高考数学理科一轮复习两角和与差的正弦余弦和正切公式学案.docx

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高考数学理科一轮复习两角和与差的正弦余弦和正切公式学案

高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

学案21　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

导学目标：

1会用向量数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式4熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理

1．

（1）两角和与差的余弦

s（α＋β）＝_____________________________________________，

s（α－β）＝_____________________________________________

（2）两角和与差的正弦

sin（α＋β）＝_____________________________________________，

sin（α－β）＝_____________________________________________

（3）两角和与差的正切

tan（α＋β）＝_____________________________________________，

tan（α－β）＝_____________________________________________

（α，β，α＋β，α－β均不等于π＋π2，∈Z）

其变形为：

tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ），

tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）．

2．辅助角公式

asinα＋bsα＝a2＋b2sin（α＋φ），

其中sφ＝　　　　　　　　，sinφ＝　　　　　　　　，tanφ＝ba，角φ称为辅助角．

自我检测

1．（2010•福建）计算sin43°s13°－s43°sin13°的结果等于（　　）

A12B3322D32

2．已知sα－π6＋sinα＝43，则sinα＋7π6的值是（　　）

A．－23B23．－4D4

3．函数f（x）＝sin2x－s2x的最小正周期是（　　）

Aπ2B．π．2πD．4π

4．（2011•台州月考）设0≤α<2π，若sinα>3sα，则α的取值范围是（　　）

Aπ3，π2Bπ3，π

π3，4π3Dπ3，3π2

．（2011•广州模拟）已知向量a＝（sinx，sx），向量b＝（1，3），则|a＋b|的最大值为（　　）

A．1B3．3D．9探究点一　给角求值问题（三角函数式的化简、求值）

例1　求值：

（1）[2sin0°＋sin10°（1＋3tan10°）]2sin280°；

（2）sin（θ＋7°）＋s（θ＋4°）－3•s（θ＋1°）．

变式迁移1　求值：

（1）2s10°－sin20°sin70°；

（2）tan（π6－θ）＋tan（π6＋θ）＋3tan（π6－θ）tan（π6＋θ）．

探究点二　给值求值问题（已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值）

例2　已知0<β<π4<α<3π4，sπ4－α＝3，

sin3π4＋β＝13，求sin（α＋β）的值．

变式迁移2　（2011•广州模拟）已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12

（1）求tanα的值；

（2）求sinα＋β－2sinαsβ2sinαsinβ＋sα＋β的值．

探究点三　给值求角问题（已知某角的三角函数值，求另一角的值）

例3　已知0<α<π2<β<π，tanα2＝12，s（β－α）＝210

（1）求sinα的值；　

（2）求β的值．

变式迁移3　（2011•岳阳模拟）若sinA＝，sinB＝1010，且A、B均为钝角，求A＋B的值．

转化与化归思想的应用

例　（12分）已知向量a＝（sα，sinα），b＝（sβ，sinβ），|a－b|＝2

（1）求s（α－β）的值；

（2）若－π2<β<0<α<π2，且sinβ＝－13，求sinα的值．

【答题模板】

解　

（1）∵|a－b|＝2，∴a2－2a•b＋b2＝4[2分]

又∵a＝（sα，sinα），b＝（sβ，sinβ），∴a2＝b2＝1，

a•b＝sαsβ＋sinαsinβ＝s（α－β），[4分]

故s（α－β）＝a2＋b2－42＝2－42＝3[6分]

（2）∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π∵s（α－β）＝3，∴sin（α－β）＝4[8分]

又∵sinβ＝－13，－π2<β<0，∴sβ＝1213[9分]

故sinα＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）sβ＋s（α－β）sinβ

＝4×1213＋3×－13＝336[12分]

【突破思维障碍】

本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条|a－b|＝2，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第

（1）问，在第

（2）问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围求，即将α变为（α－β）＋β

【易错点剖析】

|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：

函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．

2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条．

3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．

4．基本技巧：

切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•佛模拟）已知sinα＋π3＋sinα＝－43，则sα＋2π3等于（　　）

A．－4B．－33D4

2．已知sα＋π6－sinα＝233，则sinα－7π6的值是（　　）

A．－233B233．－23D23

3．（2011•宁波月考）已知向量a＝sinα＋π6，1，b＝（4,4sα－3），若a⊥b，则sinα＋4π3等于（　　）

A．－34B．－1434D14

4．函数＝sinx＋sx图象的一条对称轴方程是（　　）

A．x＝π4B．x＝3π4

．x＝－π4D．x＝－π2

．在△AB中，3sinA＋4sB＝6,4sinB＋3sA＝1，则的大小为（　　）

Aπ6B6π

π6或6πDπ3或23π

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010•重庆）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在上）且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi（i＝1,2,3），则sα13sα2＋α33－

sinα13•sinα2＋α33＝________

7．设sinα＝3π2<α<π，tan（π－β）＝12，则tan（α－β）＝________

8．（2011•惠州月考）已知tanα、tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α、β∈－π2，π2，则tan（α＋β）＝__________，α＋β的值为________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）

（1）已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin（α＋β）＝336，sβ＝－13求sinα；

（2）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．

10．（12分）（2010•四川）

（1）①证明两角和的余弦公式（α＋β）：

s（α＋β）＝sαsβ－

sinαsinβ；②由（α＋β）推导两角和的正弦公式S（α＋β）：

sin（α＋β）＝sinαsβ＋sαsinβ

（2）已知△AB的面积S=，AB→•A→＝3，且sB＝3，求s

11．（14分）（2011•济南模拟）设函数f（x）＝a•b，其中向量a＝（2sx,1），b＝（sx，3sin2x），x∈R

（1）若函数f（x）＝1－3，且x∈－π3，π3，求x；

（2）求函数＝f（x）的单调增区间，并在给出的坐标系中画出＝f（x）在区间[0，π]上的图象．

答案自主梳理

1．

（1）sαsβ－sinαsinβ　sαsβ＋sinαsinβ

（2）sinαsβ＋sαsinβ　sinαsβ－sαsinβ

（3）tanα＋tanβ1－tanαtanβ　tanα－tanβ1＋tanαtanβ　2aa2＋b2　ba2＋b2

自我检测

1．A　2　3B　4　

堂活动区

例1　解题导引　在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即

（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；

（2）看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．

解　

（1）原式

＝2sin0°＋sin10°•1＋3sin10°s10°•2sin80°

＝2sin0°＋sin10°•s10°＋3sin10°s10°•2sin80°

＝2sin0°＋2sin10°•12s10°＋32sin10°s10°•2s10°

＝2sin0°＋2sin10°sin40°s10°•2s10°

＝2sin60°s10°•2s10°＝22sin60°

＝22×32＝6

（2）原式＝sin[（θ＋4°）＋30°]＋s（θ＋4°）－3•s[（θ＋4°）－30°]

＝32sin（θ＋4°）＋12s（θ＋4°）＋s（θ＋4°）－32s（θ＋4°）－32sin（θ＋4°）＝0

变式迁移1　解　

（1）原式＝2s30°－20°－sin20°sin70°

＝3s20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3s20°sin70°＝3

（2）原式＝tan[（π6－θ）＋（π6＋θ）][1－tan（π6－θ）•tan（π6＋θ）]＋3tan（π6－θ）tan（π6＋θ）＝3

例2　解题导引　对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．

解　sπ4－α＝sinπ4＋α＝3，

∵0<β<π4<α<3π4，

∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π

∴sπ4＋α＝－1－sin2π4＋α＝－4，

s3π4＋β＝－1－sin23π4＋β＝－1213

∴sin[π＋（α＋β）]＝sinπ4＋α＋3π4＋β

＝sinπ4＋αs3π4＋β＋sπ4＋αsin3π4＋β

＝3×－1213－4×13＝－66

∴sin（α＋β）＝66

变式迁移2　解　

（1）由tanπ4＋α＝2，得1＋tanα1－tanα＝2，

即1＋tanα＝2－2tanα，∴tanα＝13

（2）sinα＋β－2sinαsβ2sinαsinβ＋sα＋β

＝sinαsβ＋sαsinβ－2sinαsβ2sinαsinβ＋sαsβ－sinαsinβ

＝－sinαsβ－sαsinβsαsβ＋sinαsinβ＝－sinα－βsα－β

＝－tan（α－β）＝－tanα－tanβ1＋tanαtanβ

＝－13－121＋13×12＝17

例3　解题导引　

（1）通过求角的某种三角函数值求角，在选取函数时，遵循以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．

（2）解这类问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角．

解　

（1）∵tanα2＝12，

∴sinα＝sin2•α2＝2sinα2sα2

＝2sinα2sα2sin2α2＋s2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝4

（2）∵0<α<π2，sinα＝4，∴sα＝3

又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π

由s（β－α）＝210，得sin（β－α）＝7210

∴sinβ＝sin[（β－α）＋α]

＝sin（β－α）sα＋s（β－α）sinα

＝7210×3＋210×4＝220＝22

由π2<β<π得β＝34π

（或求sβ＝－22，得β＝34π）

变式迁移3　解　∵A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝1010，

∴sA＝－1－sin2A＝－2＝－2，

sB＝－1－sin2B＝－310＝－31010

∴s（A＋B）＝sAsB－sinAsinB

＝－2×－31010－×1010＝22①

又∵π2<A<π，π2<B<π，

∴π<A＋B<2π②

由①②，知A＋B＝7π4

后练习区

1．D　2D　3B　4A　A

6．－12　7－211　83　－23π

9．解　

（1）∵β∈π2，π，sβ＝－13，

∴sinβ＝1213…………………………………………………………………………（2分）

又∵0<α<π2，π2<β<π，

∴π2<α＋β<3π2，又sin（α＋β）＝336，

∴s（α＋β）＝－1－sin2α＋β

＝－1－3362＝－66，…………………………………………………………（4分）

∴sinα＝sin[（α＋β）－β]

＝sin（α＋β）sβ－s（α＋β）sinβ

＝336•－13－－66•1213＝3…………………………………………………………（6分）

（2）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]

＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………（8分）

∴tan（2α－β）＝tan[α＋（α－β）]

＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1……………………………………………………（10分）

∵α，β∈（0，π），tanα＝13<1，tanβ＝－17<0，

∴0<α<π4，π2<β<π，

∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4……………………………………………………（12分）

10．

（1）①证明　如图，在直角坐标系x内作单位圆，并作出角α、β与－β，使角α的始边为x，交⊙于点P1，终边交⊙于点P2；角β的始边为P2，终边交⊙于点P3；角－β的始边为P1，终边交⊙于点P4

则P1（1,0），P2（sα，sinα），P3（s（α＋β），sin（α＋β）），P4（s（－β），sin（－β）），

…………………………………………………………………………………………（2分）

由|P1P3|＝|P2P4|及两点间的距离公式，

得[s（α＋β）－1]2＋sin2（α＋β）

＝[s（－β）－sα]2＋[sin（－β）－sinα]2，

展开并整理得：

2－2s（α＋β）＝2－2（sαsβ－sinαsinβ），

∴s（α＋β）＝sαsβ－sinαsinβ……………………………………………………（4分）

②解　由①易得，sπ2－α＝sinα，

sinπ2－α＝sα

sin（α＋β）＝sπ2－α＋β

＝sπ2－α＋－β

＝sπ2－αs（－β）－sinπ2－αsin（－β）

＝sinαsβ＋sαsinβ

∴sin（α＋β）＝sinαsβ＋sαsinβ……………………………………………………（7分）

（2）解　由题意，设△AB的角B、的对边分别为b、

则S＝12bsinA＝12，

AB→•A→＝bsA＝3>0，

∴A∈0，π2，sA＝3sinA，……………………………………………………………（9分）

又sin2A＋s2A＝1，

∴sinA＝1010，sA＝31010，

由sB＝3，得sinB＝4

∴s（A＋B）＝sAsB－sinAsinB＝1010

……………………………………………………………………………………………（11分）

故s＝s[π－（A＋B）]＝－s（A＋B）＝－1010

……………………………………………………………………………………………（12分）

11．解　

（1）依题设得f（x）＝2s2x＋3sin2x

＝1＋s2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6＋1

由2sin2x＋π6＋1＝1－3，

得sin2x＋π6＝－32……………………………………………………………………（3分）

∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤π6

∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4………………………………………………………………（6分）

（2）－π2＋2π≤2x＋π6≤π2＋2π（∈Z），

即－π3＋π≤x≤π6＋π（∈Z），

得函数单调增区间为－π3＋π，π6＋π（∈Z）．……………………………………（10分）

列表：

x0π6

π3

π2

2π3

π6

π

2320－102

描点连线，得函数图象如图所示：

…………………………………………………………………………………………（14分）