《线性代数》复习提纲.docx
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《线性代数》复习提纲
《线性代数》复习提纲
第一部分:
基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);
求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:
基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!
项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:
降阶法
定理:
n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:
选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
(2)行列式值为0的几种情况:
Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0;
Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同;
Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例;
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵
1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2.矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
(2)关于乘法的几个结论:
①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;
④|kA|=k^n|A|
3.矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
求秩:
利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4.逆矩阵
(1)定义:
A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);
(2)性质:
(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(AB的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)
(3)可逆的条件:
① |A|≠0; ②r(A)=n;③A->I;
(4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A*A的伴随矩阵~)
②初等变换法(A:
I)->(施行初等变换)(I:
A^-1)
5.用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,则X=(A^-1)B;
XB=A,则X=B(A^-1);
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1.线性方程组解的判定
定理:
(1)r(A,b)≠r(A)无解;
(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)特别地:
对齐次线性方程组AX=0
(1)r(A)=n只有零解;
(2)r(A)再特别,若为方阵,
(1)|A|≠0只有零解
(2)|A|=0有非零解
2.齐次线性方程组
(1)解的情况:
r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;
r(A)(2)解的结构:
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)求解的方法和步骤:
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;
②写出对应同解方程组;
③移项,利用自由未知数表示所有未知数;
④表示出基础解系;
⑤写出通解。
3.非齐次线性方程组
(1)解的情况:
利用判定定理。
(2)解的结构:
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)无穷多组解的求解方法和步骤:
与齐次线性方程组相同。
(4)唯一解的解法:
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。
四、向量组
1.N维向量的定义
注:
向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。
2.向量的运算:
(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);
(2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;
(3)向量长度
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)
(4)向量单位化 (1/|α|)α;
(5)向量组的正交化(施密特方法)
设α1,α2,…,αn线性无关,则
β1=α1,
β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,
β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。
3.线性组合
(1)定义 若β=k1α1+k2α2+…+knαn,则称β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示。
(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记
A=(α1,α2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)
若 r(A)=r(B),则β可以用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示;
若 r(A)≠r(B),则β不可以用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示。
(3)求线性表示表达式的方法:
将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。
4.向量组的线性相关性
(1)线性相关与线性无关的定义
设k1α1+k2α2+…+knαn=0,
若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关;
若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。
(2)判别方法:
①r(α1,α2,…,αn)r(α1,α2,…,αn)=n,线性无关。
②若有n个n维向量,可用行列式判别:
n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了)
5.极大无关组与向量组的秩
(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
(2)求法 设A=(α1,α2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量
1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的求解:
求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3.重要结论:
(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;
(2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值;
(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、矩阵的相似
1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。
2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧):
求出所有特征值;
求出所有特征向量;
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。
3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:
方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。
七、二次型
n
1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。
i,j=1
2.二次型标准化:
配方法和正交变换法。
正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。
3.二次型或对称矩阵的正定性:
(1)定义(略);
(2)正定的充要条件:
①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;
②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;
《线性代数》复习提纲
第一部分:
基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);
求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:
基本知识
一、行列式
1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!
项,其中符号正负各半;
2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:
降阶法
定理:
n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:
选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
(2)行列式值为0的几种情况:
Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0;
Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同;
Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例;
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二.矩阵
1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);
2.矩阵的运算
(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
(2)关于乘法的几个结论:
①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;
④|kA|=k^n|A|
3.矩阵的秩
(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
求秩:
利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4.逆矩阵
(1)定义:
A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);
(2)性质:
(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(AB的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)
(3)可逆的条件:
① |A|≠0; ②r(A)=n;③A->I;
(4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A*A的伴随矩阵~)
②初等变换法(A:
I)->(施行初等变换)(I:
A^-1)
5.用逆矩阵求解矩阵方程:
AX=B,则X=(A^-1)B;
XB=A,则X=B(A^-1);
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)
三、线性方程组
1.线性方程组解的判定
定理:
(1)r(A,b)≠r(A)无解;
(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)特别地:
对齐次线性方程组AX=0
(1)r(A)=n只有零解;
(2)r(A)再特别,若为方阵,
(1)|A|≠0只有零解
(2)|A|=0有非零解
2.齐次线性方程组
(1)解的情况:
r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;
r(A)(2)解的结构:
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)求解的方法和步骤:
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;
②写出对应同解方程组;
③移项,利用自由未知数表示所有未知数;
④表示出基础解系;
⑤写出通解。
3.非齐次线性方程组
(1)解的情况:
利用判定定理。
(2)解的结构:
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)无穷多组解的求解方法和步骤:
与齐次线性方程组相同。
(4)唯一解的解法:
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。
四、向量组
1.N维向量的定义
注:
向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。
2.向量的运算:
(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);
(2)向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn;
(3)向量长度
|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根号)
(4)向量单位化 (1/|α|)α;
(5)向量组的正交化(施密特方法)
设α1,α2,…,αn线性无关,则
β1=α1,
β2=α2-(α2’β1/β1’β)*β1,
β3=α3-(α3’β1/β1’β1)*β1-(α3’β2/β2’β2)*β2,………。
3.线性组合
(1)定义 若β=k1α1+k2α2+…+knαn,则称β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合,或称β可以用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示。
(2)判别方法 将向量组合成矩阵,记
A=(α1,α2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)
若 r(A)=r(B),则β可以用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示;
若 r(A)≠r(B),则β不可以用向量组α1,α2,…,αn的一个线性表示。
(3)求线性表示表达式的方法:
将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。
4.向量组的线性相关性
(1)线性相关与线性无关的定义
设k1α1+k2α2+…+knαn=0,
若k1,k2,…,kn不全为0,称线性相关;
若k1,k2,…,kn全为0,称线性无关。
(2)判别方法:
①r(α1,α2,…,αn)r(α1,α2,…,αn)=n,线性无关。
②若有n个n维向量,可用行列式判别:
n阶行列式aij=0,线性相关(≠0无关)(行列式太不好打了)
5.极大无关组与向量组的秩
(1)定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
(2)求法 设A=(α1,α2,…,αn),将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。
五、矩阵的特征值和特征向量
1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数λ使AX=λX,则称λ是矩阵A的特征值,向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的求解:
求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值,将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X=0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。
3.重要结论:
(1)A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;
(2)A与A的转置矩阵A'有相同的特征值;
(3)不同特征值对应的特征向量线性无关。
六、矩阵的相似
1.定义 对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称A与B相似。
2.求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤(求P和∧):
求出所有特征值;
求出所有特征向量;
若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同,则A可对角化(否则不能对角化),将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为∧。
3.求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵:
方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。
七、二次型
n
1.定义 n元二次多项式f(x1,x2,…,xn)=∑aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j),则称为二交型的标准型。
i,j=1
2.二次型标准化:
配方法和正交变换法。
正交变换法步骤与上面对角化完全相同,这是由于对正交矩阵Q,Q^-1=Q',即正交变换既是相似变换又是合同变换。
3.二次型或对称矩阵的正定性:
(1)定义(略);
(2)正定的充要条件:
①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0;
②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0;