离散数学屈婉玲第五章.ppt

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1主要内容主要内容l一阶逻辑等值式与基本的等值式一阶逻辑等值式与基本的等值式l置换规则、换名规则、代替规则置换规则、换名规则、代替规则l前束范式前束范式第五章第五章一阶逻辑等值演算一阶逻辑等值演算25.1一阶逻辑等值式与置换规则一阶逻辑等值式与置换规则定义定义5.1设设A,B是两个谓词公式是两个谓词公式,如果如果AB是永真式是永真式,则称则称A与与B等值等值,记作记作AB,并称并称AB是是等值式等值式基本等值式基本等值式第一组第一组命题逻辑中命题逻辑中16组基本等值式的代换实例组基本等值式的代换实例例如，例如，xF（x）xF（x）,xF（x）yG（y）xF（x）yG（y）等等第二组第二组

（1）消去量词等值式消去量词等值式设设D=a1,a2,anxA（x）A（a1）A（a2）A（an）xA（x）A（a1）A（a2）A（an）3基本等值式基本等值式

（2）量词否定等值式量词否定等值式xA（x）xA（x）xA（x）xA（x）（3）量词辖域收缩与扩张等值式量词辖域收缩与扩张等值式.A（x）是含是含x自由出现的公式，自由出现的公式，B中不含中不含x的自由出现的自由出现关于全称量词的：

关于全称量词的：

x（A（x）B）xA（x）Bx（A（x）B）xA（x）Bx（A（x）B）xA（x）Bx（BA（x）BxA（x）4基本等值式基本等值式关于存在量词的：

关于存在量词的：

x（A（x）B）xA（x）Bx（A（x）B）xA（x）Bx（A（x）B）xA（x）Bx（BA（x）BxA（x）（4）量词分配等值式量词分配等值式x（A（x）B（x）xA（x）xB（x）x（A（x）B（x）xA（x）xB（x）注意：

注意：

对对，对对无分配律无分配律5置换规则、换名规则、代替规则置换规则、换名规则、代替规则1.置换规则置换规则设设（A）是含是含A的公式的公式,那么那么,若若AB,则则（A）（B）.2.换名规则换名规则设设A为一公式，将为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束中某量词辖域中个体变项的所有约束出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个体变项符号，其余部分不变，设所得公式为体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则，则AA.3.代替规则代替规则设设A为一公式，将为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用中某个个体变项的所有自由出现用A中中未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得公式为公式为A，则，则AA.6实例实例例例1将下面命题用两种形式符号化将下面命题用两种形式符号化,并证明两者等值并证明两者等值:

（1）没有不犯错误的人没有不犯错误的人解解令令F（x）：

x是人，是人，G（x）：

x犯错误犯错误.x（F（x）G（x）或或x（F（x）G（x）x（F（x）G（x）x（F（x）G（x）量词否定等值式量词否定等值式x（F（x）G（x）置换置换x（F（x）G（x）置换置换7实例实例

（2）不是所有的人都爱看电影不是所有的人都爱看电影解解令令F（x）：

x是人，是人，G（x）：

爱看电影：

爱看电影.x（F（x）G（x）或或x（F（x）G（x）x（F（x）G（x）x（F（x）G（x）量词否定等值式量词否定等值式x（F（x）G（x）置换置换x（F（x）G（x）置换置换8实例实例例例2将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自由出现将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自由出现的个体变项的个体变项:

x（F（x,y,z）yG（x,y,z）解解x（F（x,y,z）yG（x,y,z）x（F（x,y,z）tG（x,t,z）换名规则换名规则xt（F（x,y,z）G（x,t,z）辖域扩张等值式辖域扩张等值式或者或者x（F（x,y,z）yG（x,y,z）x（F（x,u,z）yG（x,y,z）代替规则代替规则xy（F（x,u,z）G（x,y,z）辖域扩张等值式辖域扩张等值式9实例实例例例3设个体域设个体域D=a,b,c,消去下述公式中的量词消去下述公式中的量词:

（1）xy（F（x）G（y）解解xy（F（x）G（y）（y（F（a）G（y）（y（F（b）G（y）（y（F（c）G（y）（F（a）G（a）（F（a）G（b）（F（a）G（c）（F（b）G（a）（F（b）G（b）（F（b）G（c）（F（c）G（a）（F（c）G（b）（F（c）G（c）10实例实例解法二解法二xy（F（x）G（y）x（F（x）yG（y）辖域收缩等值式辖域收缩等值式x（F（x）G（a）G（b）G（c）（F（a）G（a）G（b）G（c）（F（b）G（a）G（b）G（c）（F（c）G（a）G（b）G（c）11实例实例

（2）xyF（x,y）xyF（x,y）x（F（x,a）F（x,b）F（x,c）（F（a,a）F（a,b）F（a,c）（F（b,a）F（b,b）F（b,c）（F（c,a）F（c,b）F（c,c）125.2一阶逻辑前束范式一阶逻辑前束范式定义定义5.2设设A为一阶逻辑公式，若为一阶逻辑公式，若A具有如下形式具有如下形式Q1x1Q2x2QkxkB则称则称A为为前束范式前束范式，其中，其中Qi（1ik）为为或或，B为不含量词为不含量词的公式的公式.例如，例如，x（F（x）G（x）xy（F（x）（G（y）H（x,y）是前束范式是前束范式而而x（F（x）G（x）x（F（x）y（G（y）H（x,y）不是前束范式不是前束范式13前束范式存在定理前束范式存在定理定理定理5.1（前束范式存在定理）（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式例例4求下列公式的前束范式求下列公式的前束范式

（1）x（M（x）F（x）解解x（M（x）F（x）x（M（x）F（x）（量词否定等值式）（量词否定等值式）x（M（x）F（x）后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范式不惟一后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范式不惟一.14求前束范式的实例求前束范式的实例

（2）xF（x）xG（x）解解xF（x）xG（x）xF（x）xG（x）（量词否定等值式）（量词否定等值式）x（F（x）G（x）（量词分配等值式）（量词分配等值式）或或xF（x）xG（x）xF（x）xG（x）量词否定等值式量词否定等值式xF（x）yG（y）换名规则换名规则xy（F（x）G（y）辖域收缩扩张规则辖域收缩扩张规则15求前束范式的实例求前束范式的实例（3）xF（x）y（G（x,y）H（y）或或xF（x）y（G（z,y）H（y）代替规则代替规则xy（F（x）（G（z,y）H（y）解解xF（x）y（G（x,y）H（y）zF（z）y（G（x,y）H（y）换名规则换名规则zy（F（z）（G（x,y）H（y）辖域收缩扩张规则辖域收缩扩张规则16第五章第五章习题课习题课主要内容主要内容l一阶逻辑等值式一阶逻辑等值式基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则l前束范式前束范式基本要求基本要求l深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式,并能准确而熟并能准确而熟练地应用它们练地应用它们l熟练正确地使用置换规则、换名规则、代替规则熟练正确地使用置换规则、换名规则、代替规则l熟练地求出给定公式的前束范式熟练地求出给定公式的前束范式17练习练习11.给定解释给定解释I如下如下:

（1）个体域个体域D=2,3

（2）（3）（4）求下述公式在求下述公式在I下的解释及其真值下的解释及其真值:

xy（F（f（x）G（y,f（a）解解xF（f（x）yG（y,f（a）F（f

（2）F（f（3）（G（2,f

（2）G（3,f

（2）10（10）018练习练习22.求下述公式的前束范式求下述公式的前束范式:

xF（x）y（G（x,y）H（x,y）解解使用换名规则使用换名规则,xF（x）y（G（x,y）H（x,y）zF（z）y（G（x,y）H（x,y）z（F（z）y（G（x,y）H（x,y）zy（F（z）（G（x,y）H（x,y）使用代替规则使用代替规则xF（x）y（G（x,y）H（x,y）xF（x）y（G（z,y）H（z,y）x（F（x）y（G（z,y）H（z,y）xy（F（x）（G（z,y）H（z,y）