目的动态规划dynamicprogrammingDP是解决多.docx
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目的动态规划dynamicprogrammingDP是解决多
实验目的：
动态规划（dynamicprogramming，DP）是解决多阶段决策问题的一种有效的数量化方法，难度比较大，技巧性也很强。
Lindo/lingo是求解动态规划比较常用的软件之一，通过本实验，掌握动态规划模型在Lindo/lingo中的求解。
实验要求：
1.掌握动态规划的建模步骤及方法；
2.掌握动态规划模型在Lindo/lingo转化及求解；
3.学会动态规划的执行结果分析
实验内容及步骤：
例：
如图5-1所示，某地要从A向F地铺设一条输油管道，各点间连线上的数字表示距离。
问应选择什么路线，可是总距离最短？
图5-1
下面简单说明动态规划的求解建模过程，有助于下一步在Lindo/lingo中模型的表示，这是一个很重要的过程，建议读者不要跳过。
动态规划方法求解时注意事项：
（1）动态规划的三个基本要素：
阶段、状态、决策。
其中最关键的是状态的描述，最难的也是状态的设计，它关系到算法的时间、空间复杂度，也跟实现的复杂度息息相关。
（2）动态规划的两个条件：
最优子结构、无后效性，其中后效性往往容易被忽视。
（3）动态规划本质是用空间换时间，在有大量重叠子问题的时候其优势才能充分体现出来。
上例的求解过程如下：
（1）阶段与阶段变量：
先把问题从中间站B，C，D，E用空间位置分成5个阶段，阶段用阶段变量k来描述，k=1,表示第一阶段，k=2表示
第二阶段，…
（2）状态与状态变量：
每一阶段的左端点（初始条件）集合称为本阶段的状态（即开始的客观条件，或称阶段初态）。
如第三阶段有四个状
态S3=｛C1,C2，C3，C4｝,第四阶段有三个状态S4=｛D1,D2,D3｝,…
描述过程状态的变量称为状态变量：
用小写s1,s2,s3…表示第一，第二，第三…阶段的状态变量。
当处在状态C2时，我们可记s3=C2
（3）决策与决策变量：
如当处于C2状态时，下一步怎么走？
如何选择路线？
即如何决策。
是走向D1，还是走向D2？
当过程处于某一阶段的某一状态时，可以作出不同的决策（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定（或选择）叫决策。
如选择D2，记u3（C2）=D2即当处于C2状态时，下一步的决策为D2。
其中uk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。
一般地，用Dk（sk）表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。
如
D3（C2）=｛D1，D2｝显然，uk（sk）∈Dk（sk）。
（4）策略与最优策略：
每一阶段产生一个决策，5个阶段的决策就构成一个决策序列：
u1（s1），u2（s2），u3（s3），u4（s4），u5（s5）
称为一策略。
所谓策略是指按一定的顺序排列的决策组成的集合，也称决策序列。
这里的最短路径成为最优策略。
动态规划就是在允许策略集中选最优策略。
（5）状态转移方程：
是描述由第k阶段到第k+1阶段状态转移规律
的关系式。
sk+1=Tk（sk,uk）
上例中状态转移方程为：
sk+1=uk（sk）
（6）指标函数与最优指标函数：
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数。
相当于动态的目标函数，最后一个阶段的目标函数就是总的目标函数。
它分阶段指标函数和过程指标函数。
阶段指标函数是指第k阶段，从状态sk出发，采用决策uk时的效益，用dk（sk,uk）表示。
最优指标函数是指从第k阶段状态sk采用最优策略到过程终止时的最佳效益值，用fk（sk）表示。
例如：
d（C2,D1）是指由C2出发，下一阶段的决策是D1的两点间的距离。
即d（C2,D1）=4。
f2（B1）表示从B1到F的最短距离。
整个问题即为f1（A）=？
在这里我们选择逆序递推法求解：
倒退着从F向A走，每倒退一步，思想上问自己：
“从现在出发，退向何处？
到F的距离最短？
”我们分5步来解决问题：
（1）k=5时
求f5（s5）=？
此时状态集S5=｛E1，E2｝，故分情况讨论，由E1到终点F的最短距离为f5（E5）=5同理，f5（E2）=3。
故最优决策为：
u5∗（E1）=F，u5∗（E2）=F
k=4时下求f4（s4）=？
由于S4=｛D1,D2,D3｝下分四种情况进行讨论：
（5）k=1时，S1=｛A｝
再按计算顺序的反推可得最优策略：
u1∗（A）=B1.u2∗（B1）=C2.u3∗（C2）=D2.u∗4（D2）=E2.u5∗（E2）=F
从而得最优路径：
a58
最短距离为：
f1（A）=17。
由上面的过程可以看出，在求解的各个阶段利用了第k段和第k+1段的如下关系：
此递推关系称为动态规划的基本方程。
式（7.2）称为边界条件。
每步的计算过程及最路径如图5-2所示。
图5-2
当然本题也可用顺序法求解，但与逆序法无本质的区别。
一般来说，当初始状态给定时，用逆序解法，当终止状态给定时，用顺序解法。
若既给定了初始状态又给定了终止状态，则两种方法均可使用。
下面用lingo来求解动态规划问题
可以看出上面的求解过程是比较复杂的，用lingo来求解动态规划问题可以节省大量时间，但使用前要把问题进行一个转化，让lingo知道我们在用它做什么。
为了完成模型的转化，有必要对最短路问题的本质进行探讨。
其实最终路问题用数学语言来表示就变成如下问题：
给定N个点Pi（i=1,2,．．．,Ｎ）组成集合{Pi}，由集合中任一点Pi到另一点Pj的距离用dij表示，两点之间的没有路径，则设dij=+∞，显然dii=（0≤i≤N），指定始点为P1终点PN，要求从点P1出发到PN的最短路线。
下面把上例进行转化：
（1）描述点
上述图5-1中的城市和点的对应关系如表7-1所示
表7-1城市和点的对应关系
（2）确定N，可见N=13
（3）确定dij，可得d12=4，d13=5，…，d1213=3
（4）表示状态转移方程。
在这里，定义f（i）是由Pi点出发至终点PN的最短路程，则状态转移方程就变成如的递推方程。
这是一个简单的函数方程，用LINGO可以很方便的解决。
下面说明lingo求解步骤：
第一步，在Lingo的命令窗口中输入此动态规划的模型，如图5-3所示：
然后单击File菜单下的Save，将模型保存，以供以后使用。
（当然也可以不保存模型。
其程序的源代码如下：
其程序的源代码如下：
model:
!
输入个新的模型;
data:
n=13;!
定义城市的个数;
enddata
sets:
cities/1..n/:
F;!
13个城市;!
结构类型名为cities，结构变量是F，其包含n个成员，F
（1）,…,F（n），
其中F（i）表示将表示从第i个城市到第n个城市的最短路。
;
roads（cities,cities）/!
roads类型中有n*n个成员，分别表示每两个城市之间是否有路（直接相连）;
1,2 1,3!
表示城市1和城市2之间有路，下同;
2,4 2,5 2,6
3,5 3,6 3,7
4,8 4,9
5,8 5,9
6,9 6,10
7,9 7,10
8,11 8,12
9,11 9,12
10,11 10,12
11,13
12,13
/:
D,P;!
D（i,j）将表示城市i到j的距离;
endsets
data:
D=
4 5
2 3 6
8 7 7
5 8
4 5
3 4
8 4
3 5
6 2
1 3
4
3;
enddata
F（@SIZE（CITIES））=0;!
其实"@SIZE（CITIES）"就等于n.如果你计算n个城市的最短距离，则第n个城市到第n个城市的旅行费用是0;
@FOR（CITIES（i）|i#LT#@SIZE（CITIES）:
F（i）=@MIN（ROADS（i,j）:
D（i,j）+F（j））
）;!
从城市i到城市n最短的距离一定是与i相连的所有城市j到城市n的最短距离（即F（j））与城市i到城市j距离（即D（i,j））之和的最小值。
;
@for（roads（i,j）:
P（i,j）=@if（F（i）#eq#D（i,j）+F（j）,1,0）!
显然，如果P（i,j）=1,则点i到点n的最短路径的第一步是i-->j，否则就不是。
由此，我们就可方便的确定出最短路径;
）;
end
第二步，单击Lingo菜单下的Solver菜单项（或点击
也可），对模型进行求解。
其结果如图5-4所示：
下面是其详细结果：
因篇幅有限，这里把“RowSlackorSurplus”结果省去。
第三步，对结果进行分析，得出结论。
F
（1），…，F（13）分别显示了从P1,.....,P13点到终的距离，可以看出从始点到终点的最短距离为17，与手工求解结果一样。
D（i,j）显示的是Pi到Pj的距离如“D（1,2）4.000000”表从点P1到点Pj的距离为4，这些值是在模型初始化时进行设定的。
P（i,j）显示的是从某点到终点的最短路径中是否过Pi到Pj的路径，如“P（1,2）1.000000”表从某点到终点的最短路径过P1与Pj的路径，注意这里的某点不一定是始点。
由此可以得出结论，某点到终点的最短路径分别为：
根据“表7-1城市和点的对应关系”即可推出图7-2所示的各最短路径。
实验条件：
1.清华出版社《运筹学教程》教材；
2.Lindo/lingo计算机软件；
实验思考：
1、求下列网络图从起点到终点的最短路线及长度。
2、货郎担问题（travelingsalesmanproblem，TSP）：
一货郎从某城市
出发要经过n个城市,每个城市都要经过且只能经过一次,最后还要回到原先出发的城市,问应如何选择旅行路线可使总行程最短。
设有6个城市，每个城市之间的距离如表5-2所示：
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