学年高一数学北师大版必修4学案11 周期现象.docx
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学年高一数学北师大版必修4学案11周期现象
明目标、知重点
1.通过创设情境,感知周期现象.2.感受周期现象对实际工作的意义,能判断简单的实际问题中的周期.3.初步了解周期函数的概念,能判断简单的函数的周期性.
1.从周期现象到周期概念
(1)观察钟表,分针指向12的位置表明是整点时间,经过一个小时,分针回到了原来的位置,我们说,分针的运动是周期现象,以1小时为一个周期;时针的运动周期当然是12小时.
(2)地球围绕着太阳转,地球到太阳的距离y是时间t的周期函数,周期是地球绕太阳旋转一圈的时间,即一年.
在日常生活、生产实践中,许多事物或现象每间隔一段时间就会重复出现,这种现象称为周期现象.这个相同的时间间隔就是周期.
2.作散点图的步骤及意义
通常,很多实际问题所满足的数学模型是未知的,为了将其数学化,利用数学知识对其精确研究,首先就要确定它的数学模型.这时,往往采取如下的步骤:
(1)收集、统计数据;
(2)把数据在坐标系中表示出来,我们得到的图像是一些点,称为散点图;
(3)观察散点图与何种函数图像相吻合,我们就将该函数作为实际问题的数学抽象.
由此,我们明确:
散点图是在函数未知的时候用来探寻适当函数的,当然,确定函数类型之后,我们还要利用数据去拟合出函数的具体解析式.
[情境导学] 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象,如日出日落、月圆月缺、四季更替、海水潮汐…,甚至日常生活中的交变电流、钟摆摆动、水车转动……我们把这些每隔相同的时间间隔就会重复出现的现象称为周期现象.将要学习的三角函数是刻化周期现象的最好模型.本节由周期现象拉开本章的序幕.
探究点一 周期现象
思考1 用简短的文字语言概括出周期现象的关键特征是____________________.
答 间隔相同,重复出现
思考2 判断下列现象是否为周期现象.
(1)钟表秒针的运动;
(2)地球的自转;
(3)地球上一年四季的更替.
答
(1)钟表的秒针每分钟重复一次相同的运动,是周期现象.
(2)地球每昼夜自转一次,是周期现象.
(3)地球每年重复出现四季的更替,是周期现象.
例1 2015年5月1日是星期五,问2015年10月1日是星期几?
解 按照公历记法,2015年5、7、8这三个月份都是31天,6、9月份各30天.
从2015年5月1日到2015年10月1日共有153天,因为每星期有7天,故由153=22×7-1知,从2015年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五,这一天是公历2015年10月2日,故2015年10月1日是星期四.
跟踪训练1 2015年1月1日是星期四,把1月2日记作第一天,那么第365天是星期几?
解 因为365=52×7+1.所以,2015年1月1日经过364天后正好也是星期四,那么经过365天是星期五.
探究点二 周期函数初探
如果一个函数的自变量每增加或减少一个固定的值时,函数值重复出现,函数图像重复出现,这样的函数就应考虑是周期函数,这个固定的值就是函数的一个周期.周期函数的图像应当沿x轴向左、右两方无限延展.
思考 下面提供了一些周期函数的部分图像,请根据图像写出它们的周期.
①
②
③
④
它们的周期依次是:
①1;②π;③π;④2π.
例2 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:
小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
依据规定,当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放,依据上表可以判断,一天内的8∶00至20∶00之间,有多少时间可以供冲浪者运动?
解 由数据表画出散点图如下:
由图可知,在规定时间8∶00至20∶00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,时间为9∶00至15∶00.
反思与感悟 收集数据、画散点图,分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法.
跟踪训练2 下图为某港口某天水深与时间的散点图,根据图形,判断在一天之内,水深达到7m的最短间隔时间为________h.
答案 12
例3 如图是钟摆的示意图,如果不计阻力,可将这个钟摆的运动看作周期运动.它离开平衡位置O点向左运动,5秒后第1次经过P点,再过2秒第2次经过P点,该钟摆再经过多长时间第3次经过P点?
解 设由O向左到M位置所需时间为x秒(则周期为4x秒),则从O向左运动第1次经过P点所需时间为2x+(x-1)=5,解得x=2,要使钟摆第3次经过P点,则钟摆需要走的路程为P→O→M→O→P,故所需时间为:
1+2+2+1=6(秒),即该钟摆再经过6秒第3次经过P点.
反思与感悟 钟摆第2次过P点与第3次过P点的时间间隔应是钟摆运动的一个周期4x秒减去2秒,只需求出从O到M所需时间代入即可.要注意本题中的钟摆开始的运动方向是从O向左运动,不要误以为是向右运动.
跟踪训练3 如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图,经过
周期后,甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点.
答案 丁 戊
1.下列现象是周期现象的是( )
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A.①②B.①②③
C.①②④D.③④
答案 A
2.共有50架飞机组成表演编队,按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队,则最后一架是什么飞机?
( )
A.侦察机B.直升机
C.轰炸机D.歼击机
答案 B
3.今天是星期一,7天后的那一天是星期______,120天后的那一天是星期______.(注:
今天是第一天)
答案 一 二
解析 用星期一,星期二,…,星期日来表示时间时,时间是以7为周期循环出现的,故7天后的那一天是星期一,120天后的那一天是星期二.
4.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f(
)=________.
答案
解析 f(
)=f(
-2)=f(-
)
=f(
)=
+1=
.
[呈重点、现规律]
1.若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现,那么这种现象就称为周期现象.如海上波浪每间隔一段时间会重复出现,这种现象就是周期现象;再比如一个角每旋转一周(顺时针或逆时针),终边就又回到原来的位置,这也是周期现象.
因此判断一种现象是否为周期现象,关键是看这种现象是否能够按照一定规律重复出现.
2.利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系,然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点,从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.
一、基础过关
1.如图所示是一个简谐振动的图像,下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大
D.该质点在0.3s和0.7s时的速度为零
答案 B
2.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分,现在分针恰好指在2点处,则100分钟后分针指在( )
A.8点处B.10点处
C.11点处D.12点处
答案 B
3.今天是星期一,再过167天是( )
A.星期天B.星期一
C.星期二D.星期三
答案 A
解析 ∵167=24×7-1,∴再过167天是星期一的前一天,即星期天.
4.
设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置.在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时,经过1分后,钟摆的大致位置是( )
A.点A处B.点B处
C.O、A之间D.O、B之间
答案 D
解析 经过0.45秒,钟摆到达O点,经过0.9秒钟摆到达B点,
而1分=59.4秒+0.6秒=33×1.8秒+0.6秒,
∵0.6秒介于0.45秒和0.9秒之间,
∴钟摆的位置介于O、B之间.
5.月球围绕地球转,月球到地球的距离随着时间的变化而变化,这种现象是周期现象,那么周期是________.
答案 一个月
6.游乐场中的摩天轮有8个座舱,每个座舱最多乘4人,每20min转一圈,估算一下8h内最多有________人乘坐过摩天轮.
答案 768
解析 4×8×24=768.
7.
如图,一个质点在平衡位置O点附近振动.如果不计阻力,可将这个振动看作周期运动.它离开O点向左运动,4秒后第1次经过M点,再过2秒第2次经过M点.该质点再过多少时间第4次经过M点?
解 设由O到A所需时间为x,则第一次经过M点的时间为2x+(x-1)=4,解得x=
,要使质点第4次经过M点,经过的路程正好为一个周期,所以再过T=
秒第4次经过M点.
二、能力提升
8.已知函数f(x)=1,g(x)=
下列说法正确的是( )
A.f(x)是周期函数,g(x)不是周期函数
B.f(x)不是周期函数,g(x)是周期函数
C.f(x)和g(x)都不是周期函数
D.f(x)和g(x)都是周期函数
答案 D
9.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=
,且f
(1)=
,则f(2014)等于( )
A.
B.2
C.2013D.2014
答案 B
解析 因为f(x+6)=
=f(x),
所以函数f(x)的周期为6,
故f(2014)=f(4)=
=2.
10.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f
(1)=1,f
(2)=2,则f(3)-f(4)=________.
答案 -1
解析 ∵函数f(x)的周期为5,∴f(x+5)=f(x),
∴f(3)=f(-2+5)=f(-2).
又∵f(x)为奇函数,
∴f(3)=f(-2)=-f
(2)=-2,
同理f(4)=f(-1)=-f
(1)=-1,
∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1.
11.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=
,若f
(1)=-5,求f(f(5))的值.
解 由已知f(x+4)=
=f(x),
∴f(x)是周期为4的函数.
∵f(5)=f
(1)=-5,
∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)
=
=
=-
.
12.下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事:
有一次毕达哥拉斯处罚学生,让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A,B,C,…,G),如图所示,一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止.你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗?
A B C D E F G
1234567
1312111098
141516171819
252423222120
………………
…………………
解 通过观察可发现规律:
数“2,3,4,…,1997,1998,1999”按标号为“B,C,D,E,F,G,F,E,D,C,B,A”这12个字母循环出现,因此周期是12.
先把1去掉,(1999-1)÷12=166…6,因此第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同,故数到第1999个数的柱子的标号是G.
三、探究与拓展
13.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数{x}=x-[x],则下列命题中正确的是( )
A.函数{x}的最大值为1
B.方程{x}=
有且仅有一个解
C.函数{x}是周期函数
D.函数{x}是增函数
答案 C
解析 方法一 (排除法)
∵[x]表示不超过x的最大整数,
∴x-[x]不可能等于1,只能小于1,故{x}∈[0,1),排除A;
{x}=x-[x]=
时,x可取多个值,如x=0.5,1.5,2.5等,∴B错;
判断{x}的增减性要相对于特定的区间和特定的x值,x取值不同其增减性也不同,∴D错.排除法可知C对,故选C.
方法二 (图像法)
当x∈[-1,0)时,[x]=-1,{x}=x-[x]=x+1;
当x∈[-2,-1)时,[x]=-2,{x}=x-[x]=x+2;
当x∈[0,1)时,[x]=0,{x}=x-[x]=x;
当x∈[1,2)时,[x]=1,{x}=x-[x]=x-1;
一般地,x∈[n,n+1),[x]=n,{x}=x-[x]
=x-n,n∈Z.
作出函数{x}=x-[x]的图像,如下图所示:
结合图像易知,0≤{x}<1,A错;
方程{x}=
有无数多个解,B错;
函数{x}=x-[x]虽然在[n,n+1),n∈Z上分段单调递增,但在定义域R上不是单调函数,D错;结合图像知函数是周期函数,且最小正周期为1.