四年级数学上册思维训练教材.docx
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四年级数学上册思维训练教材
目录
第1讲平均数问题……………………………………………………1
第2讲速算与巧算……………………………………………………3
第3讲找规律…………………………………………………………5
第4讲变化规律………………………………………………………7
第5讲算式谜
(一)…………………………………………………9
第6讲算式谜
(二)…………………………………………………12
第7讲应用题…………………………………………………………15
第8讲逻辑推理………………………………………………………17
第9讲数数图形………………………………………………………21
第10讲容斥原理………………………………………………………24
第11讲简单的统筹规划问题…………………………………………27
第12讲图形问题………………………………………………………31
第13讲错中求解………………………………………………………34
第14讲数学开放题……………………………………………………36
第15讲数数与计数……………………………………………………40
终结性测试题一………………………………………………………44
终结性测试题二………………………………………………………46
第1讲平均数问题
专题简析:
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间,同学之间成绩的高低,求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛,例如,求平均身高问题,求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是:
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”,然后用总数量除以总份数求出平均数。
例1:
二
(1)班学生分三组植树,第一组有8人,共植树80棵;第二组有6人,共植树66棵;第三组有6人,共植树54棵。
平均每人植树多少棵?
分析与解答:
因为二
(1)班学生分三组植树,由问题可知“平均范围”是三个组,是按人数平均,因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。
三个组植树的总棵数为:
80+66+54=200棵,总人数为:
8+6+6=20人,所以平均每人植树200÷20=10棵。
随堂练习:
电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台,后20天共生产电视机6300台。
这个月平均每天生产电视机多少台?
例2:
王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。
其中两个同学身高153厘米,一个同学身高152厘米,有两个同学身高149厘米,还有两个同学身高147厘米。
求四年级羽毛球队同学的平均身高。
分析与解答:
这道题可以按照一般思路解,即用身高总和除以总人数。
这道题还可以采用假设平均数的方法求解,容易发现,同学们的身高都在150厘米左右,可以假设平均身高为150厘米,把它当作基准数,用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。
(153×2+152+149×2+147×2)÷(2+1+2+2)=150厘米
或:
150+(3×2+2-1×2-3×2)÷(2+1+2+2)=150厘米
随堂练习:
五
(1)班有7个同学参加数学竞赛,其中有两个同学得了99分,还有三个同学得了96分,另外两个同学分别得了97、89分。
这7个同学的平均成绩是多少?
例3:
从山顶到山脚的路长36千米,一辆汽车上山,需要4小时到达山顶,下山沿原路返回,只用2小时到达山脚。
求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答:
求往返的平均速度,要用往返的路程除以往返的时间,往返的路程是36×2=72千米,往返的时间是4+2=6小时。
所以,这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
随堂练习:
小强家离学校有1200米,早上上学,他家到学校用了15分钟,从学校到家用了10分钟。
求小强往返的平均速度。
例4:
李华参加体育达标测试,五项平均成绩是85分,如果投掷成绩不算在内,平均成绩是83分。
李华投掷得了多少他?
分析与解答:
先求出五项的总得分:
85×5=425分,再算出四项的总分:
83×4=332分,最后用五项总分减去四项总分,就等于李华投掷的成绩:
425-332=93分。
随堂练习:
小军参加了3次数学竞赛,平均分是84分。
已知前两次平均分是82分,他第三次得了多少分?
例5:
如果四个人的平均年龄是23岁,四个人中没有小于18岁的。
那么年龄最大的人可能是多少岁?
分析与解答:
因为四个人的平均年龄是23岁,那么四个人的年龄和是23×4=92岁;又知道四个人中没有小于18岁的,如果四个人中三个人的年龄都是18岁,就可去求另一个人的年龄最大可能是92-18×3=38岁。
随堂练习:
如果三个人的平均年龄是22岁,且没有小于18岁的,那么三个人中年龄最大的可能是多少岁?
拓展训练
1、小明参加数学考试,前两次的平均分是85分,后三次的总分是270分。
求小明这五次考试的平均分数是多少。
2、二
(1)班学生分三组植树,第一组有8人,平均每人植树10棵;第二组有6人,平均每人植树11棵;第三组有6人,平均每人植树9棵。
二
(1)班平均每人植树多少棵?
3、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下:
13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。
求一周的平均气温。
4、敬老院有8个老人,他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。
求这8个老人的平均年龄。
5、李大伯上山采药,上山时他每分钟走50米,18分钟到达山顶;下山时,他沿原路返回,每分钟走75米。
求李大伯上下山的平均速度。
6、小亮上山时的速度是每小时走2千米,下山时的速度是每小时走6千米。
那么,他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米?
7、小丽在期末考试时,数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分;数学成绩公布后,她的平均成绩下降了1分。
小丽的数学考了多少分?
8、某班一次外语考试,李星因病没有参加。
其他同学的平均分是95分,第二天他的补考成绩是65分,如果加上李星的成绩后,全班的平均分是94分。
这个班有多少人?
9、如果四个人的平均年龄是28岁,且没有大于30岁的。
那么最小的人的年龄可能是多少岁?
10、如果四个人的平均年龄是25岁,四个人中没有小于16岁的,且这四个人的年龄互不相等。
那么年龄最大的可能是多少岁?
第2讲速算与巧算
1.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
例1
计算:
①300-73-27②1000-90-80-20-10
解:
①式=300-(73+27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
随堂练习:
计算:
500-124-56210-48-52
2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例2
计算:
①4723-(723+189)②2356-159-256
解:
①式=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
随堂练习:
计算:
368-124-168721-59-221
3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整,再运算(注意把多加的数再减去,把多减的数再加上)。
例3
计算:
①506-397②467+997
解:
①式=500+6-400+3(把多减的3再加上)
=109
②式=467+1000-3(把多加的3再减去)
=1464
随堂练习:
计算:
323-189543+198
拓展训练
1、用简便方法求差。
①1870-280-520②4995-(995-480)
③4250-294+94④1272-995
2、用简便方法计算。
①890-198②365-296
③284+97④342+198
6、计算1032+1028+1033+1029+1031+1030
7、计算19998+39996+49995+69996
8、计算1208-569-208
9、计算283+69-183
10、计算2318+625-1318+375
第3讲找规律
专题简析:
对于较复杂的按规律填数的问题,我们可以从以下几个方面来思考:
1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析,需要我们灵活地思考,没有一成不变的方法,有时需要综合运用其他知识,一种方法不行,就要及时调整思路,换一种方法再分析;
2、对于那些分布在某些图中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关,这是我们解这类题的突破口。
3、对于找到的规律,应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
例1:
根据下表中的排列规律,在空格里填上适当的数。
12
18
6
8
15
7
4
8
分析与解答:
经仔细观察、分析表格中的数可以发现:
12+6=18,8+7=15,即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。
依此规律,空格中应填的数为:
4+8=12。
随堂练习:
找规律,在空格里填上适当的数。
9
16
7
8
17
5
4
12
9
16
21
5
10
11
9
6
24
4
9
12
16
7
35
30
例2:
根据前面图形中的数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数?
分析与解答:
经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系:
5×12÷10=64×20÷10=8
根据这一规律,第三个圈中右下角应填的数为:
8×30÷10=24
随堂练习:
根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的空格里应填什么数。
(1)
例3:
先计算下面一组算式的第一题,然后找出其中的规律,并根据规律直接写出后几题的得数。
12345679×9=12345679×18=
12345679×54=12345679×81=
分析与解答:
题中每个算式的第一个因数都是12345679,它是有趣的“缺8数”,与9相乘,结果是由九个1组成的九位数,即:
111111111。
不难发现,这组题得数的规律是:
只要看每道算式的第二个因数中包含几个9,乘积中就包含几个111111111。
因为:
12345679×9=111111111
所以:
12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999
随堂练习:
找规律,写得数。
1+0×9=2+1×9=3+12×9=4+123×9=9+12345678×9=
例4:
找规律计算。
(1)81-18=(8-1)×9=7×9=63
(2)72—27=(7-2)×9=5×9=45
(3)63-36=(□-□)×9=□×9=□
分析与解答:
经仔细观察、分析可以发现:
一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减,只要用十位与个位数字的差乘9,所得的积就是这两个数的差。
63-36=(6-3)×9=3×9=27
随堂练习:
利用规律计算。
(1)53-35
(2)82-28
例5:
计算
(1)26×11
(2)38×11
分析:
一个两位数与11相乘,只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间,就是所求的积。
(1)26×11=2(2+6)6=286
(2)38×11=3(3+8)8=418
注意:
如果两个数字的和满十,要向前一位进一。
随堂练习:
计算下面各题。
(1)27×11
(2)32×11
拓展训练
1、根据前面图形中数之间的关系,想一想第三个图形的空格里应填什么数。
(1)
(2)
2、找规律,写得数。
(1)1×1=11×11=111×111=111111111×111111111=
(2)19+9×9=118+98×9=1117+987×9=
11116+9876×9=111115+98765×9=
3、利用规律计算。
(1)92-29
(2)61-16(3)95-59
4、找规律计算。
(1)62+26=(6+2)×11=8×11=88
(2)87+78=(8+7)×11=15×11=165
(3)54+45=(□+□)×11=□×11=□
5、计算下面各题。
(1)39×11
(2)46×11
(3)92×11(4)98×11
第4讲变化规律
例1:
两个数相加,一个加数增加9,另一个加数减少9,和是否发生变化?
分析与解答:
一个加数增加9,假如另一个加数不变,和就增加9;假如一个加数不变,另一个加数减少9,和就减少9;和先增加9,接着又减少9,所以不发生变化。
随堂练习:
1,两个数相加,一个数减8,另一个数加8,和是否变化?
2,两个数相加,一个数加3,另一个数也加3,和起什么变化?
例2:
两个数相加,如果一个加数增加10,要使和增加6,那么另一个加数应有什么变化?
分析与解答:
一个加数增加10,假如另一个加数不变,和就增加10。
现在要使和增加6,那么另一个加数应减少10-6=4。
随堂练习:
两个数相加,如果一个加数增加8,要使和增加15,另一个加数应有什么变化?
例3:
两数相减,如果被减数增加8,减数也增加8,差是否起变化?
分析与解答:
被减数增加8,假如减数不变,差就增加8;假如被减数不变,减数增加8,差就减少8。
两个数的差先增加8,接着又减少8,所以不起什么变化。
随堂练习:
两数相减,被减数减少6,减数也减少6,差是否起变化?
例4:
两数相乘,如果一个因数扩大8倍,另一个因数缩小2倍,积将有什么变化?
分析与解答:
如果一个因数扩大8倍,另一个因数不变,积将扩大8倍;如果一个因数不变,另一个因数缩小2倍,积将缩小2倍。
积先扩大8倍又缩小2倍,因此,积扩大了8÷2=4倍。
随堂练习:
两数相乘,如果一个因数缩小4倍,另一个因数扩大4倍,和是否起变化?
例5:
两数相除,如果被除数扩大4倍,除数缩小2倍,商将怎样变化?
分析与解答:
如果被除数扩大4倍,除数不变,商就扩大4倍;如果被除数不变,除数缩小2倍,商就扩大2倍。
商先扩大4倍,接着又扩大2倍,商将扩大4×2=8倍。
随堂练习:
两数相除,被除数扩大30倍,除数缩小5倍,商将怎样变化?
拓展训练
1、两个数相加,一个数减6,另一个数减2,和起什么变化?
2、两个数相加,如果一个加数增加8,要使和减少15,另一个加数应有什么变化?
3、两个数相加,如果一个加数减少8,要使和减少8,另一个加数应有什么变化?
4、两数相减,被减数增加12,减数减少12,差起什么变化?
5、两数相减,被减数减少10,减数增加10,差起什么变化?
6、两数相乘,如果一个因数扩大3倍,另一个因数缩小12倍,积将有什么变化?
7、两数相乘,如果一个因数扩大3倍,另一个因数扩大6倍,积将有什么变化?
8、两数相除,被除数缩小12倍,除数缩小2倍,商将怎样变化?
9、两数相除,除数扩大6倍,要使商扩大3倍,被除数应怎样变化?
第5讲算式谜
(一)
专题简析:
“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。
解决这类问题,可以根据已学过的知识,运用正确的分析推理方法,确定算式中的未知数字和运用符号。
由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏,所以,我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时,要先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
例1:
在下面算式的括号里填上合适的数。
分析与解答:
根据题目特点,先看个位:
7+5=12,在和的个位()中填2,并向十位进一;再看十位,()+4+1的和个位是1,因此,第一个加数的()中只能填6,并向百位进1;最后来看百位、千位,6+()+1的和的个位是2,第二个加数的()中只能填5,并向千位进1;因此,和的千位()中应填8。
随堂练习:
(1)在括号里填上合适的数。
(2)在方框里填上合适的数。
例2:
下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
当它们各代表什么数字时,下列的算式成立。
分析与解答:
先看个位,3个“飞”相加的和的个位数字是1,可推知“飞”代表7;再看十位,3个“腾”相加,再加上个位进来的2,所得的和的个位是0,可推知“腾”代表6;再看百位,两个“龙”相加,加上十位进上来的2,所得和的个位是0,“龙”可能是4或9,考虑到千位上的“巨”不可能为0,所以“龙”只能代表4,“巨”只能代表1。
随堂练习:
例3:
下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个,相同的汉字代表相同的数字。
这些汉字各代表哪些数字?
分析与解答:
这道题应以“卒”入手来分析。
“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”,这个数字只能是0。
确定“卒”是0后,所有是“卒”的地方,都是0。
注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”,容易知道“兵”是5,“车”是1;再由十位上的情况可推知“马”是4,进而推得“炮”是2。
随堂练习:
例4:
将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析与解答:
要求用七个数字组成五个数,这五个数有三个是一位数,有两个是两位数。
显然,方格中的数和被除数是两位数,其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式,也不能做除数。
由于2×6=12(2将出现两次),2×5=10(经试验不合题意),2×4=8(7个数字中没有8),2×3=6(6不能成为商)。
因此,0、1、2只能用来组成两位数。
经试验可得:
3×4=12=6=÷5
随堂练习:
(1)将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
例5:
把“+、-、×、÷”分别放在适当的圆圈中(运算符号只能用一次),并在方框中填上适当的数,使下面的两个等式成立。
36○0○15=1521○3○5=□
分析与解答:
先从第一个等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一个数15相同,因为0+15=15,所以,只要使36与0的运算结果为0就行。
显然,36×0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”,在第二个等式中只有“-”、“÷”可以填,题目要求在方框中填整数,已知3不能被5整除,所以“÷”只能填在21与3之间,而3与5之间填“-”。
随堂练习:
把“+、-、×、÷”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上适当的整数,使下面每组的两个等式成立。
①9○13○7=10014○2○5=□
②17○6○2=1005○14○7=□
拓展训练
1、下面的竖式里,有4个数字被遮住了,求竖式中被盖住的4个数字的和。
2、
3、
4、
(1)填入1、2、3、4、7、9,使等式成立。
□÷□=□÷□
(2)用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式:
(1+3)×7=28。
请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。
5、将1~9这九个数字填入□中(每个数字只能用一次),组成三个等式。
□+□=□□-□=□□×□=□
第6讲算式谜
(二)
专题简析:
解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点:
1.认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断;
2.利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字;
3.试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的目的;
4.算式谜解出后,要验算一遍。
例1:
在下面的方框中填上合适的数字。
分析与解答:
由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
随堂练习:
在□里填上适当的数。
例2:
在下面方框中填上适合的数字。
分析与解答:
由商的十位是1,以及1与除数的乘积
的最高位是1可推知除数的十位是1。
由第一
次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只
可能是7、8、9。
如果是7,除数的个位是0,
那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的
个位就是1,也不能除尽;只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽。
完整的竖式是:
随堂练习:
在□内填入适当的数字,
使下列除法竖式成立。
例3:
下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?
分析与解答:
因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1;d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0(1已经用过);再由b=0,可推知c=8。
随堂练习:
求下列各题中每个汉字所代表的数字。
例4:
在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。
123456789=100
分析与解答:
先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如:
123与100比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行。
因为45与67相差22,8与9相差1,所以得到一种解法:
123+45-67+8-9=100
再比如:
89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法:
123+45-67+8-9=100
随堂练习:
(1)在下面等号左边的数字之间添上一些加号,使其结果等于99(数字的顺序不能改变)。
987654321=99
例5:
在下面的式子里添上括号,使等式成立。
7×9+12÷3-2=23
分析与解答:
采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。
假如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为25×3=75,而前面7×9+12又正好等于75,所以,应给前面两步运算加括号。
(7×9+12)÷3-2=23
随堂练习:
在下面的式子里添上括号,使等式成立。
7×9+12÷3-2=75
拓展训练
1、在□里填上适当的数。
2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。
3、
(1)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。
123456789=100
(2)添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立。
12345=100
4、在下面的式子里添上括号,使等式成立。
(1)7×9+12÷3-2=47
(2)88+33-11÷11×2=5
第7讲应用题
专题简析:
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