第五章 刚体动力学 A4.docx

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第五章刚体动力学A4

第五章刚体动力学

§5.1刚体空间状态的确定

10、刚体

任意两质点间的距离均保持恒定的质点系所组成的物体称之为刚体。

刚体可以由n个质点组成,其中,任意两质点间的距离保持恒定。

也可以由质量连续分布质点系构成,其中,任意两标定的点之间的距离保持恒定。

20、刚体空间位形状态的确定

1、首先考虑一个质点其空间位置状态的确定。

我们知道,对于一个质点要确定其空间位置状态,需要三个独立的变量,如zyx,,,即一个质点的空间自由度为3;

2、现在考虑一由n个质点组成的质点系,若确定了质点系每个质点的位置,则可认为整个质点系的空间位形状态得到了确定。

而要确定质点系每个质点的位置,需3n个独立的变量,即质点系的空间自由度为3n;

3、最后我们来考虑刚体,若只确定了刚体上某点A的位置,则刚体上别的点的位置并不能相应地获得确定。

若再确定刚体上另一点B的位置,则刚体AB联线上各点的位置均可确定,因为联线上任意一点与A和与B的距离为固定。

但如刚体绕联线AB转动时,联线外别的点的位置还是不能确定。

现再确定刚体上AB联线外的另一点C的位置,则CBA、、三点可构成一平面,该平面上各点的位置均可确定,因为平面上任意一点与A、与B和与C的距离为固定。

与此同时,平面外任意一点P相对于平面的距离为固定,其位置也就得到了确定,即此时刚体上任意一点的位置均可确定,从而也就确定了整个刚体的空间位形状态。

换句话说,要确定刚体的空间位形状态,须确定刚体上三个不共线的点的位置,这就需要9个变量,如,,（AAAzyx、,,（BBBzyx和,,（CCCzyx。

但这9个变量不是独立的,因为这三个点之间的距离为定值,即

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==-+-+-==-+-+-==-+-+-定值定值定值

222222222222（（（（（（（（（BCzzyyxxACzzyyxxABzzyyxxCBCBCB

CACACAB

ABABA

（5.1.1

这表明这9个变量之间还有3个相互关系,从而只有6个是独立的。

换句话说,要确定一个刚体的空间位形状态,只需6个独立的变量即可,一般刚体的空间自由度为6。

§5.2刚体的受力分析与刚体的平衡10、力─滑移矢量

如图5.1,作用在刚体上的力,其作用点沿作用线在刚体上的移动,并不改变力对刚体的作用效果,通常把这样矢量称为滑移矢量。

20、力矩

图5.1,在刚体上,力作用点沿作用线在刚体上的移动,并不改变力对刚体的作用效果。

如图5.1,作用在刚体上的力F对某点o的力矩,定义为该力的作用点相对于点o的位置矢量r与力F的叉积,即

FrM

⨯=（5.2.1

30、力偶

如图2,若作用在刚体上A、B两点处的力FA和FB等大反向,即

BAFF

=（5.2.2

这样的一对力称之为力偶,并记为[]

BAFF

。

40、力偶矩

如图5.2,设力FA的作用点A相对于某点o的位置矢量为rA,相对于力FB

的作用点B的位置矢量为r。

而力FB的作用点B相对于o点的位置矢量为rB。

则力偶[]

BAFF

对o点的力矩-力偶矩为

BBAAFrFrM⨯+⨯=

即AABAABAAFrFrrFrFrM

⨯=⨯-=⨯-⨯=（（5.2.350、力的平移

如图5.3,设作用在刚体上A点处的外力为FA,显然对刚体上的任意一点o加上一对等大反向的外力A

F'和AF''

时,并不改变力FA的作用效果。

当然,单独一个力FA的作用效果,也与三个力FA、A

F'和AF''

同时作用在刚体上的效果相同。

若加上的这一对力其大小刚好等于FA,方向一个与之相同,一个与之相反,即

AA

AFFF''-='=

（5.2.4则力FA与AF''将组成力偶[]

A

AFF''

。

而单独一个力FA的作用效果,就相当于力A

F'和力偶[]

AAFF''

的作用效果,即],[AAA

AFFFF''+'=（5.2.5从图3中看来,可认为是如果将力FA平移作用到刚体上的任意一点o,须附加上一力偶[]

A

AFF''

,并且此力偶的力偶矩应等于原力FA对o点的力矩,这就是所谓的力的平移。

60、作用在刚体上任意空间力系的简化

设作用在刚体上的外力有nFFF

、、

、21构成力系,各力的作用线并不一定相交于刚体上的一点。

如图5.4,若将各力平移作用到刚体上的一点o,此时原各力的作用效果就相当于有

图5.2,在刚体上两等大反向的力FA和FB称为力偶。

F

图5.3,将力平移作用到刚体上的任意一点,须附加上一力偶。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧''+'=''+'=''+'=]

[]

[]

[22221111nnnnFFFF

FFFFFFFF

（5.2.6其中,nFFF'''、、

、21为同时作用于o点的共点力,且nnFFFFFF'=''、、=、=2211（5.2.7而[][][]

nnFFFFFF'''

、、,、

2211组成相应的力偶,并可设相应的力偶矩分别为1J、2J

、…、nJ。

这样,作用在刚体上的力系nFFF、、

、21其作用效果,就相当于作用在刚体某点o上的共点力nFFF'''

、、、21及各力nFFF

、、、21对o点的力矩共同的作用效果。

70、刚体的平衡

将刚体看成一质点系,由于质点系的内力之和为零,内力矩之和也为零,显然,如果刚体在外力系

nFFF、、、21的作用下平衡,则应该有

01

=∑=niiF

（5.2.8

及01

=∑=niiJ

（5.2.9

其中,1J、2J

、…、nJ是各力F1,F2,…,Fn对刚体上任意一o点的力矩,即刚体平衡时,作用在刚

体上的合外力不但为零,并且对任意一点的合力矩也为零。

以后我们会看到,处于平衡状态的刚体,其质心作匀速直线运动,而整个刚体绕过质心的某一轴线作匀速转动。

§5.3刚体动力学基本方程与刚体的平动

10、刚体动力学基本方程

将刚体看成一质点系,其质心C相对于某各驻定惯性参照系的位置矢量为Cr

设作用在刚体上的外

力系中第i个力iF的作用点iP相对于质心的位矢为ir'

则可将各外力平移作用到质心C点,由质心运动

定理和对质心的角动量定理就有

∑==niiC

FdtdM1

2

2（5.3.1及

∑∑==⨯'='⨯'='n

iiiniiiiFrvmrdtddtLd1

1（（（5.3.2而对驻定惯性参照系原点o的角动量定理为

F图5.4,将各力平移作用到刚体上的一点,其作用效果就相当于作用在刚体该点上的共点力及对该点的力矩。

∑∑==⨯=⨯=n

iiiniiiiFrvmrdtddtLd1

1（（

（5.3.3

对驻定惯性参照系原点o的角动量为

∑∑∑'⨯'+⨯=⨯（（（iiiCiC

i

ii

vmrvmr

vmr

（5.3.4

即LLLC'+=

（5.3.5其中∑⨯=（iiivmrL

（5.3.6

为刚体相对于驻定惯性参照系总的角动量,

CCCiCCvMrvmrL

⨯=⨯=∑（（5.3.7

为把刚体的质量赋予质心随质心一起作平动运动时相对于驻定惯性参照系的角动量,一般称之为轨道角动量。

而

∑'⨯'='（iiivmrL

（5.3.8

为刚体相对于质心的角动量,一般称之为自旋角动量。

这样,刚体总的角动量就为其轨道角动量与自旋角动量之和。

由于刚体上任意两点间的距离为固定,因此刚体中成对的内力所做功的代数和为零。

而由质点系对驻定参照系和对质心系的动能定理,有分别可有

∑=⋅=dWrdFdTii

（5.3.9∑'='⋅='WdrdFTdii（5.3.10

如果作用在刚体上的外力系为保守力系,则刚体的机械能守恒,即有

VTE+=（为常量（5.3.11而外力系对刚体所做的功等于刚体势能的减少,即

dVdW-=（5.3.12以上（1~（3和（9~（12就是刚体动力学的基本方程。

20、刚体的平动

如图5.5,如果刚体在运动过程中,过其上任意两定点的直线均保持平行,则这样的运动称为刚体的平动。

作平动的刚体,虽然各点的位置都发生了变化,但刚体的位形不变。

这样,刚体上任意一点的轨迹都相同,都有相同的位移、速度和加速度。

换句话说,作平动的刚体,其上任意一点的运动,均可代表别的点的运动。

显然,方程（1为刚体的平动方程,而方程（2描述了刚体的转动。

一般刚体的运动是比较复杂的,但总可以看成是平动和转动的叠加。

刚体的转动情形有好几种,下面我们先只讨论其中的定轴转动。

图5.5,刚体上任意两定点的直线均保持平行。

§5.3刚体的定轴转动

10

、刚体的定轴转动若刚体运动时,是绕着一条固定不动的直线转动的,则这样的运动称为刚体的定轴转动,而这条固定不动的直线称为转动定轴。

如图5.6,若刚体绕固定的z轴以角速度ω转动,刚体上位置矢量为r的点P

就作圆周运动,其速率ωρ=v（5.3.1其速度v可表为

rv

⨯=ω（5.3.2其中,角速度ω作为矢量,其方向以右手螺旋定为沿z轴方向。

而P点的法向加速度实际上是指向轴的,通常称之为向轴加速度,其大小为

ρω2

=na（5.3.3写成矢量形式为

（ran

⨯⨯=ωω（5.3.4P点切向加速度为

βρω

ρ

==dt

dat（5.3.5若将角加速度β也表为矢量的形式dt

dω

则切向加速度的矢量形式为

rdt

dat

⨯=ω（5.3.6

当然,P点的总加速度就为

ntaaa

+=（5.3.720、定轴转动参照系与刚体的定轴转动

前面第三章我们已经提到,对以角速度k

ωω=作定轴转动的参照系内,如果观测到质点的位置矢量为rr'=

则质点原点的速度为

rvv

⨯+'=ω（5.3.8

其中kzjyixdt

rdv''+''+''='

='*（5.3.9为在S'系中测量到的质点的速度─相对速度。

而质点原点的加速度为

vrrdtdaa'⨯+⨯⨯+⨯+'=

ωωωω2（（5.3.10

其中,kzjyixdt

vda''+''+''='

='*（5.3.11为在S'系中测量到的质点的加速度─相对加速度。

图5.6,刚体绕着一条固定不动的直线转动。

如果将定轴转动参照系S'和一刚体固结在一起,则刚体和S'系一起作定轴转动,此时刚体上的某一点相对于S'的位置为固定,于是

kzjyixr''+''+''='

相对于S'系为常量,则有

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧=''+''+''='

='=''+''+''='

='00**kzjyixdt

vdakzjyixdt

rdv（5.3.12

故作定轴转动的刚体上位置矢量为kzjyixrr''+''+''='=

的点,其在S系中测得的速度和加速度就分

别为

rv

⨯=ω（5.3.13

和（rrdtda

⨯⨯+⨯=ωωω（5.3.14

其中rdt

d

⨯ω为转动切向加速度,而（r⨯⨯ωω为向轴加速度。

这可以和前面的结论比较,完全一样。

30、刚体作定轴转动时的动能-转动动能考虑刚体上r

处有一质量元dm,其速度为

（（jxiykzjyixkrv

+-=++⨯=⨯=ωωω

其动能就为dmyxvdmdT2222（2

1

21ω+=⋅⋅=

对整个刚体求和积分,就得到作定轴转动的刚体其动能为⎰+=

dmyxT（2

1222

ω（5.3.15若取⎰

+=dmyxIz（2

2（5.3.16则22

1

ωzIT=

（5.3.1740、刚体作定轴转动时的角动量

设刚体上r处质量元dm的运动速度为v

则质量元dm对原点o的角动量就为

dmkyxjyzixzdmrrvdmrLd]（[（（2

2++--=⨯⨯=⋅⨯=ωω

对整个刚体求和积分就得

⎰++--=dmkyxjyzixzL]（[2

2ω（5.3.18

其z轴分量

ωωzzIdmyxL=+=⎰

（2

2（5.3.19

50、刚体作定轴转动时的转动惯量在刚体作定轴转动时的动能

22

1

ωzIT=

和角动量L

的z轴分量

ωzzIL=

中,⎰

+=dmyxIz（2

2与角速度ω

无关,即与刚体的定轴转动无关,只与刚体的质量对定轴的分布有关,因此它是一个只依赖于刚体质量对定轴分布的常数。

由于（2

2

yx+是质量元dm对定轴转动半径ρ的平方,故该常数也可表为⎰⎰

=

+=dmdmyxIz2

2

2（ρ（5.3.20

现将刚体作定轴转动与质点运动的物理量作如下对照表的比较

通过比较,我们可以认定zI为刚体定轴转动的惯性量度,通常我们称之为刚体定轴转动的转动惯量。

在刚体的定轴转动中,其转动惯量有如下的定理和概念:

平行轴定理:

若刚体对过其质心C的某轴线的转动惯量为CI,则刚体对平行于该轴、相距为d的另一轴线的转动惯量为

2

mdIIC+=（5.3.21其中m为刚体的质量。

正交轴定理:

对一薄板状的刚体,作一坐标系使得xoy平面位于板面上,z轴垂直于板平面,则刚体对z轴的转动惯量等于对x轴及y轴的转动惯量之和,即

yxzIII+=（5.3.22合成法则:

若一刚性系统由n个刚体部分组成,各刚体部分对某一定轴的转动惯量分别为

nIII,,,21,则整个刚性系统对此定轴的转动惯量就为

∑=

i

I

I（5.3.23

回转半径:

设刚体对过其质心C的某轴线的转动惯量为CI,若能找到一线度量0R,使得2

0mRIC=（5.3.24则称0R为刚体对此轴线的回转半径。

60、常见的刚体作定轴转动时的转动惯量

1、质量为m,长为l的均质直杆,对过其中心垂直于直杆的轴线的转动惯量为

212

1

mlI=

（12、质量为m,长为l的均质直杆,对过其一端垂直于直杆的轴线的转动惯量为

23

1

mlI=（2

3、质量为m半径为R的均质圆薄板,对过其圆心垂直于板面的轴线的转动惯量为

2

2

1mRI=（3

4、质量为m半径为R的均质圆薄板,对过其一直径轴线的转动惯量为

2

4

1mRI=（4

5、质量为m半径为R的均质圆环,对过其圆心垂直于圆环平面的轴线的转动惯量为

2

mRI=（56、质量为m半径为R的均质圆球,对过其一直径轴线的转动惯量为

25

2

mRI=

（67、质量为m半径为R的均质圆球壳,对过其一直径轴线的转动惯量为

2

3

2mRI=（7

70、刚体作定轴转动时的角动量定理（含角动量守恒定律由刚体的角动量定理

∑∑==⨯=⨯=n

iiiniiiiFrvmrdtddtLd1

1（（

考虑刚体作定轴转动时z轴方向的角动量和力矩

⎪⎩

⎪⎨⎧⨯==∑=niz

iizzzFrJIL1（ω则在z轴方向上就有

zz

Jdt

dL=（5.3.25

即zz

Jdt

dI=ω

（5.3.26或zzJdt

dI=2

2ϕ

（5.3.27其中ϕ为刚体作定轴转动的角位置,有

⎪⎩⎪

⎨⎧==ϕωϕωdt

d（5.3.28

80、刚体作定轴转动时的动能定理

以刚体作定轴转动的角位移ϕd乘以（2式得ϕϕω

dJddt

dIzz

⋅=⋅即ϕωωdJdIzz⋅=⋅积分就得

⎰=-=-2

1

2

222122121ϕ

ϕϕωωdJIITTzzz（5.3.29

与质点运动的动能定理比较

⎰⋅=-=-rdFmvmvTT2

222122

121

rdF⋅为外力F对质点作用使之有rd

的位移时,外力F对质点所做的功;而ϕdJz就可理解为z轴方向

的外力矩zJ使刚体有ϕd的角位移时,外力矩zJ对刚体所做的功。

故（5式可阐述为对轴的外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的变化,这就是刚体定轴转动的动能定理。

若作用在刚体上的外力系为保守力系,则刚体作定轴转动的机械能守恒,有为常量

VIEz+=

22

1

ω（5.3.3090、轴上反力

设刚体作定轴转动时,轴线对刚体的反作用力为R,而别的外力称为主动力F

则由质心运动定理

有

RFdtdMC

+=2

2（5.3.31由此可看出,既便作用在刚体上的主动力为零,只要刚体的质心不在定轴轴线上,2

2dt

dC

总不为零,从而

定轴轴线对刚体的反作用力R

总操作不为零。

为使刚体不受主动力作用时能自由转动,不受定轴轴线对刚

体的反作用力,自然需要定轴轴线通过其质心,此时的转动轴称为自由转动轴。

实际上,刚体定轴轴线对刚体无反作用力的条件还要更复杂一点。

因为一般情况下,定轴轴线上不同的点对刚体均可能有反作用力,而轴上反力R

只是其合力。

合力为零,并不代表轴线上各点对刚体均无反作用力。

相应地,刚体的定轴轴线既便通过其质心,也不一定就是毫轴上反力的自由转动轴,本文只讨论到此。

§5.4刚体的平面平行运动

10、刚体的平面平行运动

如果刚体运动时,刚体上的任意一点始终在平行于某个固定平面的平面上,则刚体这样的运动称之为刚体的平面平行运动。

而研究刚体的平面平行运动,只需研究刚体上任一平行于某个固定平面的平面上的点的运动即可。

20、平面平行运动参照系与刚体的平面平行运动

同样由第三章非惯性系质点动力学我们知道,如果将平面平行运动参照系S'和一刚体固结在一起,则刚体和S'系一起作平面平行运动,此时刚体上的某一点相对于S'的位置为固定,于是

kzjyixr''+''+''='

（5.4.1

相对于S'系为常量,则有

rvv'⨯+=

ω0（5.4.2

及rrdt

daa'-'⨯+=

20ωω（5.4.3

其中0v和0a

分别为所研究的平行于某个固定平面的平面上选作为基点的S'系的原点o'的速度和加速度。

实际上基点不一定选在S'系的原点上,但0r和r'

得分别为基点和所研究的点相对于基点的位置矢量,而刚体的平面平行运动可看成是所研究的刚体平面绕过基点垂直于平面的轴线的转动和轴线作平动的合成。

30、转动瞬心

若作平面平行运动的刚体其角速度不为零,某一时刻所研究的刚体平面上某点的速度为零,则该点称之为该瞬间刚体平面平行运动的转动瞬心C,而该时刻,所研究的刚体平面上别的点的运动,看起来就象是绕该转动瞬心以角速度ω

作纯转动一样。

注意到0rrr

-=',故令（2为零,就可得到转动瞬心C在S系中的坐标

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=-=ωωy

CxCvyyvxx0000（5.4.4

同理,转动瞬心C在S'系中的坐标为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='-='''ωω

yCxCvyvx00（5.4.5

其中0

v'

为所选的基点在S'系内测得的速度。

如果0=ω,则可认为转动瞬心在无穷远处。

当所研究的刚体平面运动时,转动瞬心C的位置不断变化,在S系的xoy平面上将划出一条轨迹,

这条轨迹称之为空间极迹;同样转动瞬心C也将在S'系的yox'''平面上划出一条轨迹,

这条轨迹称之为本体极迹。

实际上,刚体平面平行运动可看成是其本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动而成。

（P198,例1

40

、刚体平面平行运动的动力学定理为了方便,选取刚体的质心C为基点,则由质心运动定理,可得到质心的运动方程

⎩⎨⎧==yC

xCFymFxm（5.4.6

而取过质心垂直于所研究的刚体平面的直线为转动轴z,则由对定轴的角动量定理有zz

Jdt

dI=ω

（5.4.7实际上,刚体要作平面平行运动肯定受到了某些限制,否则刚体就作别的运动了（如不受任何限制的一般自由运动,因此还存在某些具体的约束方程,这要视具体情况而定。

即刚体的平面平行运动除满足上述两个动力学方程外,还满足由具体要求确定的约束方程。

由科尼希定理可知,刚体的平面平行运动的动能可分为两部分,一为质心作平动的动能,一为刚体绕质心转动的动能。

如果作用在刚体上的外力系为保守力系,

则刚体的机械能守恒,有

为常量VImvEzC++=2

22

121ω（5.4.850

、圆轮的滚动

1、纯滚动,若圆轮在一固定平面上作无滑动的滚动,则这样的滚动称为纯滚动。

此时,轮缘与固定平面接触之点C无滑动的的现象。

由于固定平面是静止,与轮缘接触之点C也静止,所以轮缘上固定平面接触之点C的速度为

零,该点即为转动瞬心。

显然作纯滚动的圆轮就是一种刚体的平面平行运动,其本体极迹就是轮缘,而空间极迹就是那固定平面上的直线（如图5.8。

设轮心的速度为u,圆轮作纯滚动的角速度为ω,取所研究时刻S'系的坐标轴如图5.8,则