初中奥数题及答案.docx
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初中奥数题及答案
年初中奥数题及答案
初中奥数题试题一
一、选择题（每题分，共分）
．如果，都代表有理数，并且＋，那么（）
．，都是
．，之一是
．，互为相反数
．，互为倒数
答案：
解析：
令，－，满足（－），由此、互为相反数。
．下面的说法中正确的是（）
．单项式与单项式的和是单项式
．单项式与单项式的和是多项式
．多项式与多项式的和是多项式
．整式与整式的和是整式
答案：
解析：
²，都是单项式．两个单项式，²之和为²是多项式，排除。
两个单项式²，之和为是单项式，排除。
两个多项式与－之和为是个单项式，排除，因此选。
．下面说法中不正确的是（）
.有最小的自然数
．没有最小的正有理数
．没有最大的负整数
．没有最大的非负数
答案：
解析：
最大的负整数是，故错误。
．如果，代表有理数，并且＋的值大于－的值，那么（）
．，同号
．，异号
．＞
．＞
答案：
．大于－π并且不是自然数的整数有（）
．个
．个
．个
．无数个
答案：
解析：
在数轴上容易看出：
在－π右边的左边（包括在内）的整数只有－，－，
－，共个．选。
．有四种说法：
甲．正数的平方不一定大于它本身；
乙．正数的立方不一定大于它本身；
丙．负数的平方不一定大于它本身；
丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是（）
．个
．个
．个
．个
答案：
解析：
负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故错误。
．代表有理数，那么，和－的大小关系是（）
．大于－
．小于－
．大于－或小于－
．不一定大于－
答案：
解析：
令，马上可以排除、、，应选。
．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边（）
．乘以同一个数
．乘以同一个整式
．加上同一个代数式
．都加上
答案：
解析：
对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于的数，所以排除。
我们考察方程－，易知其根为．若该方程两边同乘以一个整式－，得（－）（－），其根为及，不与原方程同解，排除。
同理应排除．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对，这里所加常数为，因此选．
．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了，第三天又较第二天增加了，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是（）
．一样多
．多了
．少了
．多少都可能
答案：
解析：
设杯中原有水量为，依题意可得，
第二天杯中水量为×（－）；
第三天杯中水量为（）×（）××；
第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为∶，
所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选。
．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（）
．增多
．减少
．不变．增多、减少都有可能
答案：
二、填空题（每题分，共分）
．²－²。
答案：
²－²
（）×（－）
（）×。
解析：
利用公式²²（）（）计算。
．－＋－－－…－。
答案：
－－－－…－
（－）（－）（－）（－）…（－）
－。
解析：
本题运用了运算当中的结合律。
．当－，时，代数式²的值是。
答案：
解析：
原式（－）²－。
把已知条件代入代数式计算即可。
．含盐的盐水有千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐时，秤得盐水的重是克。
答案：
（克）
解析：
食盐的盐水千克中含盐×（千克），
设蒸发变成含盐为的水重克，
即千克，此时，×（）×
解得：
（克）。
遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。
三、解答题
.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的
，乙每月比甲多开支元，三年后负债元，求每人每年收入多少？
答案：
：
解得，
答：
每人每年收入元。
所以的末四位数字的和为＋＋＋。
．一个人以千米小时的速度上坡，以千米小时的速度下坡，行程千米共用了小时分钟，试求上坡与下坡的路程。
答案：
设上坡路程为千米，下坡路程为千米．依题意则：
由②有， ③
由①有，将之代入③得。
所以（千米），于是（千米）。
答：
上坡路程为千米，下坡路程为千米。
．求和：
。
答案：
第项为
所以
。
．证明：
质数除以所得的余数一定不是合数。
证明：
设＋，≤＜，
因为为质数，故≠，即＜＜。
假设为合数，由于＜，所以的最小质约数只可能为，，。
再由＋知，当的最小质约数为，，时，不是质数，矛盾。
所以，一定不是合数。
解：
设
由①式得（）（），即
（）（）。
可知＜．由①，＞，且为整数，所以，，．下面分别研究，。
（）若时，有
解得，，与已知不符，舍去．
（）若时，有
因为或都是不可能的，故时无解．
（）若时，有
解之得
故＋。
初中奥数题试题二
一、选择题
．数是（）
．最小整数
．最小正数
．最小自然数
．最小有理数
答案：
解析：
整数无最小数，排除；正数无最小数，排除；有理数无最小数，排除。
是最小自然数，正确，故选。
为有理数，则一定成立的关系式是（）
．＞
．＞
．＞
．≥
答案：
解析：
若，×排除；排除；＜排除，事实上因为＞，必有＞．选。
××（）的值是（）
．
．
．
．
答案：
解析：
××（）
（）×
，选。
.在，，，与这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是（）
．
．
．
．
答案：
解析：
，，，与中最大的数是，绝对值最大的数是，（）×（），选。
二、填空题
．计算：
（）（）（）×（）÷（）。
答案：
（）（）（）×（）÷（）（）（）。
.求值：
（）。
答案：
（）。
为正整数，的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是。
则的最小值等于。
答案：
解析：
的末四位数字应为的末四位数字．即为，即末位至少要个，所以的最小值为。
.不超过（）²的最大整数是。
答案：
解析：
（）²，不超过的最大整数为。
.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是，则这个质数是。
答案：
解析：
个位数比十位数大的两位数有，，其中只有是质数。
三、解答题
．已知，求＋的值。
答案：
原式
（）（）×＋×。
．某商店出售的一种商品，每天卖出件，每件可获利元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价元，每天就少卖出件。
试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？
最大利润是多少元？
答案：
原来每天可获利×元，若每件提价元，则每件商品获利（＋）元，但每天卖出为（）件。
如果设每天获利为元，
则＝（＋）（）
＋
（＋）＋＋
（）＋。
所以当时，最大元，即每件提价元，每天获利最大为元。
．如图－所示，已知⊥，平分∠，平分∠，∠＋∠°。
求证：
⊥。
证明：
∵平分∠，平分∠及∠＋∠°，
∴∠＋∠°，
∴∥。
又∵ ⊥，
∴⊥。
.求方程｜｜｜｜｜｜的整数解。
答案：
｜｜｜｜｜｜｜｜，即｜｜（｜｜）（｜｜），
所以（｜｜）（｜｜）。
因为｜｜＋＞，且，都是整数，所以
.王平买了年利率％的三年期和年利率为％的五年期国库券共元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？
（一年期定期储蓄年利率为％）
答案：
设设王平买三年期和五年期国库券分别为元和元，则
因为 ，
所以（＋×）（＋）（）（×），
所以＋，
所以，
所以（元），（元）。
.对，的哪些值，方程组
至少有一组解？
答案：
因为（－）＝，①
为一切实数时，方程组有唯一解．当，时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。
当，≠时，①无解。
所以，≠，为任何实数，或，时，方程组至少有一组解。
初中奥数题试题三
一、选择题
.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（）
.²与²
²与²
²与²
与
答案：
解析：
字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。
.（）（）（）等于（）
．
．
．
．
答案：
解析：
（）（）（）
，选。
.两个次多项式的和是（）
．次多项式
．次多项式
．次多项式
．不高于次的多项式
答案：
解析：
多项式与²之和为²是个次数低于次的多项式，因此排除了、、，选。
.若＜，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（）
．，，，
．，，，
．，，，
．，，，
答案：
解析：
由＜，知＜，所以＞。
于是由小到大的排列次序应是＜＜＜，选。
（），，（），则（）
．＞＞
．＞＞
．＞＞
．＞＞
答案：
解析：
易见，＜，（）＞＞，所以＜＜，选。
．若＜，＞，且＜，那么下列式子中结果是正数的是（）
．（）（）
．（）（）
．（）（）
．（）（）
答案：
因为＜，＞．所以，．由于＜得＜，因此＞，＜。
＜，＜。
所以应有（）（）＞成立，选。
．从减去的一半，应当得到（）
．
．
．
．
答案：
解析：
，选。
．，，，都是有理数，并且，，那么与（）
．互为相反数
．互为倒数
．互为负倒数
．相等
答案：
解析：
因为，所以，即，互为相反数，选。
．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为，后两个有理数的平均值是，那么张梅写出的五个有理数的平均值是（）
答案：
解析：
前三个数之和×，后两个数之和×。
所以五个有理数的平均数为（）÷，选。
二、填空题（每题分，共分）
．（）（）（）（）（）（）。
答案：
解析：
前个数，每四个一组，每组之和都是．所以总和为。
.若²²，²²，则代入到代数式[（）]中，化简后，是。
答案：
。
解析：
因为[（）]
（）
（）
以²²，²²代入，
原式（）[（²²）（²²）]
（）。
．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为，，，，那么小华写出的四个有理数的乘积等于。
答案：
。
解析：
设这四个有理数为、、、，则
有（），即。
分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为，，，，所以，这四个有理数的乘积×（）××。
．一种小麦磨成面粉后，重量要减少，为了得到公斤面粉，至少需要公斤的小麦。
答案：
解析：
设需要公斤的小麦，则有
（％）
三、解答题
答案：
原式化简得（），当≠时，
答案：
.液态农药一桶，倒出升后用水灌满，再倒出混合溶液升，再用水灌满，这时农药的浓度为％，求桶的容量。
答案：
去分母、化简得，即）（），
.．设是△内一点．求：
到△三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。
答案：
如图－所示。
在△中有＜＋，①
延长交于．易证＋＜＋，②
由①，②＜＋＜，③
同理＜＋＜＋，④
＜＋＜＋。
⑤
③＋④＋⑤得＋＋＜（＋＋）＜（＋＋）。
所以。
.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行千米，甲经过小时到东站，乙经过小时到西站，求两站距离。
答案：
设甲步行速度为千米小时，乙步行速度为千米小时，则所求距离为（）千米；
依题意得：
由①得，③
由②得＋，将之代入③得
即（＋）（）．解之得
于是
所以两站距离为×＋×（千米）。
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