数学七年级上册.docx

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数学七年级上册

 有理数

1．有理数的分类 

不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：

①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：

{负分数正分数

分数负整数正整数整数有理数0

îíìî

íì 

②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：

{{负分数负整数

负有理数正分数

正整数

正有理数有理数0î

íì 

注：

①“0”也是自然数。

②“0”的特殊性。

2．把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number）。

所有正数组

成的集合，叫做正数集合；所有负数组成的集合叫做负数集合；所有整数组成的集合叫整数集合；所有分数组成的集合叫分数集合；所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

注：

要正确判断一个数属于哪一类，首先要弄清分类的标准。

要特别注意“0”不是正数，但是整数。

在数学里，“正”和“整”不能通用，是有区别的，“正”是相对于“负”来说的，“整”是相对于分数而言的。

3．数轴的画法：

师生共同总结数轴的画法步骤：

第一步：

画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；（相当于温度计上的0℃。

） 

第二步：

规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。

相反的方向就是负方向；（相当于温度计0℃以上为正，0℃以下为负。

） 

第三步：

适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。

（相当于温度计上1℃占1小格的长度。

） 

在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，„，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，„。

4．相反数 

代数定义：

只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

 几何定义：

在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

说明：

“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“―6是相反数”。

“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。

这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于它本身的唯一的数。

注：

1．只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；  2．相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的； 

3．正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“―”的功能是对一个数的符号予以改变。

     5．绝对值 

1．绝对值的非负性：

由绝对值的定义可知：

不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（通常也称非负数），绝对值具有非负性，即|a|≥0 

2．规律 

（1）. 一个正数的绝对值是它本身； 

（2）. 0的绝对值是0； 

（3）. 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：

①若a＞0，则|a|=a；            ②若a＜0，则|a|=–a； ③若a=0，则|a|=0；                 或写成：

）0（）0（）0（0<=>ïî

ï

íì-=aaaaaa 3．一般法则：

（1） 负数小于0，0小于正数，负数小于正数； 

（2） 两个正数，应用已有的方法比较； （3） 两个负数，绝对值大的反而小. 

注：

1．对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

2．求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。

6．有理数加减法 

有理数的加法法则：

1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 

3. 互为相反数的两个数相加得0； 4. 一个数同0相加，仍得这个数. 

常见技巧：

（加法） 

（1）凑零凑整：

互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加； 

（2）同号集中：

按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和； （3）同分母结合：

把分母相同或容易通分的结合起来； 

（4）带分数拆开：

计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。

注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。

 有理数的减法法则：

（有理数减法法则:

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

） 

1.由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决． 

2．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的。

3．有理数的加减法可统一成加法。

4．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。

但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。

7．有理数的乘法 

1．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 

任何数同0相乘，都得0。

2．把一个因数 换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数. 

乘法法则：

乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

即 a b = b a 

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

即（ab）c=a（bc） 

乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再

把积相加。

即a（b＋c）＝ab＋ac. 根据乘法交换律和结合律可以推出：

1.三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘. 

2.一般地，我们有几个：

不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 3. 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.      

 8．有理数的除法 

1. 倒数的概念：

乘积是1的两个数互为倒数 

2. 有理数除法则：

除以一个数等于乘上这个数的倒数. 注意：

0不能作除数.  

3.因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：

 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.        9．有理数的乘方 

1．求几个相同因数的积的运算，叫做乘方（involution）， 

乘方的结果叫做幂（power）。

在an中，a叫作底数，n叫做指数， an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可 读作a的n次幂。

 2．法则：

正数的任何次幂都是正数； 

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

即：

当a＞0时，an

＞0（n是正整数）；       当a<0时，ïîïíì）

（0）

n（0是正整数是正整数naannpf； 

当a=0时，an=0（n是正整数）         （以上为有理数乘方运算的符号法则） a2n=（―a）2n（n是正整数）；1

2-na

=―（―a）2n-1（n是正整数）；a2n≥0（a是有理数，n是正整数）。

10．有理数的混合运算 

有理数混合运算的运算法则：

①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②同级运算，按照从左至右的顺序进行； 

③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

  注意：

①加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方（今后将会学到）叫做第三级运算。

②可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便。

 同时还要要注意三点：

①小括号先算； 

②进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法； ③同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。

整式的加减

【本将教学内容】 

整式的基本概念、加减运算、代数式求值等 整式知识点 

1．单项式：

在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 

2．单项式的系数与次数：

单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 

3．多项式：

几个单项式的和叫多项式. 

4．多项式的项数与次数：

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 

注意：

（若a、b、c、p、q是常数）ax2

+bx+c和x2

+px+q是常见的两个二次三项式. 5．整式：

凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：

多项式

单项式整式 . 

6．同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：

系数相加，字母与字母的指数不变. 

8．去（添）括号法则：

去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 

9．整式的加减：

整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：

多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 

11. 列代数式 

列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 

12.代数式的值 

根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所

得的结果是代数式的值. 

13. 列代数式要注意 

 ①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略； ②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数

一元一次方程

一元一次方程知识要点解析 

一、一元一次方程构成要素：

1、 是等式； 

2、 含有未知数，且只能是一个； 

3、 未知数的次数有且为“1”（一次整式），且次数不为“0”； 

二、一元一次方程的基本形式：

    ax  = b 

三、一元方程的解：

              使方程中等号左右两边相等的未知数的值 四、解方程的理论依据：

等式的基本性质：

性质

（1）：

等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等． 

用式子形式表示为：

如果a＝b，那么a±c=b±c； 

性质

（2）：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 

用式子形式表示为：

如果a=b那么a×c＝b×c，a÷c＝b÷c（c≠0）； 

五、解一元一次方程的基本步骤：

变形步骤 

具 体 方 法 

变 形 根 据 

注 意 事 项 

去分母 

    方程两边都乘以各

个分母的最小公倍数 

等式性质2 

  1．不能漏乘不含分母的项； 

  2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号 

去括号 

    先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律、去括号法则   1．分配律应满足分配到每一项   2．注意符号，特别是去掉括号 移  项     把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边 

等式性质1 

  1．移项要变号； 

  2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边 

合并同 类  项    把方程中的同类项分别合并，化成“bax”的形式（0a） 

合并同类项法则     合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变 

未知数的系数化成“1” 

    方程两边同除以未知数的系数a，得

a

bx 

等式性质2     分子、分母不能颠倒 

注意：

我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤） 地解方程，又要善于认真观察

方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，随机应变（灵活打乱步骤）解方程，能达到事半功倍的效果。

对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

 解一元一次方程常用的技巧有：

1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行 2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母 3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数 4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形 

六、实际问题与一元一次方程 

1、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：

1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系） 2）根据数量关系与解题需要设出未知数，建立方程； 3）解方程； 

4） 检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．并作答 

2、用一元一次方程解决实际问题的典型类型 

1）数字问题：

①：

数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数

字为c则这个三位数表示为：

abc， 10010abcabc 

（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9） ②：

用一个字母表示连续的自然数、奇数、偶数等规律数 

2）和、差、倍、分问题：

关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，哪个量比哪个量„„” 

3）工程问题：

工作总量＝工作效率×工作时间，注意产品配套问题； 4）行程问题：

路程＝速度×时间 

5）利润问题：

商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价 

商品售价=商品成本价×（1+利润率） 

6）利息问题：

①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的单位时间数叫做期数，利息与本金的比叫做利率．利息的20%付利息税．②利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率（20%）． 

7）几何问题：

必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式，注意等积变形；     8）优化方案问题 

9）浓度问题：

溶液×浓度=溶质 10）盈亏问题：

关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量 11）年龄问题：

抓住人与人的岁数是同时增长的 

12）增长率问题：

原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量 

七、、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结） 

1）建模思想：

通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立方程的思想 2）方程思想：

用方程解决实际问题的思想就是方程思想.  

3）化归思想：

解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.  

4）数形结合思想：

在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.  

5）分类思想：

在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.

几何图形初步

第一部分    基础知识要点 

一、几何图形 

（一） 

形、圆等、线段、三角形、四边平面图形：

直线、射线圆柱、圆锥、球体等

旋转体棱柱、棱锥等多面体立体图形几何图形:

:

（二）立体图形转化为平面图形（视图与展开图） 

常见立体图形的三视图与展开图 

名称 

图形 三视图 展开图（一般不只一种） 

四棱锥 

长方体 

圆锥 

BAIDU_CLB_fillSlot（'920314'）;

二、点、线、面、体 

（一）点是构成图形的基本元素。

（二）1、点动成线（直线、曲线）；          线动成面（平面、曲面）；          面动成体。

      2、面与面相交的地方是      ；线与线相交的地方是      。

三、直线、射线、线段 1、三者的区别与联系 名称 

图形 

表示方法 

延伸方向 端点个数 能否度量 联系 直线 

1.用两个大写字母表示； 2.用一个小写字母表示。

 直线AB（或BA）； 直线l 2 

0 

否 

射线与线段都是直线的一部分 

射线 

 射线OA； 射线l 1 1 否 

线段 

线段AB（或BA）； 线段a 

0 2 能 

（几何中，一般用大写字母表示“点”，用小写字母表示“线”。

）   

圆柱 

球体 

无 

BAIDU_CLB_fillSlot（'920966'）;

2、点与直线及直线与直线的位置 

图形 

语言描述 

点A在直线l上（或直线l经过点A）  

点P在直线l外（或直线l不经过点P）  

直线a、b相交于点O 3、两点之间的距离：

连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离。

二、角 

1、角的定义 

（1）第一定义：

由有公共端点的两条        组成的图形叫做角。

公共端点叫做角的      ，这两条射线叫做角的      。

（2）第二定义：

将一条射线绕它的        旋转所形成的图形叫做角。

射线开始位置叫做角的        ，终止位置叫做角的        。

始边与终边             的角叫做平角；始边与终边        的角叫做周角。

 2、角的表示方法（必须以符号“∠”（读作“角”）带头） 

序

号 

表示方法 

适用条件 要求 

示例 

1 

用三个大写字母表示 顶点及边上的字母已经标明的任意角 

顶点字母必须写在中间 

∠AOB或∠BOA或∠O 

2 

用一个端点字母表示 

顶点处只有一个角 

BAIDU_CLB_fillSlot（'920970'）;

3 

用一个小写的希腊字母表示 

用来表示相邻两条射线组成的角 

在靠近顶点处用小弧线将角的两边连起来 

∠α 

4 

用一个阿拉伯数字表示 

∠1 

3、角的度量单位（度、分、秒） 

1°=60′   1′=60″   1周角=360°   1平角=180°   1直角=90° 角度的记法：

（1）单一单位度记录，如：

30°，45.5°，51.8° 

（2）度分秒混合记录，如：

15°20′，36°48′，50°30′18″ 4、余角与补角 

（1）如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角，简称这两个角互余。

（如果∠1＋∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角，即∠1与∠2互余。

） 

（2）如果两个角的和等于180°（平角），就称这两个角互为补角，简称这两个角互补。

（如果∠1＋∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角，即∠1与∠2互补。

） 5、方位角 

（1）以正北或正南为基准方向，观察点为端点，将基准方向看作始边，要指示的方向看作终边，这样形成的角称为方位角。

一般方位角小于直角。

（2）报告方位角时一般说成“南偏东（西）多少度”或“北偏东（西）多少度”。

例如：

如图，射线OA表示南偏西30°方向，射线OB表示北偏东75°方向等。

其中比较特殊的四个方位分别是：

东北（北偏东45°），东南（南偏东45°），西北（北偏西45°），西南（南偏西45°）。

五、线段与角的对比  

度量工具 

大小比较 

和差 

等分 

线段 刻度尺 

1.度量法：

量出线段长度再比较大小 2.叠合法：

让它们有一个端点重合叠放在一起，比较另一个端点的位置 

AC=AB＋BC 

AB=AC－BC 

BC=AC－AB 

①M在AB上，且AM=BM，则点M是AB

的中点 

②点M是AB的中点，

则AM=BM=AB2

1

角 

量角器 

1.度量法：

量出角的度数再比较大小 

2.叠合法 

 ∠AOC=∠AOB＋∠BOC ∠AOB=∠AOC－∠BOC ∠BOC=∠AOC－

∠AOB  

①OP在∠AOB内部，

且∠AOP=∠BOP，则

OP是∠AOB的平分线 ②OP是∠AOB的平分

线，则∠AOP=∠BOP= 

AOB2

1 

六、基本事实和重要结论 

1、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

   简单说成：

两点确定一条直线。

 2、两点的所有连线中，线段最短。

    简单说成：

两点之间，线段最短。

3、同角（等角）的余角相等。

   如果∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°，那么∠2=∠3。

   如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，且∠1=∠2，那么∠3=∠4。

 4、同角（等角）的补角相等。

   如果∠1＋∠2=180°，∠1＋∠3=180°，那么∠2=∠3。

   如果∠1＋∠2=180°，∠3＋∠4=180°，且∠1=∠2，那么∠3=∠4。