＝80N
故此后细线张紧有拉力，小球继续做圆周运动，设小球第n次经过最高点时速度为vn，由动能定理得：
（n－1）qE·2l＝
mvn2－
mv12，n＝1，2，3，…
解得：
vn2＝64（n－1）＋32，n＝1，2，3，…
在最高点时，由牛顿第二定律得：
F＋mg－qE＝m
联立解得：
F＝10（8n－3）（N），n＝1，2，3，….
1．静电喷漆技术具有效率高、浪费少、质量好、有利于工人健康等优点，其装置示意图如图所示。
A、B为两块平行金属板，间距d＝0.30m，两板间有方向由B指向A、电场强度E＝1.0×103N/C的匀强电场。
在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P，油漆喷枪的半圆形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒，油漆微粒的质量m＝2.0×10－15kg，电荷量q＝－2.0×10－16C。
喷出的初速度v0＝2.0m/s。
油漆微粒最后都落在金属板B上。
微粒所受重力和空气阻力以及微粒之间的相互作用力均可忽略。
求：
（1）微粒落在B板上的动能；
（2）微粒从离开喷枪后到达B板所需的最短时间；
（3）微粒最后落在B板上所形成图形的面积。
【解析】
（1）据动能定理，电场力对每个微粒做功W＝Ekt－Ek0＝qEd
微粒打在B板上时的动能Ekt＝W＋Ek0＝qEd＋
mv
代入数据解得Ekt＝6.4×10－14J。
（2）微粒初速度方向垂直于极板时，到达B板时间最短，到达B板时速度为vt，由Ekt＝
mv
可得vt＝8.0m/s，由于微粒在两极板间做匀变速运动，即
＝
。
解得t＝0.06s。
（3）由于喷枪喷出的油漆微粒是沿各个方向的，因此微粒落在B板上所形成的图形是圆形。
喷枪沿垂直电场方向喷出的油漆微粒在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律，油漆微粒沿电场方向运动的加速度a＝
运动的位移d＝
at
油漆微粒沿垂直于电场方向做匀速运动，运动的位移即为落在B板上圆周的半径R＝v0t1
微粒最后落在B板上所形成的圆面积S＝πR2
联立以上各式，得S＝
代入数据解得S＝7.5×10－2m2。
2．如图所示，直角坐标系xOy的x轴水平，y轴竖直，处于竖直向下、大小为E0的匀强电场中，过O点，倾角为θ＝60°的足够大斜面固定在坐标系中。
质量为m、带电荷量为＋q的粒子从y轴上的P点，以某一速度沿x轴正方向射入，经过时间t，在坐标平面内加上另一匀强电场E，再经过时间t，粒子刚好沿垂直于斜面的方向到达斜面，且到达斜面时速度为零．不计粒子重力，求：
（1）粒子的初速度大小；
（2）P点与x轴的距离；
（3）匀强电场E的电场强度大小。
【解析】
（1）粒子运动轨迹如图中虚线所示，第一个时间t内，粒子做类平抛运动
加速度a＝
加上电场E时，粒子做匀减速直线运动．粒子在竖直方向的速度vy＝at
此时合速度方向垂直于斜面：
＝tanθ
可解得粒子的初速度v0＝
（2）第一个时间t内，粒子在竖直方向的位移y1＝
at2
水平方向的位移x1＝v0t
在第二个时间t内，粒子在竖直方向的位移也为y1，水平方向的位移x2＝y1tanθ
P点到x轴的距离l＝2y1＋（x1＋x2）tanθ
代入数据得：
l＝
（3）在第二个时间t内，在竖直方向：
qEy－qE0＝ma
在水平方向：
＝
所以E＝
解得：
E＝
E0
3．在一空间范围足够大区域内可能存在竖直向上的匀强电场，其电场线与坐标xOy平面平行。
以坐标原点O为圆心，作半径为R的圆交坐标轴于A、B两点，C点为AB圆弧中点位置，如图所示。
在原点O处有带正电小球，以某一初动能沿x轴正向水平抛出。
（1）空间电场强度为0时，小球以Ek0的初动能从O点平抛，刚好能经过C点位置，求小球经过C点位置时的动能。
（2）空间电场强度不为0时，小球以Ek0的初动能从O点平抛，当小球经过图中圆周上D点时动能大小为2Ek0，求D点位置坐标（图中未标出D点）。
（3）空间电场强度不为0时，小球以某一初动能从O点平抛，小球经过图中圆周上C点时动能大小为2Ek0，若已知带电小球的质量为m，电量为q，求空间所加匀强电场的场强大小（用m、q、g表达）。
【解析】
（1）小球从O到C做平抛运动有
可得vy＝2v0
则
得EkC＝5Ek0
（2）小球过D点时有
xD＝v0t
EkD＝2Ek0即
可得则有vy＝v0代入位移公式得：
又由几何关系得
解得，
（3）在
（1）问中由和
可得
空间有电场时小球过C点有：
xc＝v′0t
其中，
v′y＝2v′0
EkC＝2Ek0即
可得
代入位移公式得：
代入加速度公式得
4．在足够大的竖直匀强电场中，有一条与电场线平行的直线，如图中的虚线所示。
直线上有两个小球A和B，质量均为m。
电荷量为q的A球恰好静止，电荷量为2.5q的B球在A球正下方，相距为L。
由静止释放B球，B球沿着直线运动并与A球发生正碰，碰撞时间极短，碰撞中A、B两球的总动能无损失。
设在每次碰撞过程中A、B两球间均无电荷量转移，且不考虑两球间的库仑力和万有引力，重力加速度用g表示。
求：
（1）匀强电场的电场强度大小E；
（2）第一次碰撞后，A、B两球的速度大小vA、vB；
（3）在以后A、B两球不断地再次碰撞的时间间隔会相等吗?
如果相等，请计算该时间间隔T；如果不相等，请说明理由。
【解析】
（1）由题意可知，带电量为q的A球在重力和电场力的作用下恰好静止，则
qE＝mg
可得匀强电场的电场强度大小E＝
（2）由静止释放B球，B球将在重力和电场力的作用下向上运动，设与A球碰撞前瞬间速度为v1
由动能定理（2.5qE-mg）L＝mv12
解得v1＝
A、B两球碰撞时间很短，且无动能损失，由动量守恒和动能守恒
mv1＝mvA+mvB
mv12＝mvA2+mvB2
联立解得vA＝0，vB＝v1＝
（3）设B球在复合场中运动的加速度为a，A、B两球第一次碰撞后，A球开始向上以速度v1做匀速直线运动，B球又开始向上做初速度为零的匀加速直线运动，设到第二次碰撞前的时间间隔是t1
根据位移关系v1t1＝at12
解得t1＝
碰撞过程满足动量守恒且无动能损失，故每次碰撞之后两球都交换速度，第二次碰撞后，A球向上做匀速直线运动，速度为at1＝2v1
B球向上做初速度为v1的匀加速直线运动，设到第三次碰撞前的时间间隔是t2
由位移关系2v1t2＝v1t2+at22
解得t2＝＝t1
以此类推，每次碰撞时间间隔相等，该时间间隔为T＝
根据牛顿第二定律2.5qE-mg＝ma,a＝1.5g
T＝
5．如图所示，在竖直平面内存在直角坐标系xOy，第二象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E1，在第一象限内存在水平向右的匀强电场，电场强度为E2＝0.375N/C，在第一象限内，y＝4m处有水平绝缘平台PA，右端与半径为R＝0.4m的光滑绝缘竖直半圆弧轨道ACD平滑连接，相切于A点，D为其最高点。
一质量为m1＝2g、带正电q＝0.1C的可视为质点的小球从x轴上某点Q以与x轴负半轴成60°、大小v0＝10m/s的速度射入第二象限，恰好做匀速直线运动。
现在第二象限内小球运动的某段路径上加上垂直于纸面向外的圆形边界的匀强磁场，磁感应强度B＝0.2T，小球经过磁场区域后恰好水平向右运动，垂直于y轴从点P（0，4m）进入第一象限，恰好与静止放置在P点且可视为质点、质量m2＝3g、不带电的绝缘小物块碰撞并粘合在一起沿PA方向运动，设碰撞过程中带电量不变，粘合体命名为小物块S。
已知小物块S与平台的动摩擦因数μ＝0.35，平台PA的长度L＝1.0m，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。
求：
（结果可用根号表示）
（1）电场强度E1的大小；
（2）小球在磁场中运动的半径r的大小和圆形磁场区域的最小面积；
（3）小物块S在圆弧轨道上的最大速度；小物块S能否达到D点，若不能，请说明理由，若能，请求出小物块S落到平台PA上的位置与A点的距离。
【解析】
（1）小球m1在第二象限做匀速直线运动，由平衡条件有
可得电场强度E1的大小
（2）如图所示，在圆形磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
可得磁场中运动的半径
小球m1从G点进入磁场，从H点射出磁场，
其弦长GH为最小磁场圆的直径，
由几何知识有其圆心角θ＝120º
磁场圆的最小半径
最小面积
；
（3）小球m1和小物块m2在P处碰撞，由动量守恒定律有
可得碰撞后小物块S的速度
小物块S在圆弧轨道上受电场力和重力作用的合力方向与竖直方向的夹角设为α，
，解得
过圆心作合力的平行线交圆周下方为M点，如图，
小物块S在M点有最大速度。
小物块S由P到M，由动能定理有
可得小物块S运动过程中的最大速度：
假设小物块S能够通过圆弧到达D点，从P到D，由动能定理有
可得小物块S在D的速度：
在D点有
可得在D点的轨道的支持力，故假设成立，小物块S能到达D点。
小物块S从D点水平抛出，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀减速直线运动，
可得落点距A的距离。
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