多边形的内角和教学设计.docx

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多边形的内角和教学设计

“多边形的内角和”教学设计

山西大同十八中

黄晓静

教材版本：

人教版义务教育教材数学八年级上册

课题：

多边形的内角和

一、内容和内容解析：

1、内容

多边形内角和公式

2、内容解析

多边形内角和公式反映了多边形的要素之一----“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质。

多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理。

多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供知识基础。

多边形内角和公式的探索是从具体的四边形、五边形、六边形的内角和研究出发，逐步深入地提出一般的问题（如：

（1）任意一个四边形的内角和等于360°的原因是什么？

（2）你能用同样的方法推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？

（3）你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？

），进而获得一般结论，并加以推理论证。

这个过程体现了从特殊到一般的研究问题方法。

同时多边形内角和公式的探索与证明都涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和公式，这个过程体现了将复杂图形转化为简单的基本单元的化归思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：

多边形内角和公式的探索过程及简单应用。

二、目标和目标解析

1、目标

（1）通过探究活动，理解多边形内角和公式，并在探究中体会化归思想和从特殊到一般的研究数学问题的方法，同时培养学生创新精神。

（2）通过梯度练习，熟练掌握多边形内角和公式，并会运用公式解决简单问题，从而

增强学生学习数学的信心和能力。

2、目标解析

达成目标

（1）的标志是：

学生能在学案的启发引领下，从对具体的特殊四边形内角和的研究出发，利用三角形内角和公式，逐步探索四边形、五边形、六边形……n边形的内和，并归纳出n边形的内角和公式，体会从特殊到一般的研究问题的方法。

在将四边形、五边形、六边形……n边形分割成若干个三角形的过程中，感悟所蕴含的化归思想。

让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，培养学生创新精神，增强学生对数学的好奇心与求知欲。

达成目标

（2）的标志是：

通过自主预学探究，交流展示等过程，学生能理解多边形的内角和公式，并能将公式运用于简单的多边形内角和及边数的计算，能在多边形问题情境中，自觉地联想用该公式解决问题。

3、教学问题诊断分析：

问题

（1）：

由具体的特殊的多边形内角和到n边形内角和公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及演绎推理的过程，如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论随着多边形边数的变化而变化，而且需要关注的因素也较多-----边数、从一个顶点出发的对角线条数、分割的三角形个数、内角和等，学生把握这一过程会有一定难度。

教学过程中利用预学案进行问题铺设，引导学生弄清解决问题（推导）的层次。

通过五个步骤¢Ù画一画：

过四、五、六边形一个顶点有多少条对角线？

请你尝试画出来．¢Ú看一看：

观察这些对角线将多边形分成多少个三角形？

¢Û试一试：

从四、五、六边形的一个顶点出发可以画几条对角线，把四、五、六边形分成了几个三角形?

④猜一猜：

从十二边形的一个顶点出发可以画几条对角线，把十二边形分成了几个三角形。

¢Ý请将结果整理到下表中，并思考：

仔细观察数据，你发现了什么？

利用问题逐渐引领学生观察相关因素之间变化关系（即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化、对角线数的变化又引起三角形个数的变化），并使这三者的关系直观化。

问题

（2）：

利用多种方法验证¡°多边形的内角和¡±时，重新利用新的方法将多边形分割成多个三角形，学生在这个过程中会有难度，教学中将问题进行分割，从具体的四边形开始，¢Ù在学案中提示学生分割四边形时四边形的一边必须作为分割后三角形的一边。

¢Ú在教学中，若学生还有难度，再通过问题提示：

第一种方法是从顶点出发连接另外的顶点得对角线将多边形进行分割，那么这个出发点还可以选在什么位置？

从而引导学生找到解决问题的方法。

问题（3）：

学生在观察表格，由多边形的内角和得规律时会有难度，教学中利用多媒体课件，引导学生观察数据特征，从数据中分析，从而解决问题。

问题（4）：

学生在解决夯实新知的B组题¡°一个多边形内角和是900°，求它是几边形？

¡±部分学生可能会用小学的算术方法解决，这种方法的弊端是有的学生在用内角和除以180°后，忘记加2，从而得到错解。

在教学时让学生对比用方程思想和小学算术这两种方法后，从而选择方程思想来解题。

问题（5）：

学生在解决夯实新知的B组题¡°一个多边形各内角都是150°，求这个多边形的边数。

¡±会有一定难度，若学生有困难，可引导学生利用方程思想，通过正多边形或每个内角相等的多边形内角和有两种求法，利用内角和作为等量关系列出方程，从而解决问题。

本节课的教学难点：

探究多边形内角和公式时，如何将多边形分割成三角形。

4、教学支持条件分析

1、通过学案设计系列问题，引导学生课前自主探究来获得将多边形分割成三角形来

解决问题的思路，从而突破教学难点。

2、在观察表格，有关多边形的内角和还能得到哪些规律时，使用多媒体课件通过动

画直观观察数据，更有助于帮助学生得出规律。

3、使用多媒体课件辅助教学，并且借助实物展台展示学生的探索成果及课堂练习，

能够提高课堂效率。

5、教学过程设计

（一）情境引入：

工人师傅生产了一个接近五边形的零件，如（图1），按要求，AB,CD的延长线相交成80°的角（图2）,我们想检验这个零件是否合格，需要解决什么问题呢？

【设计意图】通过问题引出本节课要探究的知识内容。

师：

根据图形我们知道，¡ÏA=122°，¡ÏC=155°，¡ÏE=90°，¡ÏF=90°，¡ÏG=？

若我们知道了这个五边形的内角和与其中的四个角的度数，就可以求出第五个角。

那么怎样能知道五边形的内角和呢？

我们不仅会求五边形的内角和，六边形、七边形，甚至二十边形的内角和，都可以求出来，这就是我们这节课需要探讨的问题。

（板书课题：

多边形的内角和）

过渡语：

同学们在课前进行了预学，在预学中，同学们有什么困惑呢？

下面我们小组来交

流，交流之前，请看大屏幕上的预学交流要求（¢Ù2号同学发言订正预计结果，

有不同意见同学补充¢Ú1号同学作记录，整理预学中遇到的疑惑点，并作为代表

交流。

注：

每个小组同学根据数学学习情况进行了编号）时间大约3分钟，开始

交流吧。

（二）预学交流

|（学生课前预学内容）

自主探究：

解决与多边形的对角线有关的问题

1、画一画：

过多边形一个顶点有多少条对角线？

请你尝试画出来．

2、看一看：

观察这些对角线将多边形分成多少个三角形？

3、试一试：

将1、2探究的结果写在横线上

（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了个三角形；

（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了个三角形；

（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了个三角形；

4、猜一猜

从十二边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把十二边形分成了个三角形；

5、请将结果整理到下表中，并思考：

仔细观察数据，你发现了什么？

多边形

边数

从一个顶点引出对角线数

三角形个数

四边形

五边形

六边形

¡¡

n边形

提示：

1、画出的对角线的条数与多边形的边数有什么关系？

2、三角形的个数与多边形的边数有什么关系？

【学生活动】学生课前独立思考并完成，课上小组合作交流解决问题，小组代表若有疑问，其他小组解答。

一小组派代表展示表格，有不同意见的同学补充。

【教师点拨】1、解决这个问题，我们有两种方法：

（1）从数据上横向观察，明确序号与

数据之间的关系。

（2）在图形中观察，从一个顶点引出对角线数，自己不能

连，相邻的2个顶点不能连，所以少了3条对角线，因此从一个顶点引出对

角线、数为n-3,从边的角度讲，所取顶点与相邻2条边不能构成三角形，因此少了2个三角形因此，被分割成的三角形个数为n-2。

2、在这部分内容中，我们不仅学会了n边形从一个顶点出发可以引（n-3）

条对角线，可以把n边形分成（n-2）个三角形。

还收获了一种很重要的学习数学的方法，即从具体的四边形，五边形，六边形探究得到一般的n边形的规律，这种方法叫做从特殊到一般的方法。

【设计意图】通过自主探究，初步掌握部分新知，培养学生自主学习能力，培养学生发现

规律、总结规律的能力，节省课堂时间。

通过层层问题的解决，把难点问题

进行分解，从一个顶点出发引对角线，分多边形为三角形，由四边形探索到

n边形，为后面学习多边形内角和打下基础。

自学测评：

1、过十边形的一个顶点可作出条对角线，把十边形分成了个三角形。

2、一个多边形从一个顶点画出的对角线可以将它分割成13个三角形，这个多边形

是_____边形。

【教师点拨】多边形的边数应该用汉字数字表示，不能用阿拉伯数字表示。

【设计意图】通过自主测评，对学生自主学习内容进行了简单应用，让学生感悟自主收获

的快乐，同时找到自主学习的不足之处。

过渡语：

我们在预学的基础上，接着来探究多边形的内角和。

请同学们先看活动一的任务1。

（三）探究新知

活动一：

探究“任意四边形的内角和¡±

多媒体展示问题：

猜想：

任意四边形的内角和是多少？

你是怎样得到的？

请你叙述或画出来。

【学生活动】学生自己想，并说出方法。

在学生思考出结果后，1学生口述方法，

其他同学补充，并说出不同点。

【教师点拨】已知了三角形内角和是180°，能否把四边形转化成三角形，从而利用三角

形的内角和求出四边形的内角和？

怎样进行转化呢？

【设计意图】

（1）从学生熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，

为提出一般问题做铺垫

（2）通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两

个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了

将复杂图形化为简单图形的化归思想。

任务2：

类比四边形的内角和，你能算出五边形、六边形的内角和吗？

【学生活动】学生类比四边形的研究过程，独立思考后，一位同学汇报展示探索过程，

其他同学补充，并说出不同点。

【教师点拨】教师展示课件，利用课件中图形的直观性让学生更加明白五边形内角和的探

索过程。

【设计意图】将研究方法进行迁移，让学生进一步体会将五边形、六边形分割成几个三角

形的化归过程，为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定

基础。

任务3：

多边形的内角和与多边形的边数有什么关系？

能否从中找出规律并推出n边形的

内角和呢？

请完成下表：

多边形

边数

从一个顶点出发对角线数

三角形个数

内角和

四边形

五边形

六边形

¡¡

n边形

归纳总结：

n边形的内角和公式：

              。

预设问题：

学生在归纳四边形、五边形、六边形的内角和时不会写成180°×2，180°×,3，

180°×4，而是写成360°，540°，720°

【学生活动】学生先独立完成，再小组交流，讨论完成表格。

然后每个小组派2号同学准

备展示，学生代表上台投影展示探索过程，其他不同方法者补充。

【教师点拨】若学生在归纳四边形、五边形、六边形的内角和时不会写成180°×2，

180°×,3，180°×4，而是写成360°，540°，720°，教师指出在规律

探索中，我们用从特殊到一般的方法解决问题，数据一定不要写出最后结果，

否则影响规律的得出。

【设计意图】通过填写表格，回顾从探索四边形的内角和，到五边形、六边形乃至n边形

的探索思路，通过增强图形的复杂性，让学生体会由简单到复杂，由特殊到

一般的认识事物的方法，再一次经历将多边形转化为三角形的过程，感悟化

归思想的作用。

同时在分组交流的过程中，感受在合作学习中的收获。

追问：

我们公式中的n对它的取值有要求吗？

【教师点拨】当遇到大多数学生不够清楚¡°有¡±或¡°没有¡±时，通过问题¡°把n=3带入公

式后，得出的结果与三角形的内角和相比较，你有什么发现？

¡±来进行点拨

引导，当有的学生说是大于或等于3的整数时，要让他明白多边形也包括三

角形，而三角形没有对角线。

【教师板书】n边形内角和公式：

（n-2）•180o（n≥3且n为正整数）

过渡语：

刚才我们利用从一个顶点引出的对角线将多边形分割成多个三角形，从而得到

n边形的内角和公式，其实还有其他的方法将多边形分割成多个三角形，请同学

们展开智慧，比一比吧。

请同学们看活动二的任务1，任务2.

活动二：

多种方法验证¡°多边形的内角和¡±

任务1：

你能用其它方法将四边形分成多个三角形吗？

尝试在不同的图中画出来。

（要求：

四边形的一边必须作为分割后三角形的一边）

任务2：

请你利用上题分割后的图形说明四边形的内角和是360°（请你简略书写过程）

式子：

式子：

预设问题1：

第一种方法是从顶点出发连接另外的顶点得对角线将多边形进行分割，那么

这个出发点还可以选在什么位置？

预设问题2：

三角形的角都是多边形内角的一部分吗？

多余的是哪部分？

如何解决？

【学生活动】学生自主探索，独立思考得到答案后讲解思路

预设学生1：

可以在四边形的一边上找一个点与四个顶点连接，将四边形分成三个三角形，

则四边形的内角和为：

3×180°－180°=360°

预设学生2：

可以在四边形的内部找一个点与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形，

则四边形的内角和为：

4×180°－360°=360°

预设学生3：

可以在四边形的外部找一个点与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形，

则四边形的内角和为：

3×180°－180°=360°

追问：

（在学生说出1,2,3的方法之后）三角形的角都是多边形的内角的一部分吗？

多

余的是哪部分？

如何解决？

【教师点拨】在刚才的探索活动中，大家用不同的辅助线作法求四边形的内角和，我们都是把四边形的问题转化成三角形，选择的辅助线有：

1、从一个顶点出发可以引对角线将四边形进行分割，2、在一边上任意取点再连接各个顶点将四边形进行分割，3、在三角形的内部任意取一点再连接各个顶点将四边形进行分割，4、在三角形的外部部任意取一点再连接各个顶点将四边形进行分割。

请同学们类比四边形的分割方法，将五边形分割成多个三角形后，求出五边形的内角和。

【设计意图】让学生尝试用不同的方法分割四边形，把四边形问题转化为熟悉的三角形，

再次体会化归思想的作用，为分割五边形做铺垫。

任务3：

类比四边形的分割方法，你能将五边形进行分割，并且求出它们的内角和吗？

式子：

式子：

【学生活动】学生自主探究后，小组交流，汇总小组意见，得出结论。

并让小组代表讲解

思路，其他不同方法的小组补充。

预设学生1：

可以在五边形的一边上找一个点与五个顶点连接，将五边形分成四个三角形，

则五边形的内角和为：

4×180°-180°=540°。

预设学生2：

可以在五边形的内部找一个点与五个顶点连接，将五边形分成五个三角形，

则五边形的内角和为：

5×180°-360°=540°

预设学生3：

可以在五边形的外部找一个点与五个顶点连接，将五边形分成五个三角形，

这样进行转化得到结论五边形的内角和为：

4×180°-180°=540°

【教师点拨】刚才我们用了不同的方法，但都是将多边形分割成三角形，通过已知的三角

形的内角和是180°，得到未知的多边形的内角和，这种思想就是数学中的

化归思想。

【设计意图】继续让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——转化为三角

形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。

追问：

我们通过不同的方法验证了多边形的内角和公式是（n-2）¡Á180°，请同学们再

次观察活动一任务3的表格，对于多边形的内角和，你还能发现什么规律？

预设学生1：

多边形的内角和是180°的整数倍

预设学生2：

多边形的边数增加1，内角和增加180°

追问：

n边形的内角和比（n-1）边形的内角和多多少度？

【学生活动】学生自己归纳总结，同学代表上台展示探索过程

【教师点拨】教师利用课件将180°整体框住，引导学生观察数据的特征，发现规律

过渡语：

通过探究我们已经知道多边形内角和是（n-2）¡Á180°，下面我们用公式解决问

题。

（四）夯实新知

A组

1、八边形的内角和等于多少度？

十边形呢？

2、求出下图中x的值（列式不带单位）

B组

1、一个多边形内角和是900°，求它是几边形？

2、一个多边形各内角都是150°，求这个多边形的边数。

预设问题：

B组中的第一题会有两种方法：

一种是算术方法，另一种是列方程，鼓励学

生用方程的思想解决问题。

B组2题部分学生可能会有问题，不会利用内角和

列等量关系，教师适时点拨。

【学生活动】A组题目比较基础，1、2组的3号同学黑板板演，3、4组的2号批改

B组两道题让学生在黑板上板演。

5、6组的1号板演，师在巡视时适时点

拨。

学生完成后，师生共同分析。

【教师点拨】正多边形或每个内角相等的多边形内角和有两种求法，要用内角和作为等量

关系列出方程。

【设计意图】通过练习让学生利用并熟练掌握n边形的内角和公式（n-2）¡¤180°

A组第1题让学生直接运用公式，让学生熟悉公式的时候，记住常见多边形

的内角和是多少？

第2题巩固多边形的内角和公式，同时渗透方程

的思想。

B组两道题从反面运用公式，解决与多边形内角和有关的简单计

算问题。

同时这两道题考察学生利用方程思想解决问题的能力。

过渡语：

我们已经会用了多边形的内角和公式，工人师傅的问题怎么解决呢？

（五）解决情境问题

【学生活动】学生独立思考后回答

预设学生：

¡ß五边形内角和为540°，

¡à¡ÏG=540°-122°-155°-180°=83°≠80°

因此这个模板不合格。

（六）课堂小结

¢Ù本节课学习了哪些内容？

¢Ú我们是怎样得到多边形内角和公式的？

【学生活动】学生思考后回答，不同意见者补充

【设计意图】通过归纳小结巩固本节课所学习的知识点，让学生体验生活中处处有数学的

道理。

6、目标检测设计

1、下列各角不可能是多边形的内角和是（）

A、600°B、720°C、1080°D、1800°

【设计意图】考察学生对多边形内角和公式的理解

2、一个多边形内角和是720°，求这个多边形的边数。

【设计意图】考察学生对多边形内角和公式的运用

3、一个多边形各内角都是120°，求这个多边形的边数。

【设计意图】考察学生对正多边形概念的理解及对多边形内角和公式的运用