机械优化设计课件第五章.ppt

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5-15-1概述概述约束最优化问题的数学模型是约束最优化问题的数学模型是s.t.（5-1）机械优化设计问题和一般工程实际优化问题绝机械优化设计问题和一般工程实际优化问题绝大多数属于约束非线性规划问题。

根据求解的方式大多数属于约束非线性规划问题。

根据求解的方式不同，可分为直接法和间接法两大类。

不同，可分为直接法和间接法两大类。

第五章第五章约束最优化方法约束最优化方法直接法直接法是直接用原来的目标函数限定在可行域内进是直接用原来的目标函数限定在可行域内进行搜索，且在搜索过程中一步一步地降低目标函数行搜索，且在搜索过程中一步一步地降低目标函数值，直到求出在可行域内的一个最优解，如随机方值，直到求出在可行域内的一个最优解，如随机方向法等。

向法等。

间接法间接法是将约束最优化问题，通过变换转为无约束是将约束最优化问题，通过变换转为无约束最优化问题，然后采用无约束最优化方法得出最优最优化问题，然后采用无约束最优化方法得出最优解，如惩罚函数法等。

解，如惩罚函数法等。

5-25-2惩罚函数法惩罚函数法一、基本原理一、基本原理目的目的：

将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。

：

将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。

方法方法：

以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新：

以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数的目标函数（x,r（x,r11,r,r22），成为无约束优化问题，成为无约束优化问题。

通。

通过不断调整加权因子，产生一系列过不断调整加权因子，产生一系列函数的极小点序列函数的极小点序列xx（k）（k）*（r（r11（k）（k）,r,r22（k）（k）k=0,1,2）k=0,1,2，逐渐收敛到，逐渐收敛到原目标函数原目标函数的约束最优解的约束最优解。

新目标函数：

新目标函数：

新目标函数：

新目标函数：

其中，其中，惩罚项：

惩罚项：

惩罚项的值恒为非负。

惩罚项的值恒为非负。

加权因子，即惩罚因子加权因子，即惩罚因子：

r1,r2函数的极小点序列函数的极小点序列x（k）*（r1（k）,r2（k）k=0,1,2其收敛必须满足：

其收敛必须满足：

无约束优化问题：

无约束优化问题：

由此表明惩罚函数法是用惩罚函数由此表明惩罚函数法是用惩罚函数去逼近原目标函数去逼近原目标函数f（x）的一种函数逼近过程。

其的一种函数逼近过程。

其总体求解过程是按一定的法则不断调整罚因子总体求解过程是按一定的法则不断调整罚因子的值，构成一系列的无约束优化问题，的值，构成一系列的无约束优化问题，求得无约束最优点序列求得无约束最优点序列，用这个最，用这个最优点序列不断逼近原约束目标函数的最优点优点序列不断逼近原约束目标函数的最优点。

因此，惩罚函数罚又称序列无约束最小化方。

因此，惩罚函数罚又称序列无约束最小化方法，简称法，简称SUMT法。

法。

根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数法又分为数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法外点惩罚函数法、内点惩罚函数法和混合惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。

三种。

一一.基本思想：

基本思想：

内点法将新目标函数内点法将新目标函数（x,r）构筑在构筑在可行域可行域DD内内，随着惩罚因子，随着惩罚因子rr（k）（k）的不断的不断递减递减，生成一系列新目，生成一系列新目标函数标函数（x（xkk,r,r（k）（k），在可行域，在可行域内内逐步迭代，产生的极值点逐步迭代，产生的极值点xxkk*（r*（r（k）（k）序列从可行域序列从可行域内内部趋向原目标函数部趋向原目标函数的约束最优点的约束最优点x*x*。

内点惩罚函数。

内点惩罚函数法只能用于求解不等式约束的优化法只能用于求解不等式约束的优化问题。

问题。

X1*X2*X*例例：

求下述约束优化问题的最优点。

：

求下述约束优化问题的最优点。

min.f（x）=xxR1s.tg（x）=1-x0内点惩罚函数法内点惩罚函数法内点法构造的惩罚函数形式为内点法构造的惩罚函数形式为或或式中，惩罚因子式中，惩罚因子是一个递减的正值数列，即是一个递减的正值数列，即降低系数降低系数cc：

0c10c0，使使得得惩惩罚罚函函数数大大于于原原目目标标函函数数，这这就就构构成成对对不不满满足足约约束束条条件件时时的的一一种种惩惩罚罚。

当当迭迭代代点点离离约约束束边边界界愈愈远远，惩惩罚罚项项的的值值愈愈大大，惩惩罚罚愈愈重重；但但当当迭迭代代点点不不断断接接近近约约束束边边界界和和等等式式约约束束曲曲面面时时，惩惩罚罚项项的的值值减减小小，且且趋趋近近于于0，惩惩罚罚项项的的作作用用逐逐渐渐消消失，迭代点也就趋近于约束边界上的最优点。

失，迭代点也就趋近于约束边界上的最优点。

对对应应于于不不等等式式约约束束函函数数的的惩惩罚罚项项，其中其中例例5-2用外点法求问题用外点法求问题的约束最优解。

的约束最优解。

对于任意给定的惩罚因子对于任意给定的惩罚因子，函数，函数为凸函数。

用解析法求函数为凸函数。

用解析法求函数的极小值，的极小值，即令即令，得方程组，得方程组解解用用外外点法求点法求解解该问题，首先按式（，首先按式（5-55-5）构）构造造外外点点惩罚函数函数联立求解得联立求解得图图5-3为当为当r=0.3,1.5,7.5时，惩罚函数时，惩罚函数的的等等值值线线图图。

从从图图中中可可以以清清楚楚地地看看出出，当当r逐逐渐增大，直至趋近于渐增大，直至趋近于时，无约束极值点时，无约束极值点的的序序列列，将将在在可可行行域域外外逐逐步步逼逼近近原原问问题题的的约约束束最优解。

最优解。

图图5-3外点惩罚函数的极小点向约束最优点逼近外点惩罚函数的极小点向约束最优点逼近通通过过本本例例的的分分析析，可可以以更更加加形形象象地地理理解解外外点点法法是是通通过过调调整整一一系系列列递递增增的的正正值值罚罚因因子子，相相应应地地求求罚罚函函数数的的无无约约束束极极值值来来逼逼近近约约束束问问题题最最优优解解的的一一种种方方法。

法。

几点说明几点说明初初始始罚罚因因子子和和递递增增系系数数c的的选选取取应应恰恰当当。

通通常取常取c=510；取值过大，会使惩罚函数取值过大，会使惩罚函数的的等等值值线线变变形形或或偏偏心心，导导致致求求解解无无约约束束优优化化问问题题困困难难；取取值值过过小小，势势必必增增加加迭迭代代次次数数。

许许多多计计算算表表明明，取取=1，c=10常常常常可可以以得得到到满满意意的的结结果。

果。

5.35.3随机方向搜索法随机方向搜索法一一.基本思想：

基本思想：

随机产生初始点，随机产生搜索方向随机产生初始点，随机产生搜索方向SS（k）（k），进行搜索。

，进行搜索。

但要确保：

但要确保：

新迭代点在可行域中；新迭代点在可行域中；目标函数值的下降性。

目标函数值的下降性。

二二.随机数的产生：

随机数的产生：

1.伪随机数伪随机数：

用数学模型，从计算机（的随机数发生器）中产生的随机数。

用数学模型，从计算机（的随机数发生器）中产生的随机数。

2.随机数的特性随机数的特性有较好的概率统计特性有较好的概率统计特性抽样的随机性；抽样的随机性；分布的均匀性；分布的均匀性；前后数之间的独立性；前后数之间的独立性；周期性长。

周期性长。

给出给出随机数随机数t0=2z1;用递推公式：

用递推公式：

ti=ti-1（modM），产生，产生随机数列随机数列t0,t1,t2其中：

其中：

乘乘子；子；modM整除整除M取取余余数；数；ti=ti-1乘以乘以后除以后除以M所得的余数。

所得的余数。

3.乘同余法：

乘同余法：

4.产生任意区间内的伪随机数列产生任意区间内的伪随机数列：

三三.随机产生初始点：

随机产生初始点：

估计设计变量的上、下限：

估计设计变量的上、下限：

xilxixiu，i=1,2,n；在区间在区间0,1中产生伪随机数列中产生伪随机数列ri，xi（0）=xil+ri（xiu-xil）；判断是否判断是否gu（xi（0）0；若满足，则；若满足，则x（0）=xi（0）若不满足，则转向若不满足，则转向。

四四.随机产生搜索方向：

随机产生搜索方向：

x（0）x（m）x

（1）x

（2）x（j）x（l）H（0）五五.步骤：

步骤：

X（k+1）均是，转判2六六.方法评价：

方法评价：

优点：

优点：

l对目标函数无型态要求；对目标函数无型态要求；l收敛快（当收敛快（当mm足够大时）；足够大时）；l不受维数影响，维数愈高，愈体现优点。

不受维数影响，维数愈高，愈体现优点。

缺点：

缺点：

l对于严重非线性函数，只能得近似解；对于严重非线性函数，只能得近似解；l当当mm不够大时，解的近似程度大；不够大时，解的近似程度大；l对于非凸函数，有可能收敛于局部解。

对于非凸函数，有可能收敛于局部解。