三年级下期奥数训练和差倍问题复习提高整理.docx

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三年级下期奥数训练和差倍问题复习提高整理

三年级下期奥数训练和差倍问题复习提高（word版可编辑修改）

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第12讲和倍、差倍、和差问题复习应用

知识网络

已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数各是多少的应用题，我们称之为和倍问题；已知几个数的差以及它们之间的倍数关系,求这几个数的应用题叫差倍问题；已知两个数的和与它们之间的差，求这两个数的问题叫做和差问题。

基本公式和方法：

（1）解答和倍问题，一般先确定一个数为标准数（即一倍数），再根据其他各数是标准数的几倍，确定总和相当于标准数的几倍，可用除法先求出标准数，进而再算出其他各数分别是多少.

基本公式：

和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数或者和-小数=大数

（2）解答差倍问题,一般以小数作为标准数即一倍数，再根据大小两数间的倍数关系,确定差是标准数的多少倍，可先用除法求出小数，进而再求出大数。

基本公式：

差÷（倍数的差）=标准数（一倍数）小数×倍数=大数或者小数+差=大数

（3）解答和差问题，可以选择大数或小数作为标准数，然后进行思考。

以小数为标准，从和里减去两数差，恰好是小数的2倍，除以2可以求出小数；以大数为标准,把小数加上两数差，就与大数相等了,也就是用和加上两数差，正好是大数的2倍，除以2可以求出大数.

   解答和差问题的基本公式是:

（和－差）÷2=小数    和－小数=大数

   （和+差）÷2=大数    和－大数=小数

 重要提示：

确定题目中数量间的倍数关系，关键是正确确定标准数，常常采用画线段图的方法，来帮助理解和解题。

经典例题

［例1］某畜牧场有牛、羊共1502只，如果牛减少50只,羊增加350只,那么羊的只数比牛的只数的3倍多2，求原来牛、羊各有多少只?

思路剖析

此题中给出的数量关系“羊的只数比牛的只数的3倍多2"是牛、羊数量减、增完后的关系。

牛减少50只，羊增加350只后，牛、羊总量发生变化：

1502-50+350=1802（只）。

这时的总量是此时牛的数量的4倍多2只,那么变化后的牛、羊数可求，原来牛、羊的数量易知。

解答

变化后牛、羊总数：

1502-50+350=1802（只）

此时牛的只数：

（1802—2）÷（3+1）=1800÷4

=450（只）

此时羊的只数：

1802-450=1352（只）

原有牛的只数：

450+50=500（只）

原有羊的只数：

1352-350=1002（只）

答：

原来有牛500只，羊1002只。

点津

在求解此题时应注意牛、羊数前后的变化及变化后的数量关系。

［例2］在悉尼奥运会上,中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚。

中国队、荷兰队各获金牌多少枚?

思路剖析

由条件“中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚"，可把荷兰队的金牌数看作一份,那么中国队的金牌数为3份减8。

如果把中国队与荷兰队的金牌总数40枚再加上8枚，就等于荷兰队金牌数的4倍。

解答

荷兰队的金牌数:

（40+8）÷（3+1）=12（枚）

中国队的金牌数：

40—12=28（枚）

或者12×3-8=28（枚）

答:

中国队获金牌28枚,荷兰队获金牌12枚。

［例3]已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则和另一个数相等，求这两个数。

思路剖析

已知两个数的和是649，又知把其中一个数个位的0去掉，即缩小10倍后与另一个数相等，可知大数是小数的10倍，那么两数之和是小数的11倍，则可先求出一倍数，然后再求出另一个数。

解答

小数：

649÷（10+1）=649÷11=59

大数：

649—59=590

或者59×10=590

答：

这两个数分别为590和59。

点津

此题中两个数之间的数量关系是间接给出的，要通过分析得出它们之间的倍数关系.

[例4]有一箱苹果和一箱桔子，已知苹果数是桔子数的3倍.若每天从苹果箱中拿出2个苹果,从桔子箱中拿出1个桔子，经过几天后,还剩下7个苹果，桔子恰好取完,问原有桔子、苹果各多少个？

思路剖析

由于每天取出2个苹果和1个桔子,则取出的苹果数是桔子的2÷1=2倍，再由条件“苹果数是桔子数的3倍,可知剩下的苹果数应是桔子的3-2=l（倍）,即为桔子的个数.再由二者3倍的数量关系可求苹果数。

解答

桔子的个数：

7÷（3-2÷l）=7÷l=7（个）

苹果的个数：

7×3=21（个）

答：

有桔子7个,有苹果21个。

[例5]有两根同样长的铁丝,第一根截去14分米，第二根接上180厘米，这时第二根铁丝的长度是第一根长的3倍，两根铁丝原来各长多少分米?

思路剖析

由于变化后第二根铁丝是第一根铁丝的3倍，因此将变化后的第一根铁丝长度看作一倍数，而180厘米=18分米.变化后两根铁丝的差正好相当于第一根铁丝剩下部分的长度的2倍，所以,当从第一根截去14分米后剩下的长度（即一倍数）可以求出来了，那么两根铁丝的长度易求。

解答

180厘米=18分米

第一根铁丝截去14分米后剩下的长度:

（14+18）÷（3-1）=32÷2=16（分米）

两根铁丝原来的长度：

16+14=30（分米）

答:

两根铁丝原来的长度各为30分米。

点津

注意一倍数的选取，从两根铁丝变化后的长度差与一倍数的关系中求出一倍数.

［例6］A、B、C、D四个数，每相邻两个数的差是3,且D是A的4倍，求这四个数。

思路剖析

由于条件中给出“D是A的4倍”,只需知道D比A多多少，即D与A的差，那么此题易解。

由“每相邻两个数的差是3”,那么D与A相隔4—l=3个数，则D与A的差为：

3×3=9。

由条件“D是A的4倍”，知D比A多3倍。

把A当作一倍数，那么A值可求，B、C、D也易求.

解答

D与A的差:

3×（4-1）=9

D比A多：

4-1=3（倍）

A值为:

9÷3=3

B值为:

3+3=6

C值为:

6+3=9

D值为:

9+3=12

答：

这四个数分别为3、6、9、12.

［例7］在一道除法算式里,被除数、除数、商与余数的和是541，已知商13、余数5，求被除数和除数各是多少？

思路剖析

从四个数的总数541里面减去已知的商13、余数5，就是剩下的被除数与除数的和：

541-13—5=523。

由于余数是5，那么被除数减去5则正好是除数的13倍,这时总数为:

523-5=518，这正好是除数的13+1=14（倍）,把除数看作是1倍数，则除数可求。

再根据“被除数=除数×商+余数”，可求出被除数的值.

解答

被除数与除数的和：

541-13-5=523。

除数：

（523-5）÷（13+1）=518÷14=37

被除数:

37×13+5=486或者523-37=486

答：

被除数为486，除数为37。

 ［例8］．数学兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，兴趣小组男、女生各有多少人？

分析与解答：

可画线段图帮助理解：

男生：

45人

女生:

3人

方法一:

男生比女生多3人，若男生减少3人，男、女生就同样多，但总人数会因此也减少3人：

变为45－3=42（人），42人中男、女生同样多，各为42÷2=21（人）；

方法二:

男生比女生多3人，若女生增加3人，男、女生就同样多,但总人数会因此也家伙少年宫3人:

变为45－3=42（人），42人中男、女生同样多，各为42÷2=21（人）；

和:

45;差:

3;较小数：

女生；较大数：

男生

女生（小数）：

（45—3）÷2=21（人）

男生（大数）:

（45+3）÷2=24（人）

小结：

由此我们可以从中发现解决和差问题的一般公式

（和＋差）÷2=大数

（和－差）÷2=小数

[例9]．小丽在一次考试中，语文和数学的平均分是93分，数学比语文多4分，小丽的语文和数学各得了多少分？

分析与解答：

已知数学与语文的分数差是4分，而数学与语文的分数和没有直接告诉我们，要自己去找.从“语文和数学的平均分是93分”可求出分数和，然后利用和差问题的一般公式就可求出语、数两科的分数。

语文和数学的分数和是93×2=186，差:

4

数学（大数）（186＋4）÷2=95（分）

语文（小数）（186－4）÷2=91（分）

[例10]．二

（1）班和二

（2）班共有82人，如果从二

（1）班调4名学生到二

（2）班,那么两班人数相等.两个班各有学生多少人？

分析与解答:

此题和已知，关键是找到两班的人数差,从“从二

（1）班调4名学生到二

（2）班,两班人数相等”可知,二

（1）班比二

（2）班多2个4人，即多8人，利用关系式：

二

（1）班（大数）：

（82+8）÷2=45人;二

（2）班（小数）：

（82—8）÷2=37人。

[例11］．聪聪和明明共买了20本书，如果聪聪给明明6本书，那么聪聪就比明明少2本书。

问聪聪和明明各买了多少书?

分析与解答：

从题中我们可以很容易找到“和”,“差”却没有明确告知,从“如果聪聪给明明6本书,那么聪聪就比明明少2本书”中可知:

如果给了后两人一样的话，那么聪聪比明明多6×2=12本,但是给了后聪聪比明明少2本,说明实际上聪聪比明明只多12－2=10本。

这样和差的关系都有了，就可以用和差问题的方法来解决.

聪聪的本数（大数）：

（20＋10）÷2=15（本）

明明的本数（小数）：

（20－10）÷2=5（本）或15－10=5（本）

［例12］．小明、小刚、小虎三人共有课外书49本。

小明比小刚多4本，小刚又比小虎多6本,三人各有多少本?

分析与解答:

先画图分析

小明：

小刚：

4本共49本

小虎：

6本

可看出,小明比小虎多6+4=10本，如果增加10本，小明和小虎一样多；小明比小虎多4本，再增加4本，小明和小刚一样多；即：

总数增加（6+4）+4=14本后,正好是小明的3倍，可以求出小明的数量为（49+14）÷3=21本，进而得出小刚、小虎的数量。

反之，如果将总数减少（6+4+6）本，就正好是小虎的三倍，可以先得出小虎的数量,再求其他的数量。

即:

方法一:

小明（最大数）：

（49+4+6+4）÷3=21本，

小刚:

21-4=17本；小虎：

17-6=11本

方法二：

小虎（最小数）：

（49—4-6—6）÷3=11本

小刚：

11+6=17本；小虎：

17+4=21本

练一练：

工厂将875元奖金奖给有发明创造的三名优秀工人,第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得奖金多少元？

分析与解答：

第三名（即最小数）钱数的3倍是：

875－125－125-250=375（元）

第三名的钱数为375÷3=125（元）

第二名的钱数为125＋125=250（元）

第一名的钱数为250＋250=500（元）

思考如果以第一名或第二名为标准又该怎样解答呢？

小结：

解决三个数之间的和差关系要注意:

在分析三个数之差时，如果以最大数为标准或以最小数为标准，总数增加或减少的量是不同的，要特别细心分析。

发散思维训练

1．小江和小天总共有52张邮票.如果从小江的邮票中拿走一张，再把3张邮票放入小天的邮票中，小天的邮票就是小江的2倍。

小江和小天各有几张邮票？

2．已知A、B、C三个数之和是131，A除以B，B除以C，商都是5，余数都是1，求这三个数。

3．甲、乙两车间的工人数相等，由于工作需要，从甲车间调57人到乙车间去，这时乙车间人数正好是甲车间人数的4倍。

求甲、乙车间原来各有多少人？

4．某农场有鸡、鸭共4571只，如果鸡减少230只,鸭增加100只，那么鸡的只数比鸭的只数的3倍多1只，求原来有鸡、鸭各多少只？

5．三个物体的平均重量是37千克，甲物体比乙、丙物体重量之和重5千克，乙物体比丙物体的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克?

6．某校参加运动会的男生比女生的4倍少10人，比女生的3倍多22人,这个学校参加运动会的男、女生各有多少人？

7．甲、乙、丙三人的年龄和是134岁，其中甲比乙的3倍少9岁，丙比乙的2倍多5岁，求三人的年龄各是多少岁?

8．有A、B两个水塘,A塘中有水3000立方米,B塘中有水1200立方米,现从A塘中往B塘中引水，流速为每分钟50立方米，多少分钟后B塘中的水量是A塘中水量的2倍？

 9．学校一、二年级工友230人，一年级比二年级少30人，一、二年级各有多少人?

10．师徒两人合作2小时,共生产零件110个,师傅每小时比徒弟多生产5个，师徒两人每小时各生产零件多少个？

11．两只油桶共装油60千克，如果把第一桶里的油倒出6千克,两个油桶中的油就一样多。

第一桶里原来有油多少千克?

12．姐妹两人共有480元零花钱，如果姐姐给妹妹34元，则两人的钱数相等,原来姐妹两人各有多少钱？

13．把长118厘米的铁丝围成一个长方形，并且要求长比宽多11厘米，那么长与宽各应该是多少？

14．把99颗大白兔糖分给甲、乙、丙三个小朋友，甲比乙多分4个，乙又比丙多分4个，甲、乙、丙三个小朋友各分得多少个糖?

15．四个人的年龄之和是77岁,其中最小的10岁，最小的与最大的年龄之和比另外两人的年龄之和大7岁,最大的年龄是多少岁?

参考答案

发散思维训练

1．解：

从小江的邮票中拿走1张，再把3张邮票放入小天的邮票中，这时邮票总数:

52-l+3=54张，这时小天的邮票是小江的2倍，那么邮票总数是小江邮票数的3倍，那么小江现有邮票数：

54÷（2+l）=18（张）

小江原有邮票数：

18+l=19（张）

小天原有邮票数：

52－19＝33（张）

答：

小江有邮票19张，小天有邮票33张。

2．解：

将C看作标准数，即一倍数，因为C最小，那么B是C的5倍加1,A是B的5倍加1，即是C的［5×（5倍+l）+l］=25倍+6，三数之和为131，是标准数的1+5+25=31倍,再加上1+6=7，那么可求标准数为（131—7）÷31=124÷31=4,即C=4，那么B=4×5+l=21，A=21×5+l=106.

答：

A、B、C的值分别为106，21,4。

3．解：

把调走57人的甲车间人数看作1倍数,则乙车间调入57人后的人数是4倍数。

甲、乙两车间的人数相差4-l=3倍数,而甲、乙两车间人数相差57×2＝114人，这114人正是3倍数。

那么调走57人后的甲车间人数为：

114÷3=38（人），甲、乙车间原有人数:

38+57=95（人）。

答：

两车间原来各有95人.

4．解：

若鸡减少230只，鸭增加100只，则鸡、鸭的总数变成:

4571—230+100=4441（只）,此时鸡的只数比鸭的只数的3倍多1只，即总数是鸭的只数的4倍多1只，把鸭数当作1倍数,则

鸭数：

（4441—l）÷（3+1）=1110（只）

原来有鸭：

1110－100=1010（只）

原来有鸡：

4571－1010＝3561（只）

答：

农场原有鸡3561只,鸭1010只。

5．解：

由甲物体比乙、丙物体的重量之和重5千克，可知甲物体是乙、丙物体重量和的1倍多5千克。

那三物体的总重量是乙、丙物体重量和的2倍多5千克。

把乙、丙物体重量和当作1倍数，三物体总重量：

37×3＝111（千克）,乙、丙物体的重量和：

（111－5）÷（1+l）=106÷2=53（千克），那么甲物体的重量：

111－53＝58（千克）。

再由乙物体比丙物体的2倍还重2千克,知乙、丙物体的重量和是丙物体的3倍还重2千克,这时取丙物体重量为1倍数，

丙物体：

（53-2）÷（2+l）=51÷3=17（千克）

乙物体:

53－17=36（千克）或者17×2+2＝36（千克）

答：

甲重58千克，乙重36千克，丙重17千克.

6．解：

由题意知，若男生人数增加10人则为女生人数的4倍；若男生人数减少22人则为女生人数的3倍。

女生人数的4倍与女生人数的3倍的差：

22+10=32（人）,即女生有32人。

男生人数:

4×32－10=118（人）或者3×32+22＝118（人）

答：

参加运动会的男生有118人，女生有32人.

7．解：

由题中条件易知乙的年龄最小，把乙的年龄当作1倍数,由于甲是乙的3倍少9，丙是乙的2倍多5，那么三人的年龄和是乙的1+3+2＝6倍，且少9-5＝4岁.

则乙的年龄：

［134+（9-5）］÷（l+3+2）=138÷6=23（岁）

甲的年龄：

23×3－9＝60（岁）

丙的年龄：

23×2+5=51（岁）

答：

甲、乙、丙的年龄分别为60岁、23岁、51岁。

8．解：

A塘、B塘中共有水量：

3000+1200=4200（立方米）。

经过几分钟后使B塘中水量为A塘中水量的2倍,那么总水量为此时A塘水量的3倍,此时A塘有水：

4200÷（2+l）＝1400（立方米），比原来减少：

3000-1400=1600（立方米），每分钟排水50立方米，那么所需时间:

1600÷50＝32（分钟）

答：

32分钟后B塘水量为A塘的2倍。