现代设计方法(机械优化设计)总复习.ppt

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机械优化设计总复习机械优化设计总复习现代设计方法复习现代设计方法复习王科社王科社北京信息科技大学机电工程学院北京信息科技大学机电工程学院1第一章第一章机械优化设计的基本概念和理论机械优化设计的基本概念和理论机械优化设计的定义：

机械优化设计的定义：

机械优化设计机械优化设计就是把机械设计与优化设计理论就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。

目标的最优设计方案和最佳设计参数。

2一、设计变量一、设计变量在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。

在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。

设计变量必须是设计变量必须是独立变量独立变量，即：

在一个优化设计问题中，即：

在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有任意两个设计变量之间没有函数关系函数关系。

二、设计空间二、设计空间在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。

可以证明，这个向量集合是一个向量集合。

可以证明，这个向量集合是一个向量空间向量空间，并且是，并且是一个一个欧氏空间欧氏空间。

一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空一个优化设计问题中，设计变量的个数，就是它的设计空间的间的维数维数。

三、目标函数三、目标函数优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为设计变量的函数，称为目标函数目标函数。

3四、设计约束四、设计约束优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。

是设计变量的函数。

约束条件的分类约束条件的分类

（1）根据约束的性质分）根据约束的性质分边界约束边界约束直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即性能约束性能约束由结构的某种性能或设计要求，推导出来由结构的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。

的约束条件。

i1,2,，n4u=1,2,，mv=1，2，pn

（2）根据约束条件的形式分）根据约束条件的形式分不等式约束不等式约束一个一个n维的优化设计问题中，等式约束的个数必须维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于少于n。

显式约束显式约束隐式约束隐式约束等式约束等式约束5五、可行域五、可行域可行域可行域:

在在设计空空间中，中，满足足所有约束条件的所有约束条件的所构成的所构成的空空间。

6六、优化设计的数学模型六、优化设计的数学模型

（一）优化设计的数学模型

（一）优化设计的数学模型7

（二）约束优化设计的最优解二）约束优化设计的最优解约束优化设计的最优解为使约束优化设计的最优解为使的的X*、f（X*）。

82-1目标函数的基本性质目标函数的基本性质一、函数的等值面（线）一、函数的等值面（线）函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质整体性质的。

的。

二、函数的最速下降方向二、函数的最速下降方向梯度梯度X1点的最速下降方向为点的最速下降方向为局部性质局部性质第二章第二章优化设计的数学基础优化设计的数学基础9用用Matlab可画出该可画出该函数的等直线。

函数的等直线。

10*用图解法求解要求掌握用图解法求解要求掌握11目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。

）为圆心的一组同心圆。

如不考虑约束，本例的无约束最优解是：

如不考虑约束，本例的无约束最优解是：

，约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。

图图图图1-91-912三三、函数的近似表达式、函数的近似表达式f（X）的近似表达式为的近似表达式为H（X（k）为为Hessian矩阵矩阵132-2函数的凸性函数的凸性1.凸集凸集*2.凸函数凸函数*如果如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；矩阵正定，为凸函数；二次函数二次函数14几个常用的梯度公式：

几个常用的梯度公式：

152-3优化问题的极值条件优化问题的极值条件*一、无约束优化问题的极值条件一、无约束优化问题的极值条件1.F（x）在在处取得极值，其必要条件是处取得极值，其必要条件是:

即在极值点处函数的梯度为即在极值点处函数的梯度为n维零向量。

维零向量。

162.处取得极值充分条件处取得极值充分条件l海色（海色（Hessian）矩阵矩阵正定正定正定正定，即各阶主，即各阶主子式均大于零，则子式均大于零，则X*为为极小点极小点极小点极小点。

l海色（海色（Hessian）矩阵矩阵负定负定负定负定，即各阶主，即各阶主子式负、正相间子式负、正相间，则，则X*为为极大点极大点极大点极大点。

171.约束优化设计的最优点在可行域约束优化设计的最优点在可行域D中中最优点是一个内点，其最优解条件与无约束最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；优化设计的最优解条件相同；*二、约束优化问题的极值条件二、约束优化问题的极值条件182.约束优化设计的最优点在可行域约束优化设计的最优点在可行域D的边界上的边界上设设X（k）点有适时约束点有适时约束*库恩库恩塔克条件塔克条件（K-T条件）：

条件）：

19K-TK-T条件条件是多元函数取得约束极值的是多元函数取得约束极值的必必要条件要条件,以用来作为约束极值的判断条件，以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。

又可以来直接求解较简单的约束优化问题。

对于目标函数和约束函数都是凸函数对于目标函数和约束函数都是凸函数的情况，的情况，符合符合K-TK-T条件的点一定是全局最条件的点一定是全局最优点优点。

这种情况这种情况K-TK-T条件即为多元函数取条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。

得约束极值的充分必要条件。

20第三章第三章一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法*黄金分割法黄金分割法1.在寻找一个区间在寻找一个区间Xa,Xb，使函数使函数f（X）在该区间的极小点在该区间的极小点X*Xa,Xb。

2.用黄金分割法在区间用黄金分割法在区间Xa,Xb中寻找中寻找X*。

Xa，X1，X2，Xb如何消去子区间？

如何消去子区间？

f（X1）f（X2），消去消去Xa，X1，保留保留X1，Xb21第三章第三章一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法确定最优解所在区间的进退法确定最优解所在区间的进退法一维搜索的插值类方法一维搜索的插值类方法1.1.牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法2.2.抛物线法（二次插值法）抛物线法（二次插值法）抛物线法（二次插值法）抛物线法（二次插值法）22*4-1梯度法梯度法负梯度方向负梯度方向是函数最速下降方向。

是函数最速下降方向。

梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即k=1,2,n第第四四章章无约束最优化方法无约束最优化方法23*在最速下降法中，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直数梯度相互垂直。

而搜。

而搜索方向就是负梯度方向，索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向因此相邻两个搜索方向互相垂直。

互相垂直。

图图4-2最速下降法的搜索路径最速下降法的搜索路径244-2牛顿法牛顿法牛顿法的迭代公式牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向牛顿方向254-3变尺度法变尺度法（DFP法法）H（0）=I，变尺度法本质上是共轭方向法。

变尺度法本质上是共轭方向法。

264-4共轭方向法共轭方向法一一一、共轭方向一、共轭方向定义：

定义：

设设A为为nn阶实对称正定矩阵，有一组阶实对称正定矩阵，有一组非零非零的的n维向量维向量d1、d2、dn，若若满足满足diTAdj则称向量系则称向量系di（i=1,2,n）对于矩阵对于矩阵A共轭共轭。

27*二、鲍威尔二、鲍威尔（Powell）法法鲍威尔法原理，鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？

如何构成共轭方向？

能具体运用！

能具体运用！

28*4-5单纯形方法单纯形方法单纯形思想、原理；单纯形思想、原理；四种操作：

四种操作：

反射、扩张、收缩和缩边反射、扩张、收缩和缩边。

29第五章第五章约束优化设计约束优化设计5-1关于设计约束的若干概念关于设计约束的若干概念可行域可行域所有满足全部约束条件的点的集合。

所有满足全部约束条件的点的集合。

30可行点可行点可行域中的点，即满足所有约束条件的点。

可行域中的点，即满足所有约束条件的点。

边界点边界点在可行域边界上的点。

在可行域边界上的点。

若有点若有点Xk使得使得则则Xk为一个边界点。

为一个边界点。

内点内点除边界点以外的所有可行点。

除边界点以外的所有可行点。

若有点若有点Xk满足满足则则Xk为一个内点。

为一个内点。

31非非可行域可行域可行域以外的区域。

可行域以外的区域。

非可行点非可行点非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。

非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。

适时约束适时约束若有点若有点Xk使使某个不等式约束某个不等式约束gu（X）0的等号的等号成立，即成立，即则称则称gi（X）0为点为点Xk的一个适时约束。

的一个适时约束。

等式约束始终是适时约束。

等式约束始终是适时约束。

32*可行下降方向可行下降方向1.可行方向可行方向定义定义设点设点，若对于方向，若对于方向S，存在任意小正数存在任意小正数0，使得使得则称则称S为为X（k）点的一个可行方向。

点的一个可行方向。

i.X（k）为可行域中的一个内点，为可行域中的一个内点，X（k）的任何方向均为可行方向。

的任何方向均为可行方向。

ii.X（k）为可行域中的一个边界点，设为可行域中的一个边界点，设X（k）在约束面在约束面gi（X）=0上上。

332.可行下降方向可行下降方向定义定义设设S是是的一个可行方向，即的一个可行方向，即若对于上式中的若对于上式中的X（k）、X（k+1）存在存在则称则称d为为X（k）点的一个可行下降方向。

点的一个可行下降方向。

i.X（k）为可行域中的一个内点为可行域中的一个内点34ii.X（k）点是点是可行域中若干约束面的交点可行域中若干约束面的交点设设X（k）点在约束面点在约束面gj（X）=0，j=1,2,J若若d是是X（k）点的一个可行下降方向，则应有点的一个可行下降方向，则应有可行：

可行：

下降：

下降：

35*5-2约束优化设计的复合形法约束优化设计的复合形法对约束优化问题对约束优化问题1.确定初始复合形确定初始复合形选择选择（n+1K2nn+1K2n）顶点，这顶点，这k个顶点必须是个顶点必须是可行点可行点。

2.确定搜索方向确定搜索方向i.计算计算k个顶点的函数值，设个顶点的函数值，设记记最坏点最坏点X

（1）为为X（H）次坏点次坏点X

（2）为为X（SH）最好点最好点X（k）为为X（L）36ii.求求出出X

（2）、X（3）、X（k-1）、X（k）的点集的中心的点集的中心（几何中心几何中心）X（S）iii.以以X（H）指向指向X（S）的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点点X（R）。

iv.若若f（X（R）f（X（H），则以则以X（R）代替代替X（H），构成新的复合形。

构成新的复合形。

371.内点法构造惩罚项的方法内点法构造惩罚项的方法对于约束优化问题对于约束优化问题内点法的惩罚函数为内点法的惩罚函数为*5-3惩罚函数法惩罚函数法或或382.内点法初始点的选择内点法初始点的选择内点法要求初始点内点法要求初始点X（0）是一个内点。

是一个内点。

3.惩罚因子惩罚因子r（k）的选择的选择39二二、外点外点惩罚函数法惩罚函数法外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原外点法是从可行域的外部构造一个点序列去