排队论在超市收银台服务系统的运用与资料.docx
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排队论在超市收银台服务系统的运用与资料
目录
1绪论1
2超市收银排队服务系统分析2
2.1超市收银排队服务系统的特征描述2
2.2超市收银排队服务系统的假设3
2.3超市收银排队服务系统模型的建立4
3服务系统数据采集与指标计算5
3.1北京华联综合超市简介5
3.2数据采集5
3.3顾客到达分布的研究9
3.4顾客服务时间服从分布的研究11
4系统指标计算及优化14
4.1系统指标计算15
4.2大型超市各时段最优服务台数确定16
5顾客排队状况的计算机仿真20
5.1排队服务系统模型假设20
5.2顾客活动流程与仿真程序流程分析21
5.3顾客排队状况的计算机仿真22
5.4超市排队服务系统的主要参数技术指标结果分析27
6大型超市服务工作优化设计30
6.1超市收银通道优化30
6.2员工专业度的改进30
6.3对超市发展的建议31
结论32
参考文献33
1绪论
排队现象是我们生活中常遇见的现象，例如：
上下班做公共汽车，等待公共汽车的排队，顾客到商店、超市购物形成的排队，售票处购票形成的排队等。
一般来说，当某个时刻要求服务的数量超过服务机构的容量时，就会出现排队现象。
排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生拥挤现象的科学，是运筹学的一个重要分支。
它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决随机服务系统的最优设计和最优控制。
应该安排排队者排几条队伍、设立几个服务台以及如何调配服务工具才能使效用达到最大化以及如何提高队伍移动的效率来减少拥堵的现象，从而减少顾客的平均等待时间和平均等待队长，这些都是排队论研究的范畴。
随着零售业的迅速发展及人们生活水平的不断提高，大型超市的数量大量的增加，这就导致他们之间的竞争日益激烈。
并且随着生活节奏的加快，人们更加珍惜时间，越来越没有耐心长时间排队。
因此，作为服务场所的超市或商场，其与每位消费者完成交易的最终渠道——排队系统就显得特别的重要。
这是因为排队系统是超市和顾客接触的一个平台,排队系统服务质量的好坏将会直接影响到超市在消费者心中的形象,从而影响超市的整体效益。
因此，优化排队系统是超市的经营者面对现实必须要解决的问题。
而要从根本上解决排队问题，超市必须在可接受的经营成本下，尽可能的减少顾客的等待时间和等待队长，来获得顾客的满意度。
只有这样，在同等条件的竞争下，该超市才具有较强的竞争力。
由于排队系统是一个随机服务系统，顾客的到达和收银员对顾客服务时间都是随机的，因此，超市如果开放的收银台数目过少,将会导致顾客的等待队长和等待时间很长,引起顾客不满，从而导致顾客流失；若超市开放的收银台数目过多，虽然可以减少顾客的等待时间和缩短顾客的等待队长，但这样将会增加收银员的空闲时间，致使企业的经营成本增加。
这就是上述提到的在超市或商场经常见到的现象。
所以，管理者或经营者必须考虑如何在这两者之间取得平衡，一方面可以提高服务质量，另一方面可以降低经营成本。
因此,如何根据顾客流量及服务员对顾客的服务水平来动态地、合理地开放收银台的数目，是大型超市或商场等这类随机服务行业要解决的问题。
所以，利用排队论的知识来研究如何根据不同时间段的不同客流量来动态的开放收银台的数目是非常有现实意义的。
2超市收银排队服务系统分析
排队论（queuingtheory），或称随机服务系统理论,是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
它是数学运筹学的分支学科。
也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
广泛应用于计算机网络,生产,运输,库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队论研究的内容有3个方面：
统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
排队系统的一般模型图如图 2.1 所示。
下图表明每个来到服务窗口的顾客需要按照排队规则进行排队等候服务，服务窗口则按照服务规则进行服务,顾客接受完服务之后就会离开。
图中的排队结构是指队列的数目和排队的方式，排队规则和服务规则说明顾客在排队系统中是按照什么规则，以什么次序接受服务的。
图2.1排队系统一般模型图
2.1超市收银排队服务系统的特征描述
超市收银服务系统是一个随机服务系统，这是因为对于超市来说，顾客什么时候到达是随机的，并且收银员对顾客的服务也是随机的。
通过对该系统的观察与分析该我们得到它具有如下的特点：
（1）已经选购完商品准备离开且进入到收费系统的顾客是超市收银服务系统服务的对象，由于顾客是源源不断的进入到超市，所以可以认为顾客源是无限的。
（2）大多数顾客到达超市是相互独立、互不影响的；并且顾客到达收银服务系统也是随机的和相互独立的。
（3）超市的收银员可以看作是排队系统的服务机构，因此系统是由多个服务台并行的工作并且收银员对每个顾客的服务时间是随机的和相互独立的。
（4）系统服务顾客是遵从先到先服务的原则，且为等待制，即顾客接受服务时可能需要等待。
（5）在实际运营中，每个收银台前都有排队队列，顾客到达排队系统时选择较短的队列排队等候，且在排队过程中可以在不同的队列之间相互移动。
综上所述，根据超市收银服务系统的特征描述和排队论的知识，我们知道该随机服务系统实际上就是一个多服务台先到先服务制排队系统。
2.2超市收银排队服务系统的假设
为了将超市的收银排队系统抽象为排队论中的某个模型，我们来看一下它的输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程：
顾客的到达是随机和独立的，并且是源源不断地进入到超市中的，因此顾客的来源可以看作是无限的。
在现实生活中，由于两个顾客同时到达服务系统的概率极小，所以我们可以假设顾客的到达类型是单个的随机到达，并且他们的到达是相互独立的。
排队规则：
当顾客到达时，若系统中有空闲的服务台便立刻接受服务，若系统中没有空闲的服务台，则进入到最短的队列排队等候，直到有空闲的服务台时再接受服务。
顾客在等待的过程中，可以在不同的队列之间移动。
即超市收银服务系统是先到先服务的等待制随机服务系统。
服务机构：
设收银服务系统中有n个服务台，它们之间是相互独立、并行地对顾客进行服务的，并且系统对顾客的服务是单个进行的。
同时假定每个收银台的服务能力是一样的并且不随时间的变化而变化，也就是说每个收银台的服务能力在每个时间段内都是一样的，是一个恒定的数值。
因此，如果我们假设顾客是按Poisson流到达的，服务员对顾客的服务时间服从负指数分布，那么我们可以认为超市收银排队系统是一个M/M/n/∞/∞排队系统。
2.3超市收银排队服务系统模型的建立
由上面的分析假设知，超市收银排队系统是一个M/M/n/∞/∞排队系统，所以我们假设系统中有n个服务台并行的工作，顾客按参数λ（>0）的Poisson流到达，每个顾客所需的服务时间独立、服从相同参数μ（>0）的负指数分布，系统容量为无穷大，而且到达与服务是彼此独立的，由系统的基础理论，我们知道当系统达到稳态时，系统中顾客的平均等待队长Lq和平均等待时间Wq分别为
（2.1）
（2.2）
其中，
，
收银员对顾客的服务时间服从负指数分布、系统有n个相互独立的服务台并行工作这样的排队系统为例，建立了优化模型。
但这不表示优化模型的使用范围仅适用于该类排队系统，其实它的思想可以适用于任一个排队系统的模型中，从而来建立相应的优化模型。
下面我们对一个具体的收银排队系统使用优化模型进行优化。
3服务系统数据采集与指标计算
3.1北京华联综合超市简介
北京华联超市（沈阳五里河店）主要经营百货、针纺织品、日用杂品、五金交电、化工及化工轻工材料（不含易燃易爆）、建筑材料、装饰材料、电子计算机及其外部设备、制冷空调设备、饮食炊事机械、劳保用品、金属材料、机械电器设备、橡胶制品、塑料制品等。
华联超市股份有限公司是中国国内第一家上市的连锁超市公司，其前身为成立于1993年1月的上海华联超市公司。
公司以“挑战极限，追求卓越”为企业精神，以“低成本、低投入、高效益、高产出”为经营原则，以特许加盟为经营特色，形成了以标准超市、大卖场、便利店为主营业态，以现代化物流和信息化管理为核心技术，以开拓全国市场、参与全球竞争为目标的经营格局。
公司为一家全国性扩张的超市连锁企业，主营大型综合连锁超市和生鲜超市，在全国19个省市均拥有店面，向顾客提供物美价廉，品质优良的生鲜、食品、百货等民生必需品，经营品项达六万多种。
生鲜业务作为经营的核心，公司建立了生鲜商品基地及生鲜加工配送中心，直接采购上柜，保证了生鲜商品价格低廉、新鲜美味。
公司还建立了全国连锁超市的VPN网络信息系统，实现全国门店销售数据的实时通讯，为加强预测及正确决策提供保障。
3.2数据采集
该超市的营业时间是早上9点到晚上9点，共设有28个收银台。
在调查收集数据的时候，我们发现节假日期间相对非节假日的客流量剧增，并且一天中的每个时段的客流量也是不一样的。
相同时间段内顾客的到达数相差不是很多。
我们将一天顾客的到达情况分为12个时间段分别进行讨论，每个内以5分钟为单位随机调查100个单位时间的顾客的到达数目，并将单位实际内顾客的到达数目整理如表3.1、表3.2。
表3.1非节假日顾客到达数
人数
频数
时间
10
以
下
10
~
15
15
~
20
20
~
25
25
~
30
30
~
35
35
~
40
40
~
45
45
~
50
50
以
上
9:
00~10:
00
6
22
37
24
6
5
0
0
0
0
10:
00~11:
00
0
0
5
5
40
20
21
8
1
0
11:
00~12:
00
0
2
10
16
40
25
5
2
0
0
12:
00~13:
00
5
20
50
18
5
2
0
0
0
0
13:
00~14:
00
5
21
41
25
7
1
0
0
0
0
14:
00~15:
00
0
13
20
40
19
8
2
0
0
0
15:
00~16:
00
0
0
2
2
7
20
42
20
7
0
16:
00~17:
00
0
0
0
5
7
10
25
35
18
0
17:
00~18:
00
0
0
0
0
3
7
20
25
45
0
18:
00~19:
00
0
2
10
20
40
10
10
8
0
0
19:
00~20:
00
0
1
10
20
40
20
8
1
0
0
20:
00~21:
00
0
0
1
9
40
30
10
9
1
0
表3.2节假日顾客到达数
人数
频数
时间
30以下
30
~
35
35
~
40
40
~
45
45
~
50
50
~
55
55
~
60
60
~
65
65
~
70
70以上
9:
00~10:
00
5
20
40
20
10
4
1
0
0
0
10:
00~11:
00
0
0
0
10
22
35
27
5
1
0
11:
00~12:
00
0
4
6
20
40
20
8
2
0
0
12:
00~13:
00
18
40
22
11
6
3
0
0
0
0
13:
00~14:
00
10
20
45
15
7
3
0
0
0
0
14:
00~15:
00
6
20
34
23
12
3
2
0
0
0
15:
00~16:
00
0
0
1
4
15
20
32
20
8
0
16:
00~17:
00
0
0
0
0
10
30
39
11
10
0
17:
00~18:
00
0
0
1
5
16
50
19
9
0
0
18:
00~19:
00
0
5
20
42
18
9
6
0
0
0
19:
00~20:
00
0
10
30
28
17
14
2
0
0
0
20:
00~21:
00
0
0
20
30
26
14
10
0
0
0
通过对原始数据进行计算，我们可得到顾客的平均到达率如表3.3所示，其中，λ1表示非节假日顾客的到达均值，λ2表示节假日顾客的到达均值，n1,n2分别表示在非节假日和节假日各个时段开放的收银台数。
表3.3顾客平均到达率和开放收银台数
时段
λ1（人/ 时）
n1
λ2（人/时）
n2
9~10
218.4
5
458.1
6
10~11
375.1
6
628.8
9
11~12
329.4
7
568.8
8
12~13
210.9
7
396.6
8
13~14
215.1
8
433.8
7
14~15
272.4
5
460.2
7
15~16
441.6
6
672.0
9
16~17
469.2
7
678.6
8
17~18
511.2
8
634.8
9
18~19
334.8
8
524.4
8
19~20
327.6
7
515.7
7
20~21
372
6
548.4
7
针对表3.3绘制工作日节假日客流量比较图3.1。
图3.1工作日节假日客流量比较
从表3.3和图3.1中，我们可以看出该超市收银台开放的数目不合理，例如在节假日时，顾客人数在10:
00~11:
00的时间段内到达了第一个高峰，该超市开放的收银台数目是6个，而在顾客相对较少的11:
00~12:
00的时间段内，超市开放的收银台的个数是7个。
并且在节假日期间，收银台开放的数目也存在着同样的问题。
在这种情况下，超市的决策者应该再根据每个时间段的客流量动态的开放收银台的数目，这样才能增强超市的竞争力，提高超市的收益。
3.3顾客到达分布的研究
拟合优度检验是利用样本信息对总体分布做出推断的一种方法，检验总体是否服从理论分布。
其方法是把样本分成K个互斥的类，然后根据要检验的理论分布算出每一类的理论频数，与实际的观察值进行比较。
应用χ²统计量进行检验时，应遵循如下原则：
（1）各组的理论频数不得小于5，让两端的小区间可以小一些；
（2）总频数n应较大，即样本容量较大，至少大于50；
（3）如果某组内理论频数小于5，则可将相邻的若干组进行合并，直至合并的理论频数大于5为止。
现建立假设如下：
：
顾客到达率服从泊松分布；
Ha：
顾客到达率不服从泊松分布。
因为含有未知参数λ，故可以利用最大似然估计法得出λ的估计值，我们就能通过泊松累积分布表求出与不同λ值相联系的理论概率，然后将这一理论频数乘以n，便得出对每一个λ值的理论频数。
假设顾客到达服从泊松分布，因此可以得出：
（3.1）
极大似然函数表达式为：
（3.2）
则可以得到参数λ的似然函数：
（3.3）
两边取对数得：
（3.4）
对上式两边进行求导运算得似然方程：
（3.5）
解得：
（3.6）
又因为：
（3.7）
故参数λ的极大似然量为：
也就是说λ的最大似然量就是顾客的平均到达率。
现取13:
00~14:
00时间段的顾客平均到达率为例。
顾客的平均到达率为λ=215.1人/小时，故单位时间（5分钟）内顾客的平均到达率=17.9；理论频数，其中与分别是第n-1个组的下限和上限。
概率，其中对理论频数小于5的项并入下一项（或上一项进行计算）。
得到如下表3.4所示：
顾客数目n
10以下
5
0.01623471
1.623471
10~15
21
0.19846371
19.84637
0.865
15~20
41
0.44505965
44.50596
0.276
20~25
25
0.27521244
27.52124
0.231
25~30
7
0.05950796
5.950796
30~35
1
0.00529772
0.529772
35~40
0
0.00021939
0.021939
40~45
0
0.00000465
0.000465
0.344
45~50
0
0.00000542
0.000542
50以上
0
0.00000358
0.000358
表3.4检验计算表
，这里取α=0.05，其中k=4，r=1。
通过查
分布表得：
故在水平0.05下，因此可以认为顾客单位时间内的平均到达率服从参数为λ=17.9的泊松分布。
对于其他各个时段的顾客到达我们可以用同样的方法来检验，通过上面的计算分析可以证明各个时段顾客的平均到达率也都是服从泊松分布的，所不同的只是各个时段服从泊松分布的参数λ不同。
3.4顾客服务时间服从分布的研究
为了研究超市收银服务系统中顾客服务时间的概率分布，在该超市随机调查了100名顾客的服务时间，数据记录整理如表3.5所示：
表3.5顾客服务时间统计表
服务时间（S）
0
~
15
15
~
30
30
~
45
45
~
60
60
~
75
75
~
90
90
~
105
105
~
120
120以
上
频数
17
16
15
10
9
7
6
5
15
根据调查的原始数据表3.5可以计算出顾客的平均服务时间是：
t=58.7秒。
下面用极大似然法来估计理论分布中的未知参数μ。
首先我们假定顾客的服务时间T服从负指数分布，则有：
（3.8）
在此例中，讨论的是排队系统在稳定时的运行状态，所以可以认为是正的。
因此可以得到参数u的似然函数。
（3.9）
对上式两边取对数
（3.10）
在对上式两边求导，导数等于0的似然方程：
（3.11）
解得：
同时可算得：
故参数μ的最大似然估计量：
（3.12）
所以，
下面就统计数据是否符合参数为
负指数分布进行拟合检验。
T的分布函数的估计为
（3.13）
概率：
其中
是第i组的下限和上限。
其中
不能太小，如果小于5的，要和下一项或前一项进行合并。
具体过程见
表3.6。
Ai
A10~15
17
0.25769
25.769
2.984
A215~30
16
0.18547
18.547
0.350
A330~45
15
0.14714
14.714
0.199
A445~60
10
0.09485
9.485
0.028
A560~75
9
0.11105
11.105
0.399
A675~90
7
0.04134
4.134
A790~105
6
0.04476
4.476
A8105~120
5
0.03955
3.955
2.352
A9120以上
15
0.13748
13.748
0.114
表3.6
检验表
这里取α=0.05，其中k=7，r=1。
通过查表
检验表可以得到：
，故在水平0.05下，该超市收银服务系统中顾客的服务时间服从参数为
=61.239的负指数分布。
4系统指标计算及优化
该超市的业务单一，只有结账服务，目前，顾客在到达服务系统时会有三种情况：
第一种情况是服务台没有服务对象，顾客可以直接进行结账。
第二种现象是服务台前已经有顾客进行服务，而等待的顾客并不多，需要等待一段时间，但是等待的时间并不长，为了购买东西是可以容忍的，顾客会加入到结账队列直到结账完毕，一般情况下，几乎所有的顾客都会选择排队等待。
而第三种情况则是队列太长，以至于排队结账需要等待太长时间，就会有顾客选择放弃购买东西而直接走出超市，这样的顾客可能会是暂时离去，等到人较少的时间段再来购买物品，也可能会去其它的超市进行购物，这样无疑会影响超市的收入。
顾客到达服务系统是一个泊松分布，顾客接受服务时间是一个负指数分布，现假设各服务台有相同的平均服务率，即有μ1=μ2=μ3=...=μn。
各服务台服务相互独立互不干涉。
则有模型符号：
N=系统中的顾客人数
λ=顾客平均到达速度
μ=平均服务速率
ρ=服务能力（服务强度）
n=服务台数量
=N个顾客在系统中的概率
是这一个服务台系统的服务强度
（4.1）
（4.2）
（4.3）
Ws=Wq+
（4.4）
式中是求该服务系统中任意一时刻该服务等待概率
是服务系统中排队等待服务的队长
Wq是顾客在服务系统中的平均等待时间
Ws是一个顾客在系统中的平均逗留时间
4.1系统指标计算
由前面的分析，我们知道每个时段顾客到达数均服从参数为
的泊松分布且收银台服务顾客的服务时间服从参数为
=61.239的负指数分布，所以，该超市收银服务系统是一个多服务窗等待制M/M/n/∞/∞排队系统。
顾客的平均到达率在每个时间段并不相同，现把每个时间段的到达率制作成如表4.1所示。
表4.1各时间段到达率
时间段
非节假日顾客到达率
节假日顾客到达率
9:
00~10:
00
218.4
458.1
10:
00~11:
00
375.1
628.8
11:
00~12:
00
329.4
568.8
12:
00~13:
00
210.9
396.6
13:
00~14:
00
215.1
433.8
14:
00~15:
00
272.4
460.2
15:
00~16:
00
441.6
672.0
16:
00~17:
00
469.2
678.6
17:
00~18:
00
511.2
634.8
18:
00~19:
00
334.8
524.4
19:
00~20:
00
327.6
515.7
20:
00~21:
00
372
548.4
顾客的平均服务速率61.239人/时，则可以根据求得每个时间段的一个服务台的系统服务强度，如表4.2所示。
表4.2各时间段系统的服务强度
时间段
非节假日系统服务强度
节假日系统服务强度
9:
00~10:
00
0.71
1.25
10
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