Ch3整数规划.ppt

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3.1整数规划数学模型整数规划数学模型MathematicalModelofIP3.2纯整数规划的求解纯整数规划的求解SolvingPureIntegerProgramming3.301规划的求解规划的求解SolvingBinaryIntegerProgrammingChapter3整数规划整数规划IntegerProgramming运筹学运筹学OperationsResearch11/5/20223.1整数规划数学模型整数规划数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page3一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划。

当要求全部变量取整数值的，称为纯整个规划称为整数规划。

当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划。

数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划。

如果模型是线性的，称为整数线性规划。

本章只讨论整数线性如果模型是线性的，称为整数线性规划。

本章只讨论整数线性规划。

规划。

很多实际规划问题都属于整数规划问题很多实际规划问题都属于整数规划问题1.变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数2.对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变量量x，当，当x=1表示投资，表示投资，x=0表示不投资；表示不投资；3.人员的合理安排问题，当变量人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第表示安排第i人去做人去做j工作，工作，xij=0表示不安排第表示不安排第i人去做人去做j工作。

逻辑变量也是只允许取整数值工作。

逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。

的一类变量。

3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page4【例例3-1】某某人人有有一一背背包包可可以以装装10公公斤斤重重、0.025m3的的物物品品。

他他准准备备用用来来装装甲甲、乙乙两两种种物物品品，每每件件物物品品的的重重量量、体体积积和和价价值值如如表表3-1所所示。

问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？

示。

问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？

表表3-1【解解】设甲、乙两种物品各装设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为：

件，则数学模型为：

（3-1）3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP物品物品重量重量（公斤（公斤/每件）每件）体积体积（m3/每件）每件）价值价值（元元/每件每件）甲甲乙乙1.20.80.0020.00254311/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page5如如果果不不考考虑虑x1、x2取取整整数数的的约约束束（称称为为（3-1）的的松松弛弛问问题题），线性规划的可行域如图线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。

中的阴影部分所示。

3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP图图3-111/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page6用用图图解解法法求求得得点点B为为最最优优解解：

X（3.57，7.14），Z35.7。

由由于于x1，x2必必须须取取整整数数值值，实实际际上上整整数数规规划划问问题题的的可可行行解解集集只只是是图图中中可可行行域域内内的的那那些些整整数数点点。

用用凑凑整整法法来来解解时时需需要要比比较较四四种种组组合合，但但（4，7）、（4，8）（3，8）都都不不是是可可行行解解，（3，7）虽虽属属可可行行解解，但但代代入入目目标标函函数数得得Z=33,并并非非最最优优。

实实际际上上问问题题的的最最优优解解是是（5，5），Z=35。

即即两两种种物物品品各各装装5件件，总总价值价值35元。

元。

由由图图31知知，点点（5，5）不不是是可可行行域域的的顶顶点点，直直接接用用图图解解法法或或单单纯纯形形法法都都无无法法求求出出整整数数规规划划问问题题的的最最优优解解，因因此此求求解解整整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。

数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。

还还有有些些问问题题用用线线性性规规划划数数学学模模型型无无法法描描述述，但但可可以以通通过过设设置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。

置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。

3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page7【例例3-2】在在例例3-1中中，假假设设此此人人还还有有一一只只旅旅行行箱箱，最最大大载载重重量量为为12公公斤斤，其其体体积积是是0.02m3。

背背包包和和旅旅行行箱箱只只能能选选择择其其一一，建建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。

立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。

（1）所装物品不变；）所装物品不变；

（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是是4和和3，载重量和体积的约束为，载重量和体积的约束为【解解】此此问问题题可可以以建建立立两两个个整整数数规规划划模模型型，但但用用一一个个模模型型描描述述更简单。

引入更简单。

引入01变量（或称逻辑变量）变量（或称逻辑变量）yi，令，令i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。

分别是采用背包及旅行箱装载。

3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page8

（1）由由于于所所装装物物品品不不变变，式式（3-1）约约束束左左边边不不变变，整整数数规规划划数数学学模型为模型为

（2）由于不同载体所装物品不一样，数学模型由于不同载体所装物品不一样，数学模型为为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page9式式中中M为为充充分分大大的的正正数数。

从从上上式式可可知知，当当使使用用背背包包时时（y1=1，y2=0），式式（b）和和（d）是是多多余余的的；当当使使用用旅旅行行箱箱时时（y1=0，y2=1），式式（a）和和（c）是多余的。

上式也可以令：

是多余的。

上式也可以令：

同同样样可可以以讨讨论论对对于于有有m个个条条件件互互相相排排斥斥、有有m（m、m）个个条件起作用的情形。

条件起作用的情形。

3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page10

（1）右端常数是右端常数是k个值中的一个时，类似式个值中的一个时，类似式（3-2）的约束条件为的约束条件为

（2）2）对于对于m组组条件中有条件中有k（m）组起作用时，）组起作用时，类似式类似式（3-3）的的约束条件写成约束条件写成这里这里yi=1表示第表示第i组约束不起作用（如组约束不起作用（如y1=1式式（3-3b）、（3-3d）不不起作用），起作用），yi=0表示第表示第i个约束起作用。

当约束条件是个约束起作用。

当约束条件是“”符符号时右端常数项应为号时右端常数项应为（3）对于对于m个个条件中有条件中有k（m）个起作用时，约束条件写成）个起作用时，约束条件写成3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page11【例例3-3】试引入试引入01变量将下列各题分别表达为一般线性约变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件束条件

（1）x1+x26或或4x1+6x210或或2x1+4x220

（2）若）若x15，则，则x20，否则否则x28（3）x2取值取值0，1，3，5，7【解解】

（1）3个约束只有个约束只有1个起作用个起作用3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP或或11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page12（3）右端常数是）右端常数是5个值中的个值中的1个个3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP

（2）两组约束只有一组起作用）两组约束只有一组起作用11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page13【例例3-4】企业计划生产企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产已知每种生产的固定费用、生产外协加工任意一种形式生产已知每种生产的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如表制如表32所示，怎样安排产品的加工使总成本最小所示，怎样安排产品的加工使总成本最小表表32【解解】设设xj为采用第为采用第j（j=1,2,3）种方式生产的产品数量，生种方式生产的产品数量，生产费用为产费用为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP固定成本固定成本（元）（元）变动成本变动成本（元件）（元件）最大加工数最大加工数（件）（件）本企业加工本企业加工50081500外协加工外协加工80052000外协加工外协加工6007不限不限11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page14式中式中kj是固定成本，是固定成本，cj是单位产品成本设是单位产品成本设01变量变量yj，令，令数学模型为数学模型为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP（3-4）式（式（3-4）中）中是处理是处理xj与与yj一对变量之间逻辑关系的特殊约束，一对变量之间逻辑关系的特殊约束，当当xj0时时yj=1,当当xj0时，为使时，为使Z最小化，有最小化，有yj=0。

例例3-4是混合整数规划问题用是混合整数规划问题用WinQSB软件求解得到：

软件求解得到：

X（0，2000，2000）T，Y（0，1，1）T，Z=25400.11/5/2022Ch3整数规划整数规划IntegerProgramming制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟Page15作业：

教材习题作业：

教材习题3.13.61.线性整数规划模型的特征线性整数规划模型的特征2.什么是纯（混合）整数规划什么是纯（混合）整数规划3.01规划模型的应用规划模型的应用3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型MathematicalModelofIP下一节：

纯整数规划的求解下一节：

纯整数规划的求解11/5/20223.2纯整数规划的求解纯整数规划的求解SolvingPureInte