学年高一数学北师大版必修4学案11 周期现象.docx
《学年高一数学北师大版必修4学案11 周期现象.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高一数学北师大版必修4学案11 周期现象.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
学年高一数学北师大版必修4学案11周期现象
明目标、知重点
1.通过创设情境，感知周期现象.2.感受周期现象对实际工作的意义，能判断简单的实际问题中的周期.3.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．
1．从周期现象到周期概念
（1）观察钟表，分针指向12的位置表明是整点时间，经过一个小时，分针回到了原来的位置，我们说，分针的运动是周期现象，以1小时为一个周期；时针的运动周期当然是12小时．
（2）地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转一圈的时间，即一年．
在日常生活、生产实践中，许多事物或现象每间隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象．这个相同的时间间隔就是周期．
2．作散点图的步骤及意义
通常，很多实际问题所满足的数学模型是未知的，为了将其数学化，利用数学知识对其精确研究，首先就要确定它的数学模型．这时，往往采取如下的步骤：
（1）收集、统计数据；
（2）把数据在坐标系中表示出来，我们得到的图像是一些点，称为散点图；
（3）观察散点图与何种函数图像相吻合，我们就将该函数作为实际问题的数学抽象．
由此，我们明确：
散点图是在函数未知的时候用来探寻适当函数的，当然，确定函数类型之后，我们还要利用数据去拟合出函数的具体解析式．
[情境导学] 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，如日出日落、月圆月缺、四季更替、海水潮汐…，甚至日常生活中的交变电流、钟摆摆动、水车转动……我们把这些每隔相同的时间间隔就会重复出现的现象称为周期现象．将要学习的三角函数是刻化周期现象的最好模型．本节由周期现象拉开本章的序幕．
探究点一 周期现象
思考1 用简短的文字语言概括出周期现象的关键特征是____________________．
答 间隔相同，重复出现
思考2 判断下列现象是否为周期现象．
（1）钟表秒针的运动；
（2）地球的自转；
（3）地球上一年四季的更替．
答
（1）钟表的秒针每分钟重复一次相同的运动，是周期现象．
（2）地球每昼夜自转一次，是周期现象．
（3）地球每年重复出现四季的更替，是周期现象．
例1 2015年5月1日是星期五，问2015年10月1日是星期几？
解 按照公历记法，2015年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．
从2015年5月1日到2015年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2015年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五，这一天是公历2015年10月2日，故2015年10月1日是星期四．
跟踪训练1 2015年1月1日是星期四，把1月2日记作第一天，那么第365天是星期几？
解 因为365＝52×7＋1.所以，2015年1月1日经过364天后正好也是星期四，那么经过365天是星期五．
探究点二 周期函数初探
如果一个函数的自变量每增加或减少一个固定的值时，函数值重复出现，函数图像重复出现，这样的函数就应考虑是周期函数，这个固定的值就是函数的一个周期．周期函数的图像应当沿x轴向左、右两方无限延展．
思考 下面提供了一些周期函数的部分图像，请根据图像写出它们的周期．
①
②
③
④
它们的周期依次是：
①1；②π；③π；④2π.
例2 已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：
小时）的函数，记作y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据上表可以判断，一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可以供冲浪者运动？
解 由数据表画出散点图如下：
由图可知，在规定时间8∶00至20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，时间为9∶00至15∶00.
反思与感悟 收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．
跟踪训练2 下图为某港口某天水深与时间的散点图，根据图形，判断在一天之内，水深达到7m的最短间隔时间为________h.
答案 12
例3 如图是钟摆的示意图，如果不计阻力，可将这个钟摆的运动看作周期运动．它离开平衡位置O点向左运动，5秒后第1次经过P点，再过2秒第2次经过P点，该钟摆再经过多长时间第3次经过P点？
解 设由O向左到M位置所需时间为x秒（则周期为4x秒），则从O向左运动第1次经过P点所需时间为2x＋（x－1）＝5，解得x＝2，要使钟摆第3次经过P点，则钟摆需要走的路程为P→O→M→O→P，故所需时间为：
1＋2＋2＋1＝6（秒），即该钟摆再经过6秒第3次经过P点．
反思与感悟 钟摆第2次过P点与第3次过P点的时间间隔应是钟摆运动的一个周期4x秒减去2秒，只需求出从O到M所需时间代入即可．要注意本题中的钟摆开始的运动方向是从O向左运动，不要误以为是向右运动．
跟踪训练3 如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图，经过
周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．
答案 丁 戊
1．下列现象是周期现象的是（ ）
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A．①②B．①②③
C．①②④D．③④
答案 A
2．共有50架飞机组成表演编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架是什么飞机？
（ ）
A．侦察机B．直升机
C．轰炸机D．歼击机
答案 B
3．今天是星期一，7天后的那一天是星期______，120天后的那一天是星期______．（注：
今天是第一天）
答案 一 二
解析 用星期一，星期二，…，星期日来表示时间时，时间是以7为周期循环出现的，故7天后的那一天是星期一，120天后的那一天是星期二．
4．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x＋1，则f（
）＝________.
答案
解析 f（
）＝f（
－2）＝f（－
）
＝f（
）＝
＋1＝
.
[呈重点、现规律]
1．若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现，那么这种现象就称为周期现象．如海上波浪每间隔一段时间会重复出现，这种现象就是周期现象；再比如一个角每旋转一周（顺时针或逆时针），终边就又回到原来的位置，这也是周期现象．
因此判断一种现象是否为周期现象，关键是看这种现象是否能够按照一定规律重复出现．
2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．
一、基础过关
1．如图所示是一个简谐振动的图像，下列判断正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5cm
C．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的速度为零
答案 B
2．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（ ）
A．8点处B．10点处
C．11点处D．12点处
答案 B
3．今天是星期一，再过167天是（ ）
A．星期天B．星期一
C．星期二D．星期三
答案 A
解析 ∵167＝24×7－1，∴再过167天是星期一的前一天，即星期天．
4.
设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分后，钟摆的大致位置是（ ）
A．点A处B．点B处
C．O、A之间D．O、B之间
答案 D
解析 经过0.45秒，钟摆到达O点，经过0.9秒钟摆到达B点，
而1分＝59.4秒＋0.6秒＝33×1.8秒＋0.6秒，
∵0.6秒介于0.45秒和0.9秒之间，
∴钟摆的位置介于O、B之间．
5．月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是________．
答案 一个月
6．游乐场中的摩天轮有8个座舱，每个座舱最多乘4人，每20min转一圈，估算一下8h内最多有________人乘坐过摩天轮．
答案 768
解析 4×8×24＝768.
7.
如图，一个质点在平衡位置O点附近振动．如果不计阻力，可将这个振动看作周期运动．它离开O点向左运动，4秒后第1次经过M点，再过2秒第2次经过M点．该质点再过多少时间第4次经过M点？
解 设由O到A所需时间为x，则第一次经过M点的时间为2x＋（x－1）＝4，解得x＝
，要使质点第4次经过M点，经过的路程正好为一个周期，所以再过T＝
秒第4次经过M点．
二、能力提升
8．已知函数f（x）＝1，g（x）＝
下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是周期函数，g（x）不是周期函数
B．f（x）不是周期函数，g（x）是周期函数
C．f（x）和g（x）都不是周期函数
D．f（x）和g（x）都是周期函数
答案 D
9．已知函数f（x）对于任意x∈R满足条件f（x＋3）＝
，且f
（1）＝
，则f（2014）等于（ ）
A.
B．2
C．2013D．2014
答案 B
解析 因为f（x＋6）＝
＝f（x），
所以函数f（x）的周期为6，
故f（2014）＝f（4）＝
＝2.
10．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f
（1）＝1，f
（2）＝2，则f（3）－f（4）＝________.
答案 －1
解析 ∵函数f（x）的周期为5，∴f（x＋5）＝f（x），
∴f（3）＝f（－2＋5）＝f（－2）．
又∵f（x）为奇函数，
∴f（3）＝f（－2）＝－f
（2）＝－2，
同理f（4）＝f（－1）＝－f
（1）＝－1，
∴f（3）－f（4）＝－2－（－1）＝－1.
11．函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x＋2）＝
，若f
（1）＝－5，求f（f（5））的值．
解 由已知f（x＋4）＝
＝f（x），
∴f（x）是周期为4的函数．
∵f（5）＝f
（1）＝－5，
∴f（f（5））＝f（－5）＝f（－1）
＝
＝
＝－
.
12．下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：
有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子（这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G），如图所示，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？
A B C D E F G
1234567
1312111098
141516171819
252423222120
………………
…………………
解 通过观察可发现规律：
数“2,3,4，…，1997,1998，1999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.
先把1去掉，（1999－1）÷12＝166…6，因此第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1999个数的柱子的标号是G.
三、探究与拓展
13．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数{x}＝x－[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数{x}的最大值为1
B．方程{x}＝
有且仅有一个解
C．函数{x}是周期函数
D．函数{x}是增函数
答案 C
解析 方法一 （排除法）
∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴x－[x]不可能等于1，只能小于1，故{x}∈[0,1），排除A；
{x}＝x－[x]＝
时，x可取多个值，如x＝0.5，1.5，2.5等，∴B错；
判断{x}的增减性要相对于特定的区间和特定的x值，x取值不同其增减性也不同，∴D错．排除法可知C对，故选C.
方法二 （图像法）
当x∈[－1,0）时，[x]＝－1，{x}＝x－[x]＝x＋1；
当x∈[－2，－1）时，[x]＝－2，{x}＝x－[x]＝x＋2；
当x∈[0,1）时，[x]＝0，{x}＝x－[x]＝x；
当x∈[1,2）时，[x]＝1，{x}＝x－[x]＝x－1；
一般地，x∈[n，n＋1），[x]＝n，{x}＝x－[x]
＝x－n，n∈Z.
作出函数{x}＝x－[x]的图像，如下图所示：
结合图像易知，0≤{x}<1，A错；
方程{x}＝
有无数多个解，B错；
函数{x}＝x－[x]虽然在[n，n＋1），n∈Z上分段单调递增，但在定义域R上不是单调函数，D错；结合图像知函数是周期函数，且最小正周期为1.
升级会员 