高中自主招生考试数学试题含答案详解.docx
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高中自主招生考试数学试题含答案详解
高中自主招生考试数学试题(含答案详解)
LT
一中自主招生考试数学试题
一.选择题(共6小题,满分24分,每小题4分)
1.(4分)如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根,则实数a的取值范围是( )
A.﹣2<a<2 B.
C.
D.
2.(4分)假期里王老师有一个紧急通知,要用电话尽快通知给50个同学,假设每通知一个同学需要1分钟时间,同学接到电话后也可以相互通知,那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( )
A.8分钟 B.7分钟 C.6分钟 D.5分钟
3.(4分)如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每一个面都有一个实数,且相对面上的两个数互为倒数,那么代数式
的值等于( )
A.
B.﹣6 C.
D.6
4.(4分)(2008•青岛)如图,把图1中的△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′,如果图1中△ABC上点P的坐标为(a,b),那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为( )
A.(a﹣2,b﹣3) B.(a﹣3,b﹣2) C.(a+3,b+2) D.(a+2,b+3)
5.(4分)如图,四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A,已知:
,则线段DE的长是( )
A.
B.7
C.4+3
D.3+4
6.(4分)如图,张三同学把一个直角边长分别为3cm,4cm的直角三角形硬纸板,在桌面上翻滚(顺时针方向),顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3,其中第二次翻滚时被桌面上一小
校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米?
(2)若绿化1平方米需要200元,那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化,可绿化多少平方米?
16.(10分)如图,⊙O的直径EF=
cm,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=
cm.E、F、A、B四点共线.Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动,设运动时间为t(s),当t=0s时,点B与点F重合.
(1)当t为何值时,Rt△ABC的直角边与⊙O相切?
(2)当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时,请求出重叠部分的面积(精确到0.01).
17.(10分)(2008•广东)
(1)如图1,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.求∠AEB的大小;
(2)如图2,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠),求∠AEB的大小.
18.(10分)(2008•益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图所示,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,﹣3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?
试试看;
(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
答案与评分标准
一.C,C,A,C,D,D
二.7,40,3
,
,甲,256,
三.解:
(1)集合{1,2}不是好的集合,
这是因为8﹣1=7,而7不是{1,2}中的数,
所以{1,2}不是好的集合,
{1,4,7}是好的集合,
这是因为8﹣1=7,7是{1,4,7}中的数,
8﹣4=4,4也是{1,4,7}中的数,
8﹣7=1,1又是{1,4,7}中的数.
所以{1,4,7}是好的集合;
(2)答案不唯一.集合{4}、{3,4,5}、{2,6}、{1,2,4,6,7}、{0,8}等都是好的集合.
解:
(1)踺子踢到小华处的概率是
.树状图如下:
列表法如下:
小丽
小王
小华
小王
(小丽,小王)
(小王,小华)
小华
(小华,小丽)
(小华,小王)
(2)小王.树状图如下:
理由:
若从小王开始踢,三次踢踺后,踺子踢到小王处的概率是
,踢到其它两人处的概率都是
,因此,踺子踢到小王处的可能性是最小.
解:
(1)由题意可设拆旧舍x平方米,建新舍y平方米,则
答:
原计划拆建各4500平方米.
(2)计划资金y1=4500×80+4500×800=3960000元
实用资金y2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950×80+4050×800=396000+3240000=3636000
∴节余资金:
3960000﹣3636000=324000
∴可建绿化面积=
平方米
答:
可绿化面积1620平方米.
解:
(1)∵∠BAC=30°,AB=
,
∴BC=
又∵⊙O的直径EF=
,即半径为
,
∠ACB=90°,
∴当点B运动到圆心O时,AC边与⊙O相切.(如图1所示)(1分)
此时运动距离为FO=
,
∴t=
s.(2分)
当BC边与⊙O相切时(如图2所示),
设切点为G.连接OG,则OG⊥BC.(3分)
由已知,∠BOG=∠BAC=30°,OG=
,
∴BO=2.(4分)
又FO=
,
∴BF=
.(此步亦可利用相似求解,请参照给分)
∴此时
s.(5分)
由上所述,当
秒时,Rt△ABC的直角边与⊙O相切.(6分)
(2)由图1,此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF.(7分)
由已知,∠COF=60°,∴
.(8分)
由图2,设AC与⊙O交于点M,
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM.(9分)
过点M作MN⊥OG于N,则MN=GC.
由
(1)可知BG=1
则MN=GC=
.(10分)
∴
,
∴∠MON=25°,即∠MOE=55°.(11分)
∴
.(12分)
又∵OM=
,
∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419,(13分)
∴S△AOM=
•OA•h≈1.229cm2
此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2.(14分)
解:
(1)如图3,
∵△DOC和△ABO都是等边三角形,
且点O是线段AD的中点,
∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,
∴∠4=∠5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°,
∴∠4=30°.
同理∠6=30°.
∵∠AEB=∠4+∠6,
∴∠AEB=60°.
(2)如图4,
∵△DOC和△ABO都是等边三角形,
∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°.
又∵OD=OA,
∴OD=OB,OA=OC,
∴∠4=∠5,∠6=∠7.
∵∠DOB=∠1+∠3,
∠AOC=∠2+∠3,
∴∠DOB=∠AOC.
∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,
∴2∠5=2∠6,
∴∠5=∠6.
又∵∠AEB=∠8﹣∠5,∠8=∠2+∠6,
∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2,
∴∠AEB=60°.
解:
(1)根据题意可得:
A(﹣1,0),B(3,0);
则设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0),
又∵点D(0,﹣3)在抛物线上,
∴a(0+1)(0﹣3)=﹣3,解之得:
a=1
∴y=x2﹣2x﹣3(3分)
自变量范围:
﹣1≤x≤3(4分)
(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连接CM,
在Rt△MOC中,
∵OM=1,CM=2,
∴∠CMO=60°,OC=
在Rt△MCE中,
∵MC=2,∠CMO=60°,
∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为(0,
),(﹣3,0)(6分)
∴切线CE的解析式为
(8分)
(3)设过点D(0,﹣3),“蛋圆”切线的解析式为:
y=kx﹣3(k≠0)(9分)
由题意可知方程组
只有一组解
即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根,
∴k=﹣2(11分)
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3.(12分)