第四章相似图形.docx
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第四章相似图形
第四章相似图形
§1线段的比
教学目标
知识目标
1、结合现实情境了解线段的比和成比例线段。
2、理解并掌握比例的性质及其简单应用。
能力目标通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会教学与自然、社会的密切联系
德育目标
培养学生学习数学的兴趣及理论联系实际的能力
重点难点
线段比的概念及其求解
教具媒体
多媒体
教材分析
本节通过具体问题的情境，使学生认识线段的比和成比例线段等概念，并利用引入比值k的方法研究比例的主要性质，为后续学习奠定基础
1、新课引入
创设一个恰当的问题情境，促进学生自觉地认识现实中的比例模型，在解决问题的氛围中了解线段的比
引入比值k的方法是解决比例问题的一种重要方法，事实上，利用这种方法，可以很方便地推导出比例的性质
通过本例与学生一起探讨线段比的应用：
在已知比例尺（线段比的情况下，知道图上长度可求实际长度；求法类似解分式方程。
利用powerpoint打出图片，并结合图片给出问题：
（1）如果把大树和小颖的高分别看成如图4-1所示的两条虚线段AB，CD，那么这两条线段的长度比是多少？
（2）已知小颖的身高是1.6m，大树的实际高度是多少？
两条线段长度的比与所采用的长度单有没有关系？
通过思考、交流，引导学生得出：
线段的长度比与所采用的长度单位无关
如果选用一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB：
CD=m：
n，或写成
=
.其中，线段AB：
CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把
表示成比值k，那么
=k，或AB=k·CD
此处对线段比的前项、后项概念作进一步解析。
例1在某市城区地图（比例尺1：
9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm，10cm.
（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？
它们的实际长度之比呢？
解：
（1）根据题意，得
学生结合课本进行测量、计算、讨论、交流，尽量给出答案
学生交流、探讨
学生自学，了解“两条线段的比”的概念
注意将本题与所学地理学科进行联系
实际长度之比等于图上长度之比，这一结论以后可以直接使用
为成比例线段埋下伏笔
随堂练习因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm），
144000cm=1440m
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000cm=900m
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是
16：
10=8：
5
新安大街与光华大街的实际长度使比是
14400：
90000=8：
5
1、在比例尺为1：
8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
2、生活中还有哪些利用线段比的事例？
注意单位的换算
注意体会利用所求得的结论推导出有用结论
学生计算回答
通过此问题回答，紧密联系生活
课堂小结
本节通过具体问题的情境，使学生认识线段的比的概念，并利用引入比值k的方法研究比例的方法，应熟练掌握线段比的概念以及它们在实际中的运用。
作业A
习题4.1--------------1、2、3
B
目标检测
§4.2黄金分割
教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
教学方法
讲解法
教具准备
投影片一张：
（记作§4.2A）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
图4－6
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？
比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？
本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算
、
它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以
.
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中
≈0.618.
投影片（§4.2A）
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=
AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足
.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：
∵AB=1,AC=x,BD=
AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+
）2=12+（
）2
∴x2+x+
=1+
∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正
∴AC=
≈0.618
∴
≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，
点E是AB的黄金分割点吗？
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为
所以
即
因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.随堂练习
1.解：
设AB=a,根据题意，得
AE=
由勾股定理，得
EF=EB=
=
=
a
∴AF=AH=BE－AE=
a
BH=AB－AH=a－
∴
∴
∴点H是AB的黄金分割点.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了：
1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅴ.课后作业
习题4.3
Ⅵ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？
太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
板书设计
§4.2黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、随堂练习
三、课时小节
四、课后作业
§4.3形状相同的图形
教学目标
（一）教学知识点
在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.
（二）能力训练要求
通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；通过画形状相同的图形，训练大家的动手能力.同时，同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力.
（三）情感与价值观要求
通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维.
教学重点
认识和会画形状相同的图形.
教学难点
会画形状相同的图形.
教学方法
主动探索加合作交流法
教具准备
投影片三张
第一张（记作§4.3A）
第二张（记作§4.3B）
第三张（记作§4.3C）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形.
Ⅱ.新课讲解
1.观察图形找特点（投影片§4.3A）
［师］请看课本102页，回答下列问题
（1）如图
（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？
（2）如图
（2），两个足球的形状相同吗？
它们的大小呢？
（3）如图（3），两个正方体物体的形状相同吗？
（4）如图（4），复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？
［生］
（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状没有改变，只是大小不同；
（2）两个足球的形状相同，大小不同；
（3）两个正方体物体的形状相同；
（4）复印前后纸上对应图形之间形状相同，大小不同.
［师］大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？
［生］每对图形形状相同，大小不同.
［师］对，每对图形都是形状相同的图形，从上面的图形中我们大概了解了形状相同的图形的特点，下面我们通过观察，找出形状相同的图形.
2.找形状相同的图形
投影片（§4.3B）
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.
［生］
（1）与（3）；
（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.
3.画形状相同的图形
做一做
投影片（§4.3C）
利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
1.将2个长短相同的橡皮筋系在一起.
2.选取一个图形，在图形外取一个定点.
3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一枚铅笔固定在橡皮筋的另一端.
4.拉动铅笔，使2个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形.
这个新图形与已知图形形状相同.
［师］请看课本52页中按上述步骤画出的图形.下面请大家自己确定一个图形，然后按照上述步骤画形状相同的图形.
如：
图4－9
Ⅲ.课堂练习
1.解：
（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形，如图4－10.
图4－10
（2）填表1如下：
表1
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,y）
O1（0,0）
A1（2,2）
B1（4,4）
C1（6,2）
D1（8,0）
分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.
图4－11
得到的图形还是字母A.
填写表2如下：
表2
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（x,2y）
O2（0,0）
A2（1,4）
B2（2,8）
C2（3,4）
D2（4,0）
连接如下图
图4－12
所得图形还是字母A.
填写表3如下：
表3
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,2y）
O3（0,0）
A3（2,4）
B3（4,8）
C3（6,4）
D3（8,0）
连接如下图
图4－13
得到的图形还是字母A.
（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同.
Ⅳ.课后作业
习题4.4
Ⅴ.课时小结
本节课我们认识了形状相同的图形，并能找出形状相同的图形，还学习了如何画形状相同的图形.
Ⅵ.活动与探究
从上题的第1图和第4图中可知.
OB=
=BD
AC=2
O3B3=
=B3D3
A3C3=4
∴O3B3=2OBA3C3=2ACB3D3=2BD
由此可知：
形状相同的图形中，对应线段成比例.
如△ABC与△A′B′C′形状相同，其AB=2cm,BC=4cm,A′B′=4cm，求B′C′.
解：
因为形状相同的图形中对应线段成比例，所以
即
所以B′C′=8cm.
板书设计
§4.3形状相同的图形
一、1.观察图形找特点.
2.找形状相同的图形.
3.画形状相同的图形（做一做）.
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
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