立体与平面相交.ppt

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第七章平面与立体相交第七章平面与立体相交6.16.1平面与平面体相交平面与平面体相交6.26.2平面与常用回转体相交平面与常用回转体相交相关概念：

相关概念：

截平面：

与立体相交的平面，称为截平面。

截平面：

与立体相交的平面，称为截平面。

截交线：

平面与立体表面的交线，称为截交线。

截交线：

平面与立体表面的交线，称为截交线。

截断面：

截交线围成的图形称截断面。

截断面：

截交线围成的图形称截断面。

6.16.1平面与平面体相交平面与平面体相交一、截交线的特性：

一、截交线的特性：

11、平面体截交线是平面和平面体表面的共有线、平面体截交线是平面和平面体表面的共有线。

22、一般情况下，平面截切平面体时，截交线是一个封闭的平面一般情况下，平面截切平面体时，截交线是一个封闭的平面多边形多边形。

截交线的形状取决截平面与立体的相对位置。

截交线的形状取决截平面与立体的相对位置。

二、求平面立体截交线的方法二、求平面立体截交线的方法11、单个截平面与平面体的截交线、单个截平面与平面体的截交线22、多个截平面与平面体的截交线、多个截平面与平面体的截交线11、单个截平面与平面体的截交线、单个截平面与平面体的截交线例例11、求正垂面与三棱椎的截交线。

、求正垂面与三棱椎的截交线。

空间分析：

空间分析：

截平面截平面PP与三棱锥的三条棱线与三棱锥的三条棱线均相交。

截交线是一均相交。

截交线是一平面三角形，顶点是平面三角形，顶点是三棱锥的棱线与截平三棱锥的棱线与截平面面PP的交点，它的边的交点，它的边是截平面是截平面PP与平面立与平面立体表面的交线。

体表面的交线。

PIIIIII例例11、求正垂面与三棱椎的截交线。

、求正垂面与三棱椎的截交线。

作图步骤作图步骤:

（11）在棱线的正面投影在棱线的正面投影sasa、sbsb、scsc与截与截平面平面PP的有积聚性的迹线的有积聚性的迹线PvPv的的相交处，作出交点的正面投影相交处，作出交点的正面投影11、22、33，与与PvPv相重合相重合的直线的直线123123即为截交线即为截交线的正面投影。

的正面投影。

（2）

（2）由由11、22、33引投影连引投影连线线，分别与分别与sasa、sbsb、scsc和和s”as”a、s”bs”b、s”cs”c交出交出11、22、33和和1”1”、2”2”、3”3”,其中其中3”3”不可见。

不可见。

1231231“2“（3“）（3）（3）连接这些点的同名投影连接这些点的同名投影,作作出截交线的水平投影出截交线的水平投影123123和侧面和侧面投影投影1”2”3”1”2”3”，注意可见性。

，注意可见性。

例例22、求四棱柱被截切后的三面投影。

、求四棱柱被截切后的三面投影。

空间分析空间分析：

截平面：

截平面与四棱与四棱柱的四个棱面及上底面均相柱的四个棱面及上底面均相交，所以截交线是一个凸五交，所以截交线是一个凸五边形，五个顶点分别是截平边形，五个顶点分别是截平面面与四棱柱三条棱线和上与四棱柱三条棱线和上底面两条边线的交点。

即底面两条边线的交点。

即点点II、IIII、IIIIII、IVIV、VV。

PIIIIIIIVV例例22、求四棱柱被截切后的三面投影。

、求四棱柱被截切后的三面投影。

作图步骤作图步骤:

（11）截交线的正面投影重截交线的正面投影重合合PvPv，作出作出11、22、33、44、55。

（22）由由正面投影正面投影，作出水作出水平投影平投影11、22、33、44、55。

（33）作出侧面投影作出侧面投影11”、22“、33”、44“、55”。

例例22、求四棱柱被截切后的三面投影。

、求四棱柱被截切后的三面投影。

作图步骤作图步骤:

（11）截交线的正面投影重截交线的正面投影重合合PvPv，作出作出11、22、33、44、55。

（22）由由正面投影正面投影，作出水作出水平投影平投影11、22、33、44、55。

（33）作出侧面投影作出侧面投影11”、22“、33”、44“、55”。

（44）分清截交线及截交形分清截交线及截交形体在各投影中线条的可见体在各投影中线条的可见性，描深三面投影图性，描深三面投影图。

11、多个截平面与平面体的截交线、多个截平面与平面体的截交线例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

空间分析空间分析：

梯形四棱柱被梯形四棱柱被PP、Q1Q1、Q2Q2三平面截切，因三平面截切，因而截交线由三部分组成。

而截交线由三部分组成。

即即PP平面与梯形四棱柱的表平面与梯形四棱柱的表面交线，以及面交线，以及Q1Q1、Q2Q2平面平面与梯形四棱柱被与梯形四棱柱被PP平面截切平面截切后形体的表面交线。

后形体的表面交线。

例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

（1）

（1）：

只考虑：

只考虑PP平面截切平面截切四棱柱产生的截交线，四棱柱产生的截交线，由正面投影由正面投影11、22、33、44可作出侧面投可作出侧面投影影1“1“、2”2”、3“3“、4”4”与水平投影与水平投影11、22、33、44。

PIIIIIIIV作图步骤作图步骤:

例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

作图步骤作图步骤:

（2）

（2）在第一步的基础上，在第一步的基础上，考虑考虑Q1Q1、Q2Q2平面截切。

平面截切。

Q2HQ1HQ1Q1Q1PQ2作图步骤作图步骤:

（3）（3）Q1Q1平面截切平面体的平面截切平面体的截交线可由水平投影截交线可由水平投影aa、bb、cc、dd求出正面投影求出正面投影aa、bb、cc、dd。

ABCABCDEFGHQ1Q1Q2D例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

Q1HQ2H作图步骤作图步骤:

（4）（4）由水平投影由水平投影aa、bb、cc、dd及正面投影及正面投影aa、bb、cc、dd作出侧面投影作出侧面投影a”a”、b”b”、c”c”、d”d”。

例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

ABCDQ1Q1Q2Q2EFGH例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

作图步骤作图步骤:

（5）（5）按同样的方法求出平按同样的方法求出平面面Q2Q2截切平面体产生的截切平面体产生的截交线截交线EFGHEFGH的三面投影。

的三面投影。

ABCDQ1Q1Q2Q2EFGH作图步骤作图步骤:

（6）（6）分清截交线及截交形分清截交线及截交形体在各投影中线条的可体在各投影中线条的可见性，描深三面投影图。

见性，描深三面投影图。

例例11、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

、求梯形四棱柱被截切后的三面投影图。

11、多个截平面与平面体的截交线、多个截平面与平面体的截交线例例22、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

PvQv空间分析空间分析：

四棱锥的缺口可看作是由水平四棱锥的缺口可看作是由水平面面PP与正垂面与正垂面QQ切割四棱锥而成的，因此，切割四棱锥而成的，因此，除了要分别求出除了要分别求出PP、QQ两平面与四棱锥表面两平面与四棱锥表面交线之外，还要求出交线之外，还要求出PP、QQ两平面的交线。

两平面的交线。

PQ两平面交线例例22、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

作图步骤作图步骤:

（1）

（1）画出未截切时的四棱画出未截切时的四棱锥的侧面投影。

锥的侧面投影。

（2）

（2）水平面水平面PP与正垂面与正垂面QQ正正面投影有积聚性，因此面投影有积聚性，因此截交线的正面投影可直截交线的正面投影可直接得出。

作出截交线正接得出。

作出截交线正面投影面投影1123456782345678。

PPQQ例例22、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

作图步骤作图步骤:

（3）（3）由正面投影作出水平由正面投影作出水平投影投影1234567812345678及侧面投影及侧面投影1“2”3“4”5“6”7“1“2”3“4”5“6”7“。

例例22、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

作图步骤作图步骤:

（4）（4）依此连接同一表面的依此连接同一表面的各点。

其中，各点。

其中，3434为两平面为两平面交线的水平投影，交线的水平投影，3“4”3“4”为两平面交线的侧面投影。

为两平面交线的侧面投影。

例例22、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

、补全有缺口四棱锥的水平投影和側面投影。

作图步骤作图步骤:

（5）（5）分清截交线及切割立分清截交线及切割立体在水平投影与侧面投影体在水平投影与侧面投影的可见性，描深三面投影的可见性，描深三面投影图。

图。

6.26.2平面与回转体相交平面与回转体相交一、截交线的特性及作图方法：

一、截交线的特性及作图方法：

11、平面与回转体交线是、平面与回转体交线是平面曲线平面曲线（特殊情况下为直线特殊情况下为直线），是），是截平面与回转面的共有线。

截平面与回转面的共有线。

22、若若截交线为非圆曲线，则先作出截交线上的截交线为非圆曲线，则先作出截交线上的特殊点特殊点，再作出，再作出其上其上若干个一般点若干个一般点（也称中间点），然后将这些共有点连成光（也称中间点），然后将这些共有点连成光滑曲线（尖点处例外）滑曲线（尖点处例外）。

特殊点，特殊点，是指是指截交线上确定其大小范截交线上确定其大小范围的最高、最低、最左、最右、最前、最后点，围的最高、最低、最左、最右、最前、最后点，投影上截交线投影上截交线的虚实分界点，椭圆长短轴的端点，以及抛物线双曲线的顶点的虚实分界点，椭圆长短轴的端点，以及抛物线双曲线的顶点，这些特殊点的投影绝大多数位于回转体的视图轮廓线上。

这些特殊点的投影绝大多数位于回转体的视图轮廓线上。

二、平面与圆柱面相交二、平面与圆柱面相交平面与圆柱面相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不平面与圆柱面相交时，根据平面对圆柱轴线的位置不同，其截交线有三种情形圆、椭圆或两平行直线。

同，其截交线有三种情形圆、椭圆或两平行直线。

表表7-17-1平面与圆柱面相交的各种情形平面与圆柱面相交的各种情形截截平面位置平面位置截截交线形状交线形状立体图立体图投影图投影图与与轴线垂直轴线垂直与与轴线倾斜轴线倾斜与与轴线平行轴线平行圆圆椭圆椭圆两平行直线两平行直线例例11圆柱面被正垂面圆柱面被正垂面PP所截切，已知它的主视图和俯视图，所截切，已知它的主视图和俯视图，求作左视图。

求作左视图。

作图步骤：

作图步骤：

（11）作出完整圆柱的左视图。

）作出完整圆柱的左视图。

（22）作出特殊点的投影。

）作出特殊点的投影。

abcdacdbb”a”d”c”eee最低最左点最低最左点AA最高最右点最高最右点BB最前点最前点CC，最后点最后点DD（3）（3）作必要的一般点作必要的一般点EE（4）（4）连线检查后加深，连线检查后加深，注意整理轮廓线。

注意整理轮廓线。

ee例例22已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。

已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。

空间分析空间分析：

轴线为侧垂线轴线为侧垂线的圆柱被垂直于圆柱轴线、的圆柱被垂直于圆柱轴线、平行于圆柱轴线和倾斜于平行于圆柱轴线和倾斜于圆柱轴线的三平面截切，圆柱轴线的三平面截切，因而截交线分别是圆、两因而截交线分别是圆、两平行直线和椭圆。

平行直线和椭圆。

例例22已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。

已知切口圆柱的主视图和左视图，求作俯视图。

作图步骤作图步骤:

（11）作出侧垂面截切圆柱所）作出侧垂面截切圆柱所产生的截交线。

产生的截交线。

（22）作出水平面截切圆柱所）作出水平面截切圆柱所产生的截交线。

产生的截交线。

（33）作出正垂面截切圆柱所）作出正垂面截切圆柱所产生的截交线。

产生的截交线。

（44）连