d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
10.求圆的方程时常用的四个几何性质
11.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
（1）几何方法
运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
（2）代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式
AB＝|xA－xB|
＝.
注：
圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
12.空间中两点的距离公式
一般地，空间中任意两点P1（x1，y1，z1），点P2（x2，y2，z2）间的距离为
P1P2＝________________________.
类型一 待定系数法的应用
命题角度1 求直线方程
例1 直线l被两条直线l1：
4x＋y＋3＝0和l2：
3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1,2），求直线l的方程.
反思与感悟 待定系数法，就是所研究的式子（方程）的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.
跟踪训练1 求在两坐标轴上截距相等，且到点A（3,1）的距离为的直线的方程.
命题角度2 求圆的方程
例2 根据条件求下列圆的方程.
（1）求经过A（6,5），B（0,1）两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；
（2）求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程.
反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
第一步：
选择圆的方程的某一形式.
第二步：
由题意得a，b，r（或D，E，F）的方程（组）.
第三步：
解出a，b，r（或D，E，F）.
第四步：
代入圆的方程.
注：
解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：
圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.
跟踪训练2 如图所示，圆C与x轴相切于点T（1,0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB＝2，则圆C的标准方程为________________.
类型二 分类讨论思想的应用
例3 已知直线l经过点P（－4，－3），且被圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.
反思与感悟 对于求直线方程的问题，用斜率表示直线方程，要注意讨论斜率不存在的情况.
跟踪训练3 如图，已知以点A（－1,2）为圆心的圆与直线l1：
x＋2y＋7＝0相切.过点B（－2,0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
（1）求圆A的方程；
（2）当MN＝2时，求直线l的方程.
类型三 数形结合思想
例4 已知三条直线l1：
x－2y＝0，l2：
y＋1＝0，l3：
2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.
反思与感悟 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果.
跟踪训练4 已知点A（－1,0），B（2,0），动点M（x，y）满足＝，设动点M的轨迹为C.
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；
（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：
y＝x＋m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过点A？
若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
1.下列有关直线l：
x＋my－1＝0的说法：
①直线l的斜率为－m；②直线l的斜率为－；
③直线l过定点（0,1）；④直线l过定点（1,0）.
其中正确的说法是________.（填序号）
2.直线l过点A（3,4）且与点B（－3,2）的距离最远，那么l的方程为________.
3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为______________.
4.过点P（－1,0）、Q（0,2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，则这两条直线的方程分别为______________________________________________.
5.已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
（1）当直线与圆相切时，求实数m的值；
（2）当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值.
1.待定系数法是求解直线与圆的方程的一种非常重要的方法.
2.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.
3.
（1）圆的切线的性质：
圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.
（2）直线与圆相交的弦的有关性质：
相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线（中垂线）一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半满足勾股定理.
（3）与直径有关的几何性质：
直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.
答案精析
知识梳理
1．
（1）0°≤α<180°
（2）①k＝tanα（α≠90°）
②k＝（x1≠x2）
2．y＝kx＋b ＋＝1
4．无 无数组
5．
（1）
（2）① ②
6．
（1）（x－a）2＋（y－b）2＝r2
（2）（D2＋E2－4F>0）
7．
（1）在圆外
（2）在圆内 （3）在圆上
8．d>r d＝r d12.
题型探究
例1 解 方法一 设直线l与l1的交点为A（x0，y0），由已知条件，得直线l与l2的交点为B（－2－x0,4－y0），并且满足
即解得
因此直线l的方程为＝，
即3x＋y＋1＝0.
方法二 当直线l斜率的不存在时，经检验知不合题意．
设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），
即kx－y＋k＋2＝0.
由得x＝.
由得x＝.
则＋＝－2，解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3（x＋1），
即3x＋y＋1＝0.
方法三 两直线l1和l2的方程为
（4x＋y＋3）（3x－5y－5）＝0，①
将上述方程中（x，y）换成（－2－x,4－y），
整理可得l1与l2关于（－1,2）对称图形的方程为
（4x＋y＋1）（3x－5y＋31）＝0.②
①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求的直线方程．
跟踪训练1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由题意知＝，解得k＝1或k＝－.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不过原点时，
设所求直线的方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0.由题意知＝，
解得a＝2或a＝6.
所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
例2 解
（1）由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
由解得
∴圆心C（7，－3），半径为r＝AC＝.
∴所求圆的方程为（x－7）2＋（y＋3）2＝65.
（2）方法一 设圆的方程为
（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则圆心坐标为（a，b），半径为r＝，
圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离为
d＝.
由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得d2＋（）2＝r2，即＋8＝10，
∴（a－b）2＝4.又∵b＝2a，
∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
∴所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.
方法二 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10，∵圆心C（a，b）在直线y＝2x上，∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，
将y＝x代入（x－a）2＋（y－b）2＝10，
得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.
设直线y＝x交圆C于点A（x1，y1），
B（x2，y2），
则AB＝
＝＝4，
∴（x1＋x2）2－4x1x2＝16.
∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，
∴（a＋b）2－2（a2＋b2－10）＝16，
即a－b＝±2.
又∵b＝2a，
∴或
∴所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.
跟踪训练2 （x－1）2＋（y－）2＝2
例3 解 圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25的圆心为（－1，－2），半径r＝5，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k（x＋4），即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知
2＋2＝52，
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