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奥数四年级行程问题

第三部分行程问题

第一讲行程基本

【专题常识点概述】

行程问题是一类罕有的重要运用题,在历次数学比赛中经常消失.行程问题包含:

相遇问题.追及问题.火车过桥问题.流水行船问题.环形行程问题等等.行程问题思维灵巧性大,辐射面广,但根本在于距离.速度和时光三个根本量之间的关系,即:

距离

速度

时光,时光

距离

速度,速度

距离

时光.在这三个量中,已知两个量,即可求出第三个量.控制这三个数目关系式,是解决行程问题的症结.在解答行程问题时,经常采纳绘图剖析的办法,依据题意画出线段图,来帮忙我们剖析.懂得题意,从而解决问题.

一.行程根本量

我们把研讨旅程.速度.时光以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.我们已经接触过一些简略的行程运用题,行程问题重要涉实时光(t).速度(v)和旅程(s)这三个根本量,它们之间的关系如下:

(1)速度×时光=旅程可简记为:

s=vt

(2)旅程÷速度=时光可简记为:

t=s÷v

(3)旅程÷时光=速度可简记为:

v=s÷t

显然,知道个中的两个量就可以求出第三个量.

二.平均速度

平均速度的根本关系式为:

平均速度

总旅程

总时光;

总时光

总旅程

平均速度;

总旅程

平均速度

总时光.

【重点难点解析】

1.行程三要素之间的关系

2.平均速度的概念

3.留意不雅察活动进程中的不变量

【比赛考点发掘】

【习题精讲】

【例1】(难度等级※)

邮递员凌晨7时动身送一份邮件到对面山里,从邮局开端要走12千米上坡路,8千米下坡路.他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目标地逗留1小时今后,又从原路返回,邮递员什么时刻可以回到邮局?

【剖析与解】

法一:

先求出去的时光,再求出返回的时光,最后转化为时刻.①邮递员到达对面山里需时光:

12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时光:

8÷4+12÷5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是:

7+1012=5(时).邮递员是下昼5时回到邮局的.

法二:

从整体上斟酌,邮递员走了(12+8)千米的上坡路,走了(12+8)千米的下坡路,所以共用时光为:

(12+8)÷4+(12+8)÷5+1=10(小时),邮递员是下昼7+1012=5(时)回到邮局的..

【例2】(难度等级※)

甲.乙两地相距100千米.下昼3点,一辆马车从甲地动身前去乙地,每小时走10千米;晚上9点,一辆汽车从甲地动身驶向乙地,为了使汽车不比马车晚到达乙地,汽车每小时起码要行驶若干千米?

.

【剖析与解】

马车从甲地到乙地须要100÷10=10小时,在汽车动身时,马车已经走了93=6(小时).依题意,汽车必须在106=4小时内到达乙地,其每小时起码要行驶100÷4=25(千米).

【例3】(难度等级※※)

小明天天凌晨6:

50从家动身,7:

20到校,师长教师请求他明天提早6分钟到校.假如小明明天凌晨照样6:

50从家动身,那么,每分钟必须比往常多走25米才干按师长教师的请求准时到校.问:

小明家到黉舍多远?

(第六届《小数报》数学比赛初赛题第1题)

【剖析与解】

本来花时光是30分钟,后来提前6分钟,就是路上要花时光为24分钟.这时每分钟必须多走25米,所以总共多走了24×25=600米,而这和30分钟时光里,后6分钟走的旅程是一样的,所以本来每分钟走600÷6=100米.总旅程就是=100×30=3000米.

【例4】(难度等级※)

韩雪的家距离黉舍480米,原筹划7点40从家动身8点可到校,如今照样按原时光分开家,不过每分钟比本来多走16米,那么韩雪几点就可到校?

【剖析与解】

本来韩雪到校所用的时光为20分钟,速度为:

480÷20=24(米/分),如今每分钟比本来多走16米,即如今的速度为24+16=40(米/分),那么如今上学所用的时光为:

480÷40=12(分钟),7点40分从家动身,12分钟后,即7点52分可到黉舍.

【例5】(难度等级※※)

王师傅驾车从甲地开往乙地交货.假如他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发明从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.假如他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【剖析与解】

假设甲地到乙地的旅程为300,那么按时的往返一次需时光300÷60×2=10(小时),如今从甲到乙消费了时光300÷50=6(小时),所以从乙地返回到甲地时所需的时光只能是106=4(小时).即假如他想按时返回甲地,他应以300÷4=75(千米/时)的速度往回开.

【例6】(难度等级※※)

刘师长教师骑电动车从黉舍到韩丁家家访,以10千米/时的速度行进,下昼1点到;以15千米/时的速度行进,上午11点到.假如愿望正午12点到,那么应以如何的速度行进?

【剖析与解】

这道题没有动身时光,没有黉舍到韩丁家的距离,也就是说既没有时光又没有旅程,似乎无法求速度.这就须要经由过程已知前提,求出时光和旅程.

假设有A,B两人同时从黉舍动身到韩丁家,A每小时行10千米,下昼1点到;B每小时行15千米,上午11点到.B到韩丁家时,A距韩丁家还有10×2=20(千米),这20千米是B从黉舍到韩丁家这段时光B比A多行的旅程.因为B比A每小时多行1510=5(千米),所以B从黉舍到韩丁家所用的时光是

20÷(1510)=4(时).由此知,A,B是上午7点动身的,黉舍离韩丁家的距离是15×4=60(千米).刘师长教师要想正午12点到,即想(127=)5时行60千米,刘师长教师骑车的速度应为

60÷(127)=12(千米/时).

【例7】(难度等级※※※)

小红上山时每走30分钟歇息10分钟,下山时每走30分钟歇息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍,假如上山用了3时50分,那么下山用了若干时光?

【剖析与解】

上山用了3时50分,即60×3+50=230(分),由230÷(30+10)=5……30,得到上山歇息了5次,走了23010×5=180(分).因为下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180÷2=90(分).由90÷30=3知,下山途中歇息了2次,所以下山共用90+5×2=100(分)=1时40分.

【例8】(难度等级※※※)

老王开汽车从A到B为平地(见右图),车速是30千米/时;从B到C为上山路,车速是22.5千米/时;从C到D为下山路,车速是36千米/时.已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共须要若干时光?

【剖析与解】

设上山路为x千米,下山路为2x千米,则高低山的平均速度是:

(x+2x)÷(x÷22.5+2x÷36)=30(千米/时),正好是平地的速度,所以行AD总旅程的平均速度就是30千米/时,与平地旅程的长短无关.是以共须要72÷30=2.4(时).

【例9】(难度等级※※※)

汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,到达后连忙以48千米/时的速度返回甲地.求该车的平均速度.

【剖析与解】

想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时光,在这道标题中假如我们知道汽车行驶的全程,进而就能求出总时光,那么问题就水到渠成了.在此我们无妨采取“特别值”法,这是奥数里面异常重要的一种思惟,在许多标题中都有运用.①把甲.乙两地的距离视为1千米,总时光为:

1÷72+1÷48,平均速度=2÷(1÷72+1÷48)=57.6千米/时.②我们发明①中的取值在盘算进程中不太便利,我们可不成以找到一个比较好盘算的数呢?

在此我们可以把甲.乙两地的距离视为[72,48]=144千米,如许盘算时光时就好盘算一些,平均速度=144×2÷(144÷72+144÷48)=57.6千米/时.

【例10】(难度等级※※)

如图,从A到B是12千米下坡路,从B到C是8千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是若干?

【剖析与解】

从A到B的时光为:

12÷6=2(小时),从B到C的时光为:

8÷4=2(小时),从C到D的时光为:

4÷2=2(小时),从A到D的总时光为:

2+2+2=6(小时),总旅程为:

12+8+4=24(千米),那么从A到D的平均速度为:

24÷6=4(千米/时).

【例11】(难度等级※※)

有一座桥,过桥须要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡.平路及下坡的旅程相等.或人骑自行车过桥时,上坡.走平路和下坡的速度分离为

米/秒.

米/秒和

米/秒,求他过桥的平均速度.

【剖析与解】

假设上坡.走平路及下坡的旅程均为24米,那么总时光为:

24÷4+24÷6+24÷8=13(秒),过桥的平均速度为(米/秒).

【例12】(难度等级※※※)

汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米/时,要想往返的平均速度为48千米/时,回来时的速度应为若干?

【剖析与解】

假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时光=480÷48=10(小时),回来时的速度=240÷(10240÷40)=60(千米/时).

【例13】(难度等级※※※)

有一座桥,过桥须要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡.平路及下坡的旅程相等.或人骑电动车过桥时,上坡.走平路和下坡的速度分离为11米/秒.22米/秒和33米/秒,求他过桥的平均速度..

【剖析与解】

假设上坡.平路及下坡的旅程均为66米,那么总时光=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11(秒),过桥的平均速度=66×3÷11=18(米/秒)

【例14】(难度等级※※※)

一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开端爬行一周.在三条边上它每分钟分离爬行50cm,20cm,40cm(如右图).它爬行一周平均每分钟爬行若干厘米?

【剖析与解】

假设每条边长为200厘米,则总时光=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19(分钟),爬行一周的平均速度=200×3÷19=

(厘米/分钟).

【例15】(难度等级※※※)

甲.乙两地相距6千米,或人从甲地步行去乙地,前一半时光平均每分钟行80米,后一半时光平均每分钟行70米.问他走后一半旅程用了若干分钟?

【剖析与解】

全程的平均速度是每分钟(80+70)÷2=75米,走完整程的时光是6000/75=80分钟,走前一半旅程速度必定是80米,时光是3000÷80=37.5分钟,后一半旅程时光是8037.5=42.5分钟.

第二讲相遇与追及

【专题常识点概述】

在今天这节课中,我们来研讨行程问题中的相遇与追及问题.这一讲就是经由过程例题加深对行程问题三个根本数目关系的懂得,使学生育成绘图解决问题的好习惯!

在行程问题中涉及到两个或两个以上物体活动的问题,个中最罕有的是相遇问题和追及问题.

一.相遇

甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,本质上是甲和乙一路走了A,B之间这段旅程,假如两人同时动身,那么

相遇旅程=甲走的旅程+乙走的旅程

=甲的速度×相遇时光+乙的速度×相遇时光

=(甲的速度+乙的速度)×相遇时光

=速度和×相遇时光.

一般地,相遇问题的关系式为:

速度和×相遇时光=旅程和,即

二.追及

有两小我同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时光就能追上他.这就产生了“追及问题”.本质上,要算走得快的人在某一段时光内,比走得慢的人多走的旅程,也就是要盘算两人走的旅程之差(追及旅程).假如设甲走得快,乙走得慢,在雷同的时光(追实时光)内:

追及旅程=甲走的旅程乙走的旅程

=甲的速度×追实时光乙的速度×追实时光

=(甲的速度乙的速度)×追实时光

=速度差×追实时光.

一般地,追击问题有如许的数目关系:

追及旅程=速度差×追实时光,即

【重点难点解析】

1.直线上的相遇与追及

2.环线上的相遇与追及

【比赛考点发掘】

1.多人多次相遇与追及

【习题精讲】

【例1】(难度等级※)

一辆客车与一辆货车同时从甲.乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲.乙两个城市的旅程是若干千米?

【剖析与解】

(46+48)×3.5=94×3.5=329(千米).

【例2】(难度等级※)

两地间的旅程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米.甲.乙两车相遇时,各行了若干千米?

【剖析与解】

255÷(45+40)=255÷85=3(小时).

45×3=135(千米).

40×3=120(千米)..

【例3】(难度等级※※)

两地相距3300米,甲.乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行若干分钟两人可以相遇?

【剖析与解】

[3300(82+83)×15]÷(82+83)

=[3300165×15]÷165

=[33002475]÷165

=825÷165

=5(分钟)

【例4】(难度等级※)

甲.乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开端动身,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问:

乙经由多长时光能追上甲?

【剖析与解】

动身时甲.乙二人相距10千米,今后两人的距离每小时都缩短1510=5(千米),即两人的速度的差(简称速度差),所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.

10÷(1510)=10÷5=2(小时).

【例5】(难度等级※※)

]南辕与北辙两位师长教师对于本身的目标地s城的偏向各不相谋,于是两人都按照本身的设法主意驾车同时分离往南和往北驶去,二人的速度分离为50千米/时,60千米/时,那么北辙师长教师动身5小时他们相距若干千米?

【剖析与解】

两人固然不是相对而行,但是仍合力完成了旅程,(50+60)×5=550(千米).

【例6】(难度等级※※)

军事演习中,“我”水师豪杰舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”水师豪杰舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”水师豪杰舰从A岛动身经由若干分钟可射击敌舰?

【剖析与解】

“我”舰追到A岛时,“敌”舰已逃离10分钟了,是以,在A岛时,“我”舰与“敌”舰的距离为10000米(=1000×10).又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击,即“我”舰只要追上“敌”舰9400(=10000米600米)即可开炮射击.所以,在这个问题中,无妨把9400当作旅程差,依据公式求得追实时光.即(1000×10600)÷(14701000)=(10000600)÷470=9400÷470=20(分钟),所以,经由20分钟可开炮射击“敌”舰.

【例7】(难度等级※※※)

小红和小蓝演习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝;若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红.小蓝二人的速度各是若干?

【剖析与解】

小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红.小蓝二人的旅程差,小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追实时光,据此可求出他们的速度差为20÷5=4(米/秒);若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,在这个进程中,追实时光为6秒,依据上一个前提,由追及差和追实时光可求出在这个进程中的旅程差,这个旅程差等于小蓝4秒钟所行的旅程,旅程差就等于4×6=24(米),也即小蓝在4秒内跑了24米,所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度.分解列式盘算如下:

小蓝的速度为:

20÷5×6÷4=6(米/秒),小红的速度为:

6+4=10(米/秒)

【例8】(难度等级※※※)

小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发明小明的文具盒忘在家中,爸爸带着文具盒,连忙骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸动身几分钟后追上小明?

【剖析与解】

爸爸要追及的旅程:

70×12=840(米),爸爸与小明的速度差:

28070=210(米/分),爸爸追及的时光:

840÷210=4(分钟).

【例9】(难度等级※※※)

上午8点8分,小明骑自行车从家里动身,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸连忙回家,到家后又连忙回头去追小明,再追上小明的时刻,离家正好是8千米,这时是几点几分?

【剖析与解】

画一张简略的示意图:

图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了84=4(千米).而爸爸骑的距离是4+8=12(千米).

这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4=3(倍).按照这个倍数盘算,小明骑8千米,爸爸可以骑行8×3=24(千米).但事实上,爸爸罕用了8分钟,骑行了4+12=16(千米).

少骑行2416=8(千米).摩托车的速度是8÷8=1(千米/分),爸爸骑行16千米须要16分钟.

8+8+16=32.所以这时是8点32分.

【例10】(难度等级※※)

甲车每小时行40千米,乙车每小时行60千米.两车分离从A,B两地同时动身,相向而行,相遇后3时,甲车到达B地.求A,B两地的距离.

【剖析与解】

相遇后甲行驶了40×3=120千米,即相遇前乙行驶了120千米,解释甲乙二人的相遇时光是120÷60=2小时,则两地相距(40+60)×2=200千米.

【例11】(难度等级※※)

小红和小强同时从家里动身相向而行.小红每分钟走52米,小强每分钟走70米,二人在途中的A处相遇.若小红提前4分钟动身,但速度不变,小强每分钟走90米,则两人仍在A处相遇.小红和小强的家相距多远?

【剖析与解】

因为小红的速度不变,相遇地点不变,所以小红两次走的时光雷同,推知小强第二次比第一次少走4分.由(70×4)÷(9070)=14(分),推知小强第二次走了14分,第一次走了18分,两人的家相距(52+70)×18=2196(米).

【例12】(难度等级※※※)

甲乙两车分离从A.B两地同时相向开出,4小时后两车相遇,然后各自持续行驶3小时,此时甲车距B地10千米,乙车距A地80千米.问:

甲车到达B地时,乙车还要经由若干时光才干到达A地?

【剖析与解】

由4时两车相遇知,4时两车共行A,B间的一个单程.相遇后又行3时,剩下的旅程之和10+80=90(千米)应是两车共行4-3=1(时)的旅程.所以A,B两地的距离是(10+80)÷(4-3)×4=360(千米).因为7时甲车比乙车共多行80-10=70(千米),所以甲车每时比乙车多行70÷7=10(千米),又因为两车每时共行90千米,所以每时甲车行50千米,乙车行40千米.行一个单程,乙车比甲车多用360÷40-360÷50=9-7.2=1.8(时)=1时48分.

【例13】(难度等级※※※)

甲.乙二人分离从A.B两地同时动身,假如两人同向而行,甲26分钟赶上乙;假如两人相向而行,6分钟可相遇,又已知乙每分钟行50米,求A.B两地的距离.

【剖析与解】

若设甲.乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟,是以,甲走C到D之间的旅程时,所用时光应为:

(266)=20(分).

同时,由上图可知,C.D间的旅程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的旅程与在26分钟内所走的旅程之和,为50×(26+6)=1600(米).所以,甲的速度为1600÷20=80(米/分),由此可求出A.B间的距离.

50×(26+6)÷(266)=50×32÷20=80(米/分)

(80+50)×6=130×6=780(米)

【例14】(难度等级※※※)

小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行4千米.两人同时动身,然后在离甲.乙两地的中点1千米的地方相遇,求甲.乙两地间的距离?

【剖析与解】

画一张示意图(可让学生先断定相遇点在中点哪一侧,为什么?

离中点1千米的地方是A点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多1千米,小王走了两地距离的一半少1千米.从动身到相遇,小张比小王多走了2千米

小张比小王每小时多走(54)千米,从动身到相遇所用的时光是2÷(54)=2(小时).

是以,甲.乙两地的距离是(5+4)×2=18(千米).

【例15】(难度等级※※※)

甲.乙两车分离同时从A.B两地相对开出,第一次在离A地95千米处相遇.相遇后持续进步到达目标地后又连忙返回,第二次在离B地25千米处相遇.求A.B两地间的距离?

【剖析与解】

画线段示意图(实线暗示甲车行进的路线,虚线暗示乙车行进的路线):

可以发明第一次相遇意味着两车行了一个A.B两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A.B两地间的距离.当甲.乙两车共行了一个A.B两地间的距离时,甲车行了95千米,当它们共行三个A.B两地间的距离时,甲车就行了3个95千米,即95×3=285(千米),而这285千米比一个A.B两地间的距离多25千米,可得:

95×325=28525=260(千米).

第三讲行程之流水行船

【专题常识点概述】

平日我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题,例如当我们研讨甲乙两人在一段公路上行走相遇时,这里的参考系等于公路,而公路本身是没有速度的,所以我们只须要斟酌人本身的速度即可.

但是在流水行船问题中,我们的参考系将不再是速度为0的参考系,因为水本身也是在流淌的,所以这里我们必须斟酌水流速度对船只速度的影响.

一.根本概念

顺水速度=船速+水速,

逆水速度=船速水速.

(个中

为船在静水中的速度,

为水流的速度)

由上可得:

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;

水速=(顺水速度逆水速度)÷2.

二.流水行船中的相遇与追及

(1)两只船在河道中相遇问题.当甲.乙两船(甲在上游.乙鄙人流)在江河里相向开出,它们单位时光挨近的旅程等于甲.乙两船速度和.

这是因为:

甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速水速)=甲船船速+乙船船速.

这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样,与水速没有关系.

(2)同样道理,假如两只船,同向活动,一只船追上另一只船所用的时光,也只与旅程差和船速有关,与水速无关.

这是因为:

甲船顺水速度乙船顺水速度=(甲船速+水速)(乙船速+水速)=甲船速乙船速.

也有:

甲船逆水速度乙船逆水速度=(甲船速水速)(乙船速水速)=甲船速乙船速.

这解释水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述评论辩论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答

【重点难点解析】

1控制流水行船的根本概念

2控制流水行船中的相遇与追及

【比赛考点发掘】

1流水行船中的相遇与追及

【习题精讲】

【例1】(难度等级※)

一艘汽船在两个口岸间航行,水速为每小时6千米,顺水下行须要4小时,返回上行须要7小时.求:

这两个口岸之间的距离?

【剖析与解】

(船速+6)×4=(船速6)×7,可得船速=22,两港之间的距离为:

(22+6)×4=112千米.

【例2】(难度等级※)

两个船埠相距352千米,一船顺流而下,行完整程须要11小时.逆流而上,行完整程须要16小时,求这条河水流速度.

【剖析与解】

(352÷11352÷16)÷2=5(千米/小时).

【例3】(难度等级※)

甲.乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度.

【剖析与解】

顺水速度:

208÷8=26(千米/小时

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