由于x-x2≤
,∴m≥
.
因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是
.
题型三 分段函数模型
例3
为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.
(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?
如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
思维启迪:
题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系,项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系.
解
(1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,
则S=200x-
=-
x2+400x-80000=-
(x-400)2,
所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该单位不会获利.
当x=300时,S取得最大值-5000,
所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.
(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为
=
①当x∈[120,144)时,
=
x2-80x+5040
=
(x-120)2+240,
所以当x=120时,
取得最小值240.
②当x∈[144,500]时,
=
x+
-200≥2
-200=200,
当且仅当
x=
,即x=400时,
取得最小值200.
因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数,由于月处理量在不同范围内,处理的成本对应的函数解析式也不同,故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值,然后将这些区间内的最值进行比较确定最值.
(2011·北京)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:
分钟)为f(x)=
(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25B.75,16
C.60,25D.60,16
答案 D
解析 由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为
=15,故组装第4件产品所需时间为
=30,解得c=60,将c=60代入
=15,得A=16.
函数建模问题
典例:
(12分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲
将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:
①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?
并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
审题视角
(1)认真阅读题干内容,理清数量关系.
(2)分析图形提供的信息,从图形可看出函数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法.
规范解答
解 设该店月利润余额为L,
则由题设得L=Q(P-14)×100-3600-2000,①
由销量图易得Q=
[2分]
代入①式得
L=
[4分]
(1)当14≤P≤20时,Lmax=450元,此时P=19.5元;
当20
元,此时P=
元.
故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.[8分]
(2)设可在n年后脱贫,
依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫.[12分]
解函数应用题的一般程序:
第一步:
审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量
关系;
第二步:
建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知
识建立相应的数学模型;
第三步:
求模——求解数学模型,得到数学结论;
第四步:
还原——将用数学方法得到的结论还原为实际
问题的意义.
第五步:
反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,
必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
温馨提醒
(1)本题经过了三次建模:
①根据月销量图建立Q与P的函数关系;②建立利润余额函数;③建立脱贫不等式.
(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解决的问题发生了变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,所以现实生活中分段函数的应用非常广泛.
(3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误.
方法与技巧
1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础;
2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
失误与防范
1.函数模型应用不当是常见的解题错误.所以,正确理解题意,选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础.
2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.有一批材料可以围成200m长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方
围成一块矩形场地(如图),且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为( )
A.1000m2B.2000m2
C.2500m2D.3000m2
答案 C
解析 设围成的场地宽为xm,面积为ym2,
则y=3x(200-4x)×
=-4x2+200x(0当x=25时,ymax=25×100=2500.
∴围成的矩形场地的最大面积为2500m2.
2.(2011·湖北改编)里氏震级M的计算公式:
M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.( )
A.6 1000B.4 1000
C.6 10000D.4 10000
答案 C
解析 由M=lgA-lgA0知,M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的震级为6级.
设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg
=lgA1-lgA2=(lgA1-
lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.∴
=104=10000,∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.
3.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟后甲桶中的水只有
升,则m的值为( )
A.8B.10C.12D.15
答案 B
解析 由已知条件可得ae5n=
,e5n=
.
由aent=
,得ent=
,所以t=15,m=15-5=10.
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客
车营运的总利润y(单位:
10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
解析 由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11,
则营运的年平均利润
=-x-
+12,
∵x∈N*,∴
≤-2
+12=2,
当且仅当x=
,即x=5时取“=”.
∴x=5时营运的平均利润最大.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:
小时,y表示病毒个数),则k=________,经过5小时,1个病毒能繁殖为________个.
答案 2ln2 1024
解析 当t=0.5时,y=2,∴2=e
k,∴k=2ln2,
∴y=e2tln2,当t=5时,∴y=e10ln2=210=1024.
6.某市出租车收费标准如下:
起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.
答案 9
解析 设出租车行驶xkm时,付费y元,
则y=
由y=22.6,解得x=9.
7.2008年我国人口总数为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则________年我国人口将超过20亿.(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg7≈0.8451)
答案 2037
解析 由已知条件:
14(1+1.25%)x-2008>20,
x-2008>
=
=28.7,
则x>2036.7,即x=2037.
三、解答题(共22分)
8.(10分)某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:
千元)与市场供应量p(单位:
万件)之间近似满足关系式:
p=2(1-kt)(x-b)2,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k,b的值;
(2)市场需求量q(单位:
万件)与市场价格x近似满足关系式:
q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.
解
(1)由已知
,
⇒
.
解得b=5,k=1.
(2)当p=q时,2(1-t)(x-5)2=2-x,
∴(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+
=1+
而f(x)=x+
在(0,4]上单调递减,
∴当x=4时,f(x)有最小值
,
故当x=4时,关税税率的最大值为500%.
9.(12分)如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b).在
AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?
求出这个最大面积.
解 设四边形EFGH的面积为S,
由题意得S△AEH=S△CFG=
x2,
S△BEF=S△DHG=
(a-x)·(b-x).
由此得S=ab-2
=-2x2+(a+b)x=-2
2+
.
函数的定义域为{x|0因为a>b>0,所以0
.
若
≤b,即a≤3b,x=
时面积S取得最大值
;
若
>b,即a>3b时,函数S=-2
2+
在(0,b]上是增函数,因此,当x=b时,面积S取得最大值ab-b2.
综上可知,若a≤3b,当x=
时,四边形EFGH的面积取得最大值
;若a>3b,当x=b时,四边形EFGH的面积取得最大值ab-b2.
B组 专项能力提升
(时间:
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:
万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:
辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得最大利润为( )
A.45.606万元B.45.6万元
C.45.56万元D.45.51万元
答案 B
解析 依题意可设甲销售x辆,则乙销售(15-x)辆,总利润S=L1+L2,则总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+0.15×10.22+30(x≥0).∴
当x=10时,Smax=45.6(万元).
2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开
源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应为( )
A.x=15,y=12B.x=12,y=15
C.x=14,y=10D.x=10,y=14
答案 A
解析 由三角形相似得
=
,得x=
(24-y),
∴S=xy=-
(y-12)2+180,
∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.
3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可能是( )