高中数学新设计同步 必修3 人教B版 第三章 概 率311312.docx

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高中数学新设计同步必修3人教B版第三章概率311312

3.1　事件与概率

3.1.1　随机现象

3.1.2　事件与基本事件空间

学习目标

　1.了解随机现象、基本事件和基本事件空间的概念.2.在实际问题中，能正确的求出事件包含的基本事件的个数和基本事件空间中基本事件的总数．

知识点一　随机现象

思考1　随机现象是否为一种杂乱无章的现象？

答案　随机现象不是一种杂乱无章的现象，是有一定规律可循的．

思考2　自然界和人类社会里存在着必然现象和随机现象，下列几个现象是必然现象吗？

为什么？

（1）把一石块抛向空中，它会掉到地面上来；

（2）我们生活的地球，每天都在绕太阳转动；

（3）一个人随着岁月的消逝，一定会衰老、死亡．

答案　都是必然现象．因为这些现象是在一定条件下必然要发生的现象．

梳理　必然现象与随机现象

现象

条件

特征

必然现象

在一定条件下

在一定条件下必然发生某种结果的现象

随机现象

当在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现

知识点二　事件与基本事件空间

思考　事件的分类是确定的吗？

答案　事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．

梳理　1.试验及试验的结果

名称

定义

试验

把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验

试验的结果

把观察结果或实验结果称为试验的结果

2.三种事件的概念

事

件

必然事件

在同样的条件下重复进行试验时，一定会发生的结果

不可能事件

在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果

随机事件

在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果

3.基本事件、基本事件空间

名称

定义

基本事件

试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘

基本事件空间

所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.

1．任何一个事件都是一个基本事件．（　×　）

2．事件：

某同学竞选学生会主席成功是随机事件．（　√　）

类型一　随机现象及判断

例1　判断下列现象是必然现象还是随机现象．

（1）掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；

（2）某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；

（3）标准大气压下，把水加热至100℃沸腾；

（4）骑车经过十字路口时，信号灯的颜色．

解　

（1）随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．

（2）随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．

（3）必然现象．因为标准大气压下，水加热至100℃时沸腾这个结果一定会发生，是确定的．

（4）随机现象．因为信号灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．

反思与感悟　判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．

跟踪训练1　下列现象是随机现象的是（　　）

①当x是实数时，x－|x|＝2；

②某班一次数学测试，及格率低于75%；

③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；

④体育彩票某期的特等奖号码．

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

答案　C

解析　由随机现象的定义知②③④正确．

类型二　确定基本事件空间

例2　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．

（1）写出这个试验的基本事件空间；

（2）求这个试验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？

解　

（1）用类似上面一先一后掷两枚硬币时基本事件的记法，这个试验的基本事件空间Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．

（2）基本事件的总数是8.

（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：

（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）．

反思与感悟　当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数．在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏．

跟踪训练2　1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球．

（1）写出这个试验的基本事件空间；

（2）求这个试验的基本事件总数；

（3）写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件中所包含的基本事件．

解　

（1）Ω＝{（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）}．

（2）基本事件总数为10.

（3）“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件为（1,5），（2,4）.

1．下列事件中的随机事件为（　　）

A．若a，b，c都是实数，则a（bc）＝（ab）c

B．没有水和空气，人也可以生存下去

C．抛掷一枚硬币，反面向上

D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

答案　C

解析　A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．

2．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（　　）

A．3件都是正品B．至少有一件是次品

C．3件都是次品D．至少有一件是正品

答案　D

解析　12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.

3．下列事件中，是随机事件的是________．（填序号）

①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②打开电视机，正好在播新闻；③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任摸4个，全部都是黄球；④下周六是晴天．

答案　②④

解析　①是必然事件，③是不可能事件，②④是随机事件．

4．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的基本事件空间为Ω＝________.

答案　{ab，ac，ad，bc，bd，cd}

解析　含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；

不含a，b，含c的有cd.∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．

5．从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，求该试验的基本事件空间．

解　画出树形图，如图：

由图可知基本事件空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,

324,341,342,412,413,421,423,431,432}．

1．事件

2．掌握基本事件与基本事件空间的概念．

3．在写基本事件空间时，要明确事件发生的条件，按一定次序列举，做到不重、不漏．

一、选择题

1．有下列事件：

①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；

②异性电荷相互吸引；

③在标准大气压下，水在1℃结冰；

④买了一注彩票就得了特等奖．

其中是随机事件的有（　　）

A．①②B．①④C．①③④D．②④

答案　B

解析　①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．

2．下列事件中，不可能事件是（　　）

A．三角形的内角和为180°

B．a⊥α，b⊥α，a∥b

C．锐角三角形中两内角和小于90°

D．三角形中任意两边之和大于第三边

答案　C

解析　锐角三角形中两内角和大于90°.

3．从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是（　　）

A．必然事件B．不可能事件

C．随机事件D．以上选项均不正确

答案　C

解析　从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.

4．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案　C

解析　该生选报的所有可能情况是：

{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．

5．下列现象是必然现象的是（　　）

A．某路口单位时间内通过的车辆数

B．n边形的内角和为（n－2）·180°

C．某同学在期末考试中数学成绩高于60分

D．一名篮球运动员每场比赛所得的分数

答案　B

解析　A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象．

6．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有（　　）

A．7个B．8个C．9个D．10个

答案　C

解析　“点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.

7．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是（　　）

A．必然事件B．随机事件

C．不可能事件D．无法确定

答案　B

解析　抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．

二、填空题

8．投掷两枚骰子，点数之和为8所含的基本事件有____种．

答案　5

解析　基本事件为（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）．

9．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的基本事件空间为________________，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为________．

答案　Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　5

10．写出下列试验的基本事件空间：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）______________；

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数____________．

答案　

（1）Ω＝{胜，平，负}　

（2）Ω＝{0,1,2,3,4}

三、解答题

11．指出下列试验的结果：

（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；

（2）从1,3,6,10四个数中任取两个数（不重复）作差．

解　

（1）结果：

红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．

（2）结果：

1－3＝－2,3－1＝2，

1－6＝－5,3－6＝－3，

1－10＝－9,3－10＝－7，

6－1＝5,10－1＝9，

6－3＝3,10－3＝7，

6－10＝－4,10－6＝4.

即试验的结果为：

－2,2，－5，－3，－9，－7,5,9,3,7，－4，4.

12．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．

（1）写出该试验的基本事件空间；

（2）事件“三人出拳相同”包含的基本事件有哪些？

解　以（J，S，B）表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布．

（1）Ω＝{（J，J，J），（J，J，S），（J，S，J），（S，J，J），（J，J，B），（J，B，J），（B，J，J），（J，S，S），（S，J，S），（S，S，J），（J，B，B），（B，J，B），（B，B，J），（S，S，S），（S，S，B），（S，B，S），（B，S，S），（B，B，S），（B，S，B），（S，B，B），（B，B，B），（J，S，B），（J，B，S），（S，J，B），（S，B，J），（B，J，S），（B，S，J）}．

（2）事件“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：

（J，J，J），（S，S，S），（B，B，B）．

13．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．

（1）写出该事件的基本事件空间Ω；

（2）写出事件A、事件B包含的基本事件；

（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

解　

（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．

（2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；

B＝{S7，S8，S9，S10}．

（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45（种）．

四、探究与拓展

14．在10个学生中，男生有x人．现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：

①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为（　　）

A．5B．6

C．3或4D．5或6

答案　C

解析　由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4.故选C.

15．从1,2,3,5中任取两个数字作为直线Ax＋By＝0中的A，B.

（1）写出这个试验的基本事件空间；

（2）求这个试验基本事件的总数；

（3）写出“这条直线的斜率大于－1”这一事件所包含的基本事件．

解　

（1）从1,2,3,5中任取两个数字构成有序实数对（A，B），其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，这个试验的基本事件空间Ω＝{（1,2），（1,3），（1,5），（2,1），（2,3），（2,5），（3,1），（3,2），（3,5），（5,1），（5,2），（5,3）}．

（2）这个试验基本事件的总数是12.

（13）直线Ax＋By＝0的斜率为－

，若－

＞－1，则

＜1，因为A，B均为正数，所以A＜B.因此，“这条直线的斜率大于－1”这一事件包含以下6个基本事件：

（1,2），（1,3），（1,5），（2,3），（2,5），（3,5）．