第三章+线性方程组和矩阵的初等变换.ppt

第三章+线性方程组和矩阵的初等变换.ppt

《第三章+线性方程组和矩阵的初等变换.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章+线性方程组和矩阵的初等变换.ppt（151页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较解线性方程组的方法内容丰富，难度较大大.引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解求解线性方程组线性方程组分析：

用消元法解下列方程组的过程分析：

用消元法解下列方程组的过程解解用用“回代回代”的方法求出解：

的方法求出解：

于是解得于是解得

（2）小结：

小结：

1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换

（1）交换方程次序；）交换方程次序；

（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B（方方程组（程组

（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换定义定义2矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”）逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：

等价关系的性质：

具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两例如，两个个线性方程组同解，线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换解方程组（解方程组

（1）：

）：

特点：

特点：

（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；

（2）、每个）、每个台阶台阶只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元注意：

注意：

行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形例如，例如，特点：

特点：

所有与矩阵所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.三、小结三、小结1.1.初等行初等行（列列）变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换思考题思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组的通解为的通解为思考题解答思考题解答解解一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩例例1解解例例2解解例例33解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此此方法简单！

方法简单！

问题：

问题：

经过变换矩阵的秩变吗？

经过变换矩阵的秩变吗？

证证二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：

初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.例例55解解分析：

分析：

三、小结三、小结

（2）

（2）初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法

（1）

（1）利用定义利用定义（把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩）.（即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数）;思考题思考题思考题解答思考题解答答答答答相等相等.即即由此可知由此可知一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件问题：

问题：

证证必要性必要性.（）,nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=（）,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的nDn从而从而这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，（）.nAR即即充分性充分性.（）,nrAR=设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解.证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx=（）（）,BRAR设设则则BB的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程，这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.（）（）.BRAR=因此因此并令并令个自由未知量全取个自由未知量全取00，rn-即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性.（）（）,BRAR=设设（）（）（）,nrrBRAR=设设证毕证毕其余其余个作为自由未知量个作为自由未知量,把这把这行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量,小结小结有唯一解有唯一解bAx=（）（）nBRAR=（）（）nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=齐次线性方程组齐次线性方程组：

系数矩阵化成行最简形矩阵，：

系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：

非齐次线性方程组：

增广矩阵化成行阶梯形矩增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；例例11求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法即得与即得与原方程组同解的方程组原方程组同解的方程组由此即得由此即得例例求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故故方程组无解方程组无解例例求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组的通解为所以方程组的通解为例例解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：

由此得通解：

例例设有线性方程组设有线性方程组解解其通解为其通解为这时又分两种情形：

这时又分两种情形：

（）（）nBRAR=（）（）nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答解解故原故原方程组的通解为方程组的通解为定义定义由单位矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.一、初等矩阵的概念一、初等矩阵的概念定理定理11设设是一个是一个矩阵，对矩阵，对施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的的左边乘以相应的阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在的右边乘以相应的的右边乘以相应的阶初等矩阵阶初等矩阵.二、初等矩阵的应用二、初等矩阵的应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵定理定理22设设AA为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即利用初等变换求逆阵的方法：

利用初等变换求逆阵的方法：

解解例例即即初等行变换初等行变换例例解解列变换列变换列变换列变换解解例例33三、小结三、小结1.1.单位矩阵单位矩阵初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:

思考题思考题思考题解答思考题解答解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵经经4次初等变换次初等变换,而而得得.而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:

由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得初等变换的定义初等变换的定义换法换法变换变换倍法倍法变换变换消法消法变换变换初初等等变变换换逆逆变变换换三三种种初等变换都是可逆的，且其逆变换是初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换反身性反身性传递性传递性对称性对称性矩阵的等价矩阵的等价三种三种初等变换对应着三种初等矩阵初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵（）换法变换：

对调两行（列），得初等（）换法变换：

对调两行（列），得初等矩阵矩阵（）倍法变换：

以数（）倍法变换：

以数（非零）乘某行（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵（）消法变换：

以数乘某行（列）加到另（）消法变换：

以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：

可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：

可画出一条阶梯线，线的下方全为为00；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：

非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：

非零行的第一个非零元为个非零元为11，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为00例如例如行最简形矩阵行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：

左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：

左上角是一个单位矩阵，其余