数的是

（A）B）（C）D）

例3：

将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A）（B）

（C）（D）

例4：

16.（本小题满分12分）

已知函数

（I）求函数的最小正周期。

（II）求函数的最大值及取最大值时x的集合。

（A）（B）

（C）（D）

解析：

将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin（x－），再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.

【答案】C

例6:

（1）、下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）

A、y=sinB、y=sin

C、y=cosD、y=cos

（2）、函数y=Asin（）（>0，||，x）的部分图象如图所示，则函数的表达式为

A、y=-4sin

B、y=4sin

C、y=-4sin

D、y=4sin

探究四：

正弦型函数y=Asin（）（A>0,>0）的性质

例7：

（1）、已知函数f（x）=（1+cos2x）si，x，则f（x）是（）

A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数

（2）、已知函数f（x）=，对于上的任意的，有如下条件：

①、>②、>③、>，其中能使f（）>f（）恒成立的条件序号是。

（3）、函数y=3sin的图象为C，如下结论中正确的是。

①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③函数在区间是增函数；④由y=3sin2x的图象水平向右平移个单位长度可以得到图象C。

三、方法提升

1、五点法作图象要抓住四条：

（1）将原函数化为y=Asin（）或y=Acos（），

（2）、求周期；（3）、求振幅；（4）、列出一个周期内的五个特殊点，当画出某个区间上的较长象时，应列出该区间仙的特殊点。

2、把函数化为形如y=Asin（）的形式是讨论三角函数的基础，利用y=sinx的图象与性质研究y=Asin（）的图象及性质是化归思想的具体应用。

四、反思感悟：

五、课时作业：

一、选择题

1.若且，则是（）

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

答案C

2、化简=（）

A．sinB．cosC．1+cos2D．1+sin2

答案D

3.设函数，则下列结论正确的是

A．的图像关于直线对称

B．的图像关于点对称

C．把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像

D．的最小正周期为，且在上为增函数

答案C

4、已知

，函数的图象关于直线对称，则的值可以是

A.BC.D.

6.已知是第三象限角，并且sin=，则等于（）

A.BC.－D.－

7.要得到一个奇函数，只需将函数的图象（）

A．向右平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

8.（xx玉溪一中期中）要得到函数的图象，只要将函数的图象（　　）

A.向左平移个单位B.向左平移个单位

C.向右平移个单位　D.向右平移个单位

9.（xx湛江一模）已知函数，给出下列四个命题：

①若，则　②的最小正周期是　　　　　

③在区间上是增函数　　④的图象关于直线对称

其中真命题是

．①②④　　　　　．①③　　　　　．②③　　　　．③④

10.若函数

的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二、填空题

11.已知，则＝______________。

12.把化为积的形式，其结果为．

13.（xx上海十校联考）函数的单调递增区间是______________．

14.（xx上海重点九校）方程在区间内的解集

三、解答题

15、已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．

（1）若b=4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．

16.设函数

。

（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积。

17.（xx茂名一模）设函数

将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象。

（1）求函数的最小正周期；

（2）若且是偶函数，求的值。

18.（xx上海八校联考）已知函数

.

（1）求的最小正周期，并求的最小值；

（2）若，且，求的值

19.（xx闵行三中模拟）已知函数

是R上的奇函数，且最小正周期为π。

（1）求的值；

（2）求取最小值时的x的集合。