圆与相似三角形综合题 教学设计.docx
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圆与相似三角形综合题教学设计
圆与相似三角形综合题教学设计
1.题型地位分析
以考纲规定，“几何综合题”为数学解答题（三）中出现的题型，一般出现在中考考卷的第24题，而近几年来都是以圆为主体图形来考察几何证明。
近六
年广东省中考数学第24题的考查概况如下：
年份
考查设问
具体考点
分值
2018
（1）证平行；
（2）证相切；（3）求
线段长度.
全等三角形、三角函数、切线、相
似三角形
9分
2017
（1）证角平分线；
（2）证角相等；
（3）求劣弧长度
切线、相似三角形、角平分线性质、
圆的相关计算、三角函数
9分
2016
（1）证三角形相似；
（2）已知三角
形面积，求线段长；（3）证明切线
切线、相似三角形、三角函数
9分
2015
（1）求角度；
（2）证平行四边形；
（3）证线段垂直
垂径定理、全等三角形、平行四边
形、相似三角形
9分
2014
（1）求劣弧的长度；
（2）证线段相
等；（3）证明切线
圆的性质、全等三角形、平行四边
形、圆的相关计算
9分
2013
（1）证角相等；
（2）求线段长度；
（3）证明切线
三角形的性质、相似三角形、圆内
接四边形、切线
9分
由此可见，圆常与三角形相似问题综合起来考察，是中考里的高频考点，也是区分考生数学成绩的关键题目之一。
2.学情分析
首先，经历了平行线、三角形、四边形、圆等各种图形的推理训练和几何证明训练，学生们已经建立了较强的推理意识、培养了较强的图形观察力，也积累了较丰富的几何模型。
这是学生解决圆与相似三角形综合题的有利因素。
但由于对各种几何图形的学习是分散在六册书的不同章节，平常都是相对独立地训练某个知识点，一旦将各类图形和问题综合起来，学生就会感觉复杂而手足无措，不懂有逻辑地将大问题细化成小问题，无法通过知识的转化和迁移与平时的练习联系起来，这是学生解决综合题的不利因素。
3.教学任务分析
知识与技能目标：
（1）通过例题讲解，能将相似三角形与圆的相关内容整合成知识系统，掌握在圆的图形背景下如何找到证明相似的条件，然后通过相似找到成比例线段，达到求证和求算的目的。
（2）熟练掌握圆与相似三角形综合题解题的思考方法和一般流程。
过程与方法目标：
能通过已知和未知双向推敲分析题干，发展合情推理和演绎推理的能力，体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、类比、转化、数形结合等数学思想。
情态态度与价值观目标：
在运用数学表述和解决问题的过程中，学生不仅学到科学的分析方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦，增强备考中考的信心。
4.重难点分析
教学重点：
学会分析圆与相似三角形综合问题的方法和解题流程。
教学难点：
在复杂的图形中识别相似形；通过已知和未知双向分析推导圆与相似三角形综合题，找到解题突破口。
5.教法与学法分析
5.1教法分析
本课采用师生互动的“探究式教学”法，抓住学生的最近发展区，引导学生从已知探未知，再从未知寻已知。
5.2学法指导
学法强调问题引导下的“自主探索法”，组织学生开展“细观察，强联系，用脑想，动手做”的研讨式学习模式。
6.教学过程分析
6.1旧相识
活动一：
绘制思维导图
教师活动
学生活动
○1复习《相似三角形》及
《圆》的相关知识。
○2根据自己的理解将两章知识点绘制成思维导图。
○1在上本节课前，以家庭作业的形式布置此任务。
○2事先提供一个思维导图范例（附图1），用以启发学生
如何绘制。
○1独立翻阅书本及笔记，绘制思维导图。
○2与同伴交流，完善
自己的思维导图。
设计目的：
通过思维导图的绘制，可以帮助学生将相似三角形与圆的相关内容整
合成完善的知识系统，掌握在圆的图形背景下如何找到证明相似的条件，相似三角形的性质又是如何服务于圆中的各种计算。
注意事项：
思维导图不能只是知识点的罗列或定理的死记硬背，更要有知识点间
的联系迁移等深层次的思考，真正做到知识间的融会贯通。
活动二：
复习常见的相似模型
教师活动
学生活动
【内容】复习《相似基本型变换图谱》（附图2），回顾每种相似性的证明方法，以及各种相似形的构成、形式及联系，找到简易记忆方法。
○1在上本节课前，以家庭作业的形式布置此任务。
○2提供《相似基本型变换图谱》给学生。
细心观察各种相似形，准确表述各种相似形成立的条件和结论。
设计目的：
圆与相似三角形的综合题，就是将圆与相似三角形复合成几何图形，因此在学习中，要指导学生主动掌握一些重要基本相似形的构成、形式及性质，这样才能从一
个复杂的图形中快速识别它所包含的基本相似形，从而找到相应的解决方法。
注意事项：
除了要明确各种模型的证明方法，还要明确一些模型的重要结论，如射影型
（见附图2）中可证得三组相似，且有BA2=AD⋅ACBD2=DA⋅DCBC2=CD⋅CA
三条重要的数量关系，又如蝴蝶型（见附图2）的相似中可证四点共圆。
相似基本型变换图谱
AAAD
DD
E
BCB（E）CB（E）射影型C
A斜A型子母型
DEE
EDE
ADD
BCDAA
A型A
E
BCBCBCBC
旋转型8型斜8型蝴蝶型
附图2
6.2
新知势
活动三：
基础训练
教师活动
学生活动
1.（2017娄底改编）如图1，在Rt∆ABC中，∠BCD=∠A，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，求证：
∆ACD≌∆ABC
2.（试题研究2018）如图2，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，求证：
∆ABE≌∆ADB
3.（2017聊城节选）如图，⊙O是∆ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD。
过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P。
求证：
∆PBD≌∆DCA
BAA
DBCFE
OBEOC
FO
D
AECPD
图1图2图3
○1出示圆与
相似三角形
综合的考题
模型，让学
由1~2位学
生了解此类
生投影自
题的图形变
己课前做
化；○2结合
好的解题
过程，其他
课前的学习
同学认真
成果，选择
聆听，并给
学生进行讲
予补充或
述，并给予
更正。
学生恰当的
评价。
○3规
范书写过
程，简单的
题不丢分。
设计目的：
第1题隐含“射影型”的相似三角形，运用“直径所对的圆周角等于90°”
找到直角；第2题隐含“子母型”的相似三角形，运用“同弧所对的圆周角相等”找到
相等的角；第3题是中考真题第24题的第
（2）问，分别运用“同弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形的外角等于内对角”找到两组等角即可。
都是基础题，难度不大。
这三道题的图形看起来很复杂，线段纵横交错，但其实只是“新瓶装旧酒”，利用圆这个新瓶纳含着常见的相似形，便形成了新的图形知（姿）势。
让学生意识到只要圆的各种性质熟稔于心，解决这类问题并不难。
既可以增强学生的信心，消除恐惧感，也
可以让学生体会到参与的快乐。
同时为接下来的教学环节埋下伏笔。
【详细解答过程】
（1）解：
在∆ACD与∆ABC中，∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，∴∆ACD≌∆ABC
（2）解：
A是弧BC的中点，∴AB=弧CD，∴∠BDA=∠ABE，
∠BAE=∠BAE,∴∆ABE≌∆ADB
（3）解：
PD//BC，∴∠P=∠ABC，
∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∠PBD=∠ACD，∴∆PBD≌∆DCA
6.3慧学习
活动四：
例题详析
教师活动
学生活动
【例题】如图，BD为O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，DE=4，求圆的半径。
（改编自《试题研究2018》）
AC
E
BD
O
【解前思路引导】
（1）从已知条件出发，能易知哪些线段的长度？
（2）从图形直观出发，有哪些特殊的三角形？
有哪些相似形？
（3）从考查问题出发，半径与哪些边存在联系？
要求线段长度，我们常用什么方法？
○1先出示题
带着老师
目，让学生了
提出的问
解题意并展
题独立思
开初步思考。
考，可与同
桌展开交
○23分钟后出
流，明确思
示思路引导。
路后整合
解决问题
○3提问学生，
的思路和
讲出解题思
方法，并
路和步骤。
组织语言
进行展示。
○4给予方法
点拨和总结。
【讲解思路流程图】
【详细解答过程】
解：
A是弧BC的中点，∴∠BDA=∠ABE，又∠BAE=∠BAE,∴∆ABE≌∆ADB
∴AE=AB,∴AB2=AE⋅AD,ABAD
AE=2,DE=4,∴AD=AE+DE=6,∴AB=23,
BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90ο，∴BD=AB2+AD2=43,
∴BO=1BD=23,∴⊙O的半径为23。
2
【解后反思总结】
（1）熟识常见的相似模型，形成几何直观，是解决圆与三角形相似综合题的前提。
（2）圆与相似的综合问题，首先要有意识地利用圆的性质寻找相似条件，求证相似三角形后，再利用相似三角形转化比例线段，从而求解相关线段。
（2）分析综合题，要养成从“已知”探“未知”、从“未知”寻“已知”的双向推导的思考习惯。
分析问题的过程，其实就是让“已知”和“未知”达成统一的过程。
设计目的：
（1）学生不难发现，本例题与基础训练第2题的图形一模一样，只是增强了条件和改变了问法，目的给予学生思路上的提示和延伸，也让学生看到题目是如何一步步走向综合的。
（2）“思路引导”中的三个小问题抽丝剥茧般剖析了题目，突出了重点，也突破了难点。
（3）“讲解流程图”中向学生指明了思考的角度，在讲授解法的同时，也渗透思考的方法，注重方法的指导。
（4）重视几何直观在解题中的引领作用。
（5）让学生体会数形结合、转化迁移、双向推导的思想方法。
注意事项：
（1）不要立即出示“思路引导”，先给点时间让学生消化题目和独立思考，在学生百思不得其解时再给出“思路引导”，让学生体会分析题目是如何由繁到简的。
（2）学生在讲解时可能只关注到知识层面，教师要适时的引导学生归纳总结方法层面。
活动五：
例题变式
教师活动
学生活动
（自编变式）接上例题，过点C作弦CG⊥BD于点E，BA与GC的延
○1消化例
长线交于点F，连接AC，AG,BG,若∠1=∠2,AB⋅BF=48，
CG=43，求BE的长度.
F
○1评讲时，作出流程
图，与学生
题的解题流程，然后独立思考
本题，并尝
一起总结
试写出解
此类型题
题过程。
A13C
2
的解题流程，形成解
○2对于有
困难的学生，可以与
BOED
题方法。
同伴交流讨论。
G
【讲解思路流程图】
【详细解答过程】
解：
∠3=∠ABG,∠1=∠2,∴∠F=∠BGA,∠ACB=∠BGA,∴∠F=∠ACB
又∠ABC=∠ABC,∴∆ABC≌∆CBF，∴CB2=AB⋅BF=48,
CG⊥BD且CG=43，∴CE=1CG=23,BE=BC2-CE2=6
2
6.4
智强化
活动六：
强化训练
教师活动
学生活动
如图，O是∆ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交O于点D，连接BD，CD。
过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P。
当AB=6，AC=8时，求线段PB的长。
（选自2017聊城中考第24题第（3）小问）
A
BEOCPD
说一说解题思路：
写一写解题过程：
记一记解题反思：
（1）考了哪些知识？
（2）解题的突破口是什么？
（3）你感觉最困难的地方是哪里？
„„
○1出示强化巩固的题目，要求学生独立完成。
○2勤走动，时刻关注学生的学习动态，及时的批阅改错。
○3挑选一个解题过程规范的学生答案进行投影。
○1消化例题的思想方法，然后独立思考本题，并尝试写出解题过程。
○2对于有困难的学生，可以与同伴交流讨论
设计目的：
（1）本习题是基础训练第3题的深度考查，考虑到一节课45分钟的时间非常紧迫，而综合题在审题、理解题意上就已经很耗时，因此不再选用其他题目，直接沿用学生刚做过的题目和图形，减少审题的时间。
（2）本习题同时又在证明方法上与例题相仿，都是在证明相似形后，综合相似三角形对应边成比例及圆中直角三角形的勾股定理计算圆中线段长度。
因此将此题安排在例题之后，可以让学生立即学以致用，进一步巩固例题中学到的解题方法和思路，渗透类比
的数学思想。
让学生领悟圆与相似三角形综合题的考法和解法，熟练分析流程。
【详细解答过程】
解：
∆ABC是直角三角形，∴BC=AB2+AC2=62+82=10,
OD垂直平分BC,∴DB=DC,BC是O的直径，∴∠BDC=90ο
在Rt∆DBC中，DB2+DC2=BC2，∴DC=DB=52
∆PBD∆DCA，∴PB=BD，即PB=DC⋅BD=52⋅52=25
DCACAC84
活动七：
考倒同桌
教师活动
学生活动
对于上题“如图，O是∆ABC的外接圆，O点在BC边上，
∠BAC的平分线交O于点D，连接BD，CD。
过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P。
（1）略；
（2）求证：
∆PBD≌∆DCA；
（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长。
”
你认为还能怎么考？
尝试再提出一个问题，然后让同桌解答。
A
BEOCPD
【思路提示】
（1）图中还有哪些常见的相似三角形模型？
（2）这些相似形直接或间接能得出哪些线段比例？
（3）图中有哪些相等的量？
（4）你能利用本中考题
（2）（3）小问的结论推出其他结论吗？
○1勤走动，对有困难的学
○1认真观察图形，揣
生给予提示
摩题目各
指导。
个条件的
作用，编制
○2关注学生
的参与度，对
可操作的
问题。
提出问题给
予肯定和鼓
励。
○2把编好
的题目交
给同桌解
○3参与到学
生的解题中
答。
去，让学生产
生“我也想出
○3与同桌
比一比，谁
道题考考老
出的问题
师”的参与欲
好。
望。
设计目的：
（1）根据中学生好胜心强的年龄特征，设计了“考倒同桌”这一活动环节，为课堂注入了活力和趣味，消除上课的疲惫感，增强学生参与课堂的欲望。
（2）开放性题目的设置，为优生的进一步思考搭建平台，也为中等学生设置了台阶，实现对不同层次学生的关注。
（3）“编题目”是对这道中考题的深度探究。
让学生体会所谓出题者就是思考如何将合拍的基础知识调成“鸡尾酒”的过程；而做题者则是慢慢品尝出这杯“鸡尾酒”各种成
分的过程。
让学生站在出题者的角度训练圆与相似形的综合更有利于启发解题思路。
注意事项：
（1）对条件“线段AD是角平分线”作用的揣摩是个小难点，可适当给予引导。
（2）此图中还包含着两组“8型”和一组“A型”的相似三角形，成比例线段很多，而且通过角平分线能推出等弦和等弧，能实现等量代换，是研究圆与相似三角形综合问题的一个很好素材，预设部分学生会有困难，可组织学生进行小组合学交流。
（3）对没能在课堂完成的同学鼓励课后继续，将编得好的题目展示在后墙供大家思考。
活动八：
课堂小结
教师活动
学生活动
（1）本节课你学了什么？
（2）印象最深的是什么？
（3）还有什么疑惑？
引导学生畅所欲言，总结归纳数学知识、解决问题的步骤、方法和数学思想。
总结圆与相似三角形综合问题如何解决，都应用到哪些知识、与哪些知识相联系等与同学们互相补充和分享。
设计目的：
让学生感受本节课的收获应该是多层次多方面的，培养学生不仅要懂得解决问题，也要善于发现问题的良好学习习惯，并关注情感体验。
课后作业：
1.（2018广东省第24题）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E.
（2）若tan∠ABC＝2，证明：
DA与⊙O相切；
（3）在
（2），连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长.
2.（2017广东省第24题）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：
CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：
CF=CE；
（3）当CF=3时，求劣弧的长度（结果保留π）
CP4
A
D
E
O
F
BC
第1题图第2题图
设计目的：
第1题的（3）问两次用到“射影型”相似三角形的判断和性质，非常注重考查学生的
几何直观能力，第2题（3）问要添加辅助线构造相似形，两题所用的方法和知识密切呼应本节内容，同时直击中考，有一定的灵活度，可以有效地检测本节课的学习效果。
板书设计
7.教学反思
（1）课前课后充分用
疑难问题的讲解有别于常规课时，一线教师最大的困惑是：
综合大题又长又臭又难，一节课都讲不了一道题。
本节设计改变了这种观念，一节数学课不应局限在45分钟。
首先基础知识点的梳理和训练可在上课前一天以作业形式完成，课上用少量时间评讲即可；另外，课堂上的讨论可延续到课后，如在“考倒同桌”环节，全班同学几十号人，编出的问题应该不少，可鼓励学生课后继续充分展开讨论交流。
（2）例题习题精心选
疑难问题在阅读量、理解力、知识综合等方面要求都比较高，为了避免学生花太多时间在不断阅读题目上，本节课全程其实只选择了三道题目，各个环节解决相同题目的不同问题，环环相扣又层层递进。
（3）方法思路重探究
本节课花了较多的时间带领学生去探究，去发现，去验证。
学生在老师的引导下，像科学家发现真理那样去“发现”知识，从而体验到那种“发现”的兴奋、喜悦、自信和自豪等多种情感，同时有效地训练了他们的几何直观、探究能力和积极参与意识。
这样的课堂不光要让学生学到知识，还以知识为载体让学生学到
一种数学研究的方法和一种数学讨论问题的方式，真正实现“以学生的发展为本”的教学理念。
（4）反思建议
应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
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