（1）当t为何值时,PQ//BC.
（2）是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？
若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
（3）如图2,把厶APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ'.那么是否存在某时刻
t使四边形AQPQ'为菱形？
若存在，求出此时菱形的面积;若不存在，请说明理
2016-2017学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上•）
1.若2a=3b，则a：
b等于（）
A.3:
2B.2:
3C.-2:
3D.-3:
2
考点】比例的性质.
分析】依据比例的基本性质：
两内项之积等于两外项之积，分别对各选项计
算，只有A选项符合题意.
解答】解:
V2a=3b，
-a:
b=3:
2.
故选A.
点评】比例的变化可以依据比例的基本性质，等比性质与合比性质.
2.与如图中的三视图相对应的几何体是（）
考点】简单组合体的三视图•
分析】根据三视图判断长方体上面放着小正方体，确定具体位置后即可得到答
案•
解答】解：
由主视图和左视图可以得到该几何体是一个正方体和一个长方体的复合体，
由俯视图可以得到小正方体位于大长方体的右侧靠里的角上•
故选:
D.
点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验•
3.若关于x的一元二次方程kx2-2x-仁0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A.k>-1B.k>-1且k丸C.kv1D.kv1且k却
考点】根的判别式；一元二次方程的定义.
分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k
的取值范围即可.
解答】解：
•关于x的一元二次方程kx2-2x-仁0有两个不相等的实数根，
（（k#=0
解得k>-1且k却.
故选B.
点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键.
4.下列命题中，真命题是（）
A.两条对角线相等的四边形是矩形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
考点】命题与定理.
分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
解答】解：
A.两条对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项错误；
B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C.两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
故选:
D.
点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
5.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金
比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）
A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm
考点】黄金分割.
分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值（丄亠）叫做黄金比.
2
解答】解：
方法1:
设书的宽为x,则有（20+x）:
20=20:
x,解得x=12.36cm.
方法2:
书的宽为20X0.618=12.36cm.
故选A.
点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.
1ik
6.已知反比例函数",当xv0时，y随x的增大而增大，则k的值可以是（）
A.-1B.0C.1D.2
考点】反比例函数的性质.
分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可.
1-k
解答】解：
••反比例函数”「，当xv0时，y随x的增大而增大，
•••1-kv0，
解得k>1.
故选D.
点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=[（k#0）中，当kv
0时，y随x的增大而增大.
7.如图，已知DE//BC,CD和BE相交于点O,Sadoe:
Sacob=4:
9，则AE:
EC为（）
A.2:
1B.2:
3C.4:
9D.5:
4
考点】相似三角形的判定与性质.
分析】由DE//BC,得到△DOEs^cOB，根据相似三角形的性质得到SAdoe：
S△COB=（寻）2=4:
9,求得=〒,通过△ADEs^ABC,得到当一#=〒,根据相似三角形的性质即可得到结论.
解答】解:
TDE//BC,
/•ADOEs^COB,
DE
•'Sadoe:
Sacob=（.）2=4:
9,
.DE2
•瓦=E,
••DE//BC,
•△ADEsAABC,
AE_DE2
■=：
••AE:
EC=2:
1,
故选A.
np2
点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,证得寸＜是解题的关键.
8.函数…；（k工0）的图象如图所示，那么函数y=kx-k的图象大致是
0,所以一次函数图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交.
解答】解：
••反比例函数y=，的图象位于第二、四象限,
•'•kv0,—k>0.
'•kv0，二函数y=kx-k的图象过二、四象限.又k>0,
••函数y=kx-k的图象与y轴相交于正半轴，
••一次函数y=kx-k的图象过一、二、四象限.故选C.
点评】本题考查的知识点：
（1）反比例函数y=：
的图象是双曲线，当kv0时，它的两个分支分别位于第
二、四象限.
（2）—次函数y=kx+b的图象当kv0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第
、四象限.
9.若菱形的周长为52cm,面积为120cm2,则它的对角线之和为（）
A.14cmB.17cmC.28cmD.34cm
考点】菱形的性质.
分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC丄BD,
AO=CO=,AC,BO=DO=,BD,然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式整理可得AO?
BO=60根据菱形的周长求出AB=13,再利用勾股定理可得
AO2+BO2=169,然后利用完全平方公式整理并求出AO+BO,再求解即可.
解答】解：
如图，••四边形ABCD是菱形，
••AC丄BD,AO=CO==AC,BO=DO==BD,
••菱形的面积为120cm2,
•.AC?
BD=120,
即,：
X2AO?
2BO=120
所以，AO?
BO=60
••菱形的周长为52cm,
•°AB=13cm,
在RtAAOB中,由勾股定理得,AO2+BO2=AB2=132=169,
所以，（AO+BO）2=AO2+2AO?
BO+BO2=169+60X2=289,
所以，AO+BO=17,
所以，AC+BD=2（AO+BO）=2X17=34cm.
故选D.
D
点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观•
10.设a，b是方程x2+x-2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）
A.2014B.2015C.2016D.2017
考点】根与系数的关系.
分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2016=0，即a2=-a+2016，则a2+2a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b=-1,然后利用整体代入的方法计算.
解答】解：
ta是方程x2+x-2016=0的实数根，
••a2+a-2016=0，
••a2=-a+2016，
•'a2+2a+b=-a+2016+2a+b=a+b+2016，
••a、b是方程X+x-2016=0的两个实数根，
•'a+b=-1，
••a2+2a+b=-1+2016=2015.
故选B.
点评】本题考查了根与系数的关系：
若X1，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a
bc一
丸））的两根时，X1+X2=-—，X1X2=：
.也考查了一元二次方程的解.
11.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接
BM、DN.若四边形MBND是菱形，贝打等于（
A.
B.:
考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质.
分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△
ABM中三边的关系.
解答】解：
••四边形MBND是菱形，
••MID=MB.
••四边形ABCD是矩形，
•••/A=90°.
设AB=x，AM=y，则MB=2x-y，（x、y均为正数）在RtAABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x-y）2，
故选:
C.
点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理.解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用
12.如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为
（）
A.27B.2T：
C.3D.'
考点】轴对称-最短路线问题.
分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果.
解答】解：
设BE与AC交于点F（P'）连接BD，
••点B与D关于AC对称，
•••P'D=P'B，
•••P'+D'E=F+'P'E=BS小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
••正方形ABCD的面积为12，
••AB=2二.
又•「△ABE是等边三角形，
•••BE=AB=2一.
故所求最小值为2:
-.
点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问
题.
二、填空题：
（本题有4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡上）.
13.方程x2=2x的解为_X]=0,X2=2.
考点】解一元二次方程-因式分解法.
分析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解.
解答】解：
••X2=2x
.'X2-2x=0，
X（X-2）=0，
解得:
xi=0，X2=2，
故答案为：
Xi=0，X2=2.
点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意正确的因式分解方程是解决问题的关键.
14.某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，
然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现
其中2只有标志.从而估计该地区有黄羊600只.
考点】用样本估计总体.
分析】捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志.说明有标记的占到,而有标记
60
的共有20只，根据所占比例解得.
9
解答】解：
20:
=600（只）.
60
故答案为600.
点评】本题考查了用样本估计总体的思想，统计的思想就是用样本的信息来估
计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体.
15.如图，DE//BC,DF//AC,AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，则线段BF长为
10_cm.
考点】相似三角形的判定与性质.
分析】由题意推知四边形DFCE是平行四边形，则DE=FC，DE//FC,易推知△
ADEs^abc,由相似三角形的对应边成比例推知BC的长度，则BF=BC-DE.
解答】解：
如图,TDE//BC,DF//AC,
•••四边形DFCE是平行四边形,
•••DE=FC,DE//FC,
•••△ADEsMBC,
.AD_DE
又AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,
•旦=立
故BC=15,
贝UBF=BC-DE=10cm.
故答案是：
10.
点评】本题考查了相似三角形的判定与性质.根据题意推知四边形DFCE是平行四边形是解题的关键.
16.两个反比例函数，..和.厂「在第一象限内的图象如图所示，点P在，■.的图象上，PC丄x轴于点C,交，，.的图象于点A,PD丄y轴于点D,交，■.的图象于点B,当点P在亠的图象上运动时，以下结论：
x
1厶ODB与厶OCA的面积相等：
②四边形PAOB的面积不会发生变化：
③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中一定正确的是①②④（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式：
“①②③④”）
考点】反比例函数系数k的几何意义.
分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|,是个恒等值即易解题.
解答】解：
①△ODB与厶OCA的面积相等都为;
2四边形PAOB的面积不会发生变化为k-1;
3不能确定PA与PB是否始终相等；
4由于反比例函数是轴对称图形,当A为PC的中点时,B为PD的中点,故本选项正确.
故其中一定正确的结论有①、②、④.
故答案为：
①、②、④.
点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数，：
中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.
、解答题（本大题有7题，其中17题6分，18题6分，19题7分，20题7分，21题8分，22题8分，23题10分，共52分）
17•解方程
（1）x2-4x-5=0
（2）5x2+2x-1=0.
考点】解一元二次方程-因式分解法.
分析】
（1）因式分解法求解可得；
（2）公式法求解可得.
解答】解：
（1）vx2-4x-5=0,
•'•（X+1）（x-5）=0,
•°X1=-1或X2=5.
（2）va=5,b=2,c=-1,
•△二b2-4ac=4+4X5X1=24>0,
-2±2^6-1土養
•X=“=
点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种
常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选
择合适、简便的方法是解题的关键.
18.在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）.游戏规则是：
两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个游戏规则对双方公平吗？
请你利用树状图或列表法说明理由•
考点】游戏公平性；列表法与树状图法•
分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等•
解答】解：
此游戏不公平•理由如下：
列树状图如下，
开始
红红堇蓝
纤纤堇蔣纤红董蒔纤纤堇薪纤红堇蓝
列表如下，
红
红
堇
蓝
红
紅红）
（红,红）
（红，黄）
（红,蓝）
红
红红）
（红.红）
血,>）
虹蓝）
堇
寓红）
（貴红）
眞黄）
（黄，蓝）
蓝
CK,红）
（E,红）
（蓝，黄）
（蓝，蓝）
由上述树状图或表格知：
所有可能出现的结果共有16种.
_「卄亠63_
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