重积分复习资料.ppt

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一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积定义定义2.对二重积分对二重积分（doubleintegral）定义的说定义的说明明DD二、二重积分的几何意义二、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值。

二重积分的几何意义二重积分的几何意义二重积分是各部分区域二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在平面上方的取正，在xoy平面平面下方取负下方取负例例11根据二重积分的几何意义判断下例积分的值根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.解解投影区域为圆域投影区域为圆域被积函数为半球面被积函数为半球面由二重积分的几何意义，得由二重积分的几何意义，得性质性质当当为常数时，为常数时，性质性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质若若为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上有上有特殊地特殊地则有则有性质性质对积分区域具有可加性对积分区域具有可加性性质性质性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）特点特点:

穿过穿过D内部且垂直于内部且垂直于x轴的直线与轴的直线与D的边界相的边界相交不多于两点交不多于两点.四、二重积分计算公式特点特点:

穿过穿过D内部且垂直于内部且垂直于y轴的直线与轴的直线与D的边界相的边界相交不多于两点交不多于两点.若区域如图，若区域如图，则必须分割则必须分割.在分割后的三个区域上分在分割后的三个区域上分别使用积分公式别使用积分公式积分区域如图积分区域如图例例2解解典型例题解解两曲线的交点两曲线的交点例例3例例44解解12345-2-1123例例5解解使用对称性时应注意：

使用对称性时应注意：

1.1.积分区域关于坐标轴的对称性；积分区域关于坐标轴的对称性；2.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时,才才能简化能简化.五、利用对称性简化二重积分的计算二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化二重积分计算的简化例例6解解二重积分的变量从直角坐二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式标到极坐标的变换公式七、二重积分的极坐标计算公式适用范围适用范围二重积分化为累次积分几种常见的情形二重积分化为累次积分几种常见的情形（注：

极点在积分区域外）（注：

极点在积分区域外）二重积分化为二次积分几种常见的情形二重积分化为二次积分几种常见的情形（注：

极点在积分区域边界上）（注：

极点在积分区域边界上）二重积分化为二次积分几种常见的情形二重积分化为二次积分几种常见的情形（注：

极点在积分区域内）（注：

极点在积分区域内）典型例题例例77解解例例88解解积分区域关于坐标轴对称积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标被积函数关于坐标轴对称轴对称.例例99八、曲面的面积T曲面面积元素曲面面积元素例例10解解九、三重积分的定义十、三重积分十、三重积分（tripleintegral）的物理意义的物理意义性质性质当当为常数时，为常数时，性质性质（三重积分与二重积分有类似的性质）（三重积分与二重积分有类似的性质）十一、三重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质性质性质特殊地特殊地则有则有性质性质性质性质（三重积分中值定理）（三重积分中值定理）（三重积分估值不等式）（三重积分估值不等式）三重积分在直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算一、坐标面投影法一、坐标面投影法二、坐标轴投影法二、坐标轴投影法（截面法截面法）三、利用对称性简化三重积分的计算三、利用对称性简化三重积分的计算十二、坐标面投影法叠积分叠积分例例1111解解十三、坐标轴投影法（截面法）坐标轴投影法坐标轴投影法（截面法截面法）例例1212解解使用对称性时应注意使用对称性时应注意1.1.积分区域关于坐标面的对称性积分区域关于坐标面的对称性.2.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时,才才能简化能简化.十四、利用对称性简化三重积分的计算其它情形依此类推其它情形依此类推.三重积分计算的简化三重积分计算的简化例例1313解解例例1414解解三重积分在柱坐标系下的计算三重积分在柱坐标系下的计算一、柱面坐标系下的计算一、柱面坐标系下的计算二、球面坐标系下的计算二、球面坐标系下的计算十五、柱面坐标系柱面坐标系中确定柱面坐标系中确定空间一点位置的方法空间一点位置的方法柱面坐标与直柱面坐标与直角坐标的关系为角坐标的关系为体积微元：

体积微元：

注：

注：

如果被积函数中含有如果被积函数中含有，且积分区域在且积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：

坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：

如果被积函数中含有如果被积函数中含有，且积分区域在且积分区域在坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：

坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：

坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：

坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时，可用柱坐标：

如果被积函数中含有如果被积函数中含有，且积分区域在且积分区域在例例1515解解十六、球面坐标系把三重积分的变量从直角坐把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式标变换为球面坐标的公式注：

注：

如果被积函数中含有如果被积函数中含有，且积分区域是球面，且积分区域是球面，或球面及锥面围成的区域时，用球面坐标更简单。

或球面及锥面围成的区域时，用球面坐标更简单。

例例16解解