倍角公式汇总.docx
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倍角公式汇总
倍角公式
北京二十二中学李向东
教学目标
1.使学生能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.使学生能够正确运用二倍角公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值，证明三角恒等式，并推导三倍角的正弦、余弦、正切公式.
3.通过以上公式的推导，学生能够了解各公式间的内在联系，从而培养学生推导公式的能力及辩证唯物主义观点.
教学重点与难点
教学重点是二倍角公式的推导、记忆及成立的条件.教学难点是灵活理解“二倍角”的含义，并熟练地解决有关问题.
教学过程设计
师：
前几节课我们学习了两角和与差的三角函数，有几个非常重要的公式，请同学们回忆一下.
生:
sin（a?
+=sina•cosj0+cosct•
sinfo:
-^）=sino:
*cos^-cosot•si面.
+=cosa•smoj*sin^.
COS（a-8）—COSO!
*COSjS+S111Q*Si面.
tana+tanA
tan（Q+B）=.
1-tance*tan^
tana-tan^
tan（a~ff）=t,
1+tana**
师：
说得很准确.上面这几个公式随着我们学习的深入，大家会愈发体会到它们的重要性，因为它们是本章各类公式的基础.这章公式虽然较多，但只要掌握了它们之间的内在联系.就能既快又准地记住.以上六个公式的内在联系可以用下表来表示：
（教师在画上表图时，一定要强调公式成立的条件，对不能用公式的问题要转化用其它方法解决，例如诱导公式等.）
师：
下面请同学们共同思考一个问题，如何用sina,cosa,tana来表示sin2a,cos2a,tan2a?
生：
可以利用前面学过的两角和与差的三角函数公式，当两个角相等，即a=。
时，问题就解决了，例如：
sin2a=sin（也+a）=sin也-cosa+cosa-sin也=2sin也-cosa.
师：
想得非常好.这正是老师多次向同学们强调的学好数学的八字方针，即“联想、
对比、转化、应用”.在这个题目中的具体应用.这正是我们今天要学习的三角函数中很重要的一节的内容——二倍角的正弦、余弦、正切.
（教师板书课题，并请另一位学生叙述二倍角正弦、余弦、正切公式，用红粉笔写在黑板上.）
S2a：
sin2a=2sina-cosa.
C2a：
cos2a=cos2a-sin2
…c2tatLO!
:
tan2°=5-
师：
由推导过程可知，二倍角的三角函数公式是两角和的三角函数公式的特殊情况，大家在记忆时应注意公式间的联系.另外，由同角的三角函数关系sin2a+cos2a=1,公
式C2a又可以变形为：
cos2a=2cos2a—1
2
或cos2a=1—2sin
（要求学生在笔记本上推导过程.）
师：
有了这组二倍角三角函数公式，我们是否就可以放心大胆地应用呢?
生：
不行.还应考虑公式成立的条件.
师：
非常好.我们在前面的两角和与差的三角函数公式中也遇到了类似的问题，请同学们联想前面的知识，讨论一下二倍角三角函数公式成立的条件.（这也是本节的教
学重点.）
（给些时间请学生讨论，得结论.）
生：
在二倍角的正弦和余弦公式中，角a没有限制，即a为任意角.但在二倍角
正切公式中，只有当。
£曰且5,：
+虻兀和a尹f+丸，既Z时，公式才能成立，否则公式不成立一
师：
你能阐述一下你的理由吗？
生^当CL=—+kTTfkCZ时，tanCl是不存在的】同理‘当口=云+万卜兀，止
€Z时，tan2a是不存在的.因此以上两种情况均不能使用二倍角正切公式.
师：
说得非常好.想得全面，说得充分.但我还有一个问题希望同学们帮助解决，
无"I=_弥
即：
当a=-4-^k7T,时，tan2a不存在自不必说；而当a=-+kHsk£z
时，tana不存在，但tan2a是存在的，刚才同学说不能用二倍角正切公式解决，那又如何处理呢？
生：
这种情况，可以改用诱导公式
%tan2CL=tan2（—+k兀）=tan（兀+2k兀）=tan兀=0.
师：
考虑问题要周全，处理问题要讲究方法，要学会作多面手，善于运用所学的知识，用不同的方法来解决问题.通过我们的讨论，使二倍角公式趋于完善，大家运用起来得心应手，请大家将二倍角三角函数公式成立的条件写在公式后面.
（教师用红粉笔写在黑板上.）
师：
在同学们熟悉了二倍角公式的基础上，我还有几点说明希望同学们注意.
第一，公式是用单角三角函数来表达二倍角的三角函数.
第二，要灵活理解“二倍角”的含义.二倍角公式不仅限于
2a是a的二倍的形
式，其它如4Q是2。
的二倍，：
是普的二倍，3。
是菖的二倍等，所以这些均可以
应用二倍角公式.
mi,a?
a
例sin^=2an—cos—+
aa.2a
cos—=cos——sin—
244
=2cos—一1
A
=1-2霜？
4
at
a汕*
七=一无
1-tan3—
6
第三，一般情况下sin2a才2sina,当且仅当a=k兀，k€Z时，sin2a=2sina成立.同理，一般情况下，cos2a丰2cosa,tan2a丰2tana.我留一个课下思考题，请同学们研究在什么条件下它们才能成立.下面请同学们看投影.
（事先将例题在幻灯片上写好，这样节省时间，提高课堂密度.
例1不查表，求下列函数值:
（l）2sin67c30,*cos67°30^
W客2X
（2）cos--sin-
停1）
，小2tan22•罗（3\-tan322.5fl；
（4）nnl5s*cosl5';
25
（5）l-2sin3—
6
5
2tan—7c
1-tan—%
6
（可将⑴〜（3）作为第1组，请学生起立直接口答；（4）〜（6）作为第2组，在笔记本上写出求值过程.注意每一步均要体现运用公式的变形过程，不要跳步.）
（
（1）〜（3）题过程略，（4）〜（6）题学生做完后起立说，教师板书.）
师：
要熟悉二倍角公式，尤其是多种形式的两个角的倍数关系，还要注意公式的正用与反用，注意恒等变形.
生：
sinl5o*匚。
$侦=—（2血15。
*cosl5fl）=—sm3（T=—*—=—.22224
生：
第（5）题有两种方法：
解法1l-2sin3cos^%-cos（3w+^
633
25解法21-2an2—%=1-2an6
K1cos—=-
32
1-2,少=!
生：
第（6）题也有两种变形方法,
5
2tan—*
Wfei—
1-tan—
6
_5
2tan—7T雌2——二%冗1-—6
5
2tan7
1-tan—t
6
-x
_2tan—
6.冗伺=-tan—=-<3.r2兀3
1Tar/—
6
师：
上面两个题两位同学做得都很好，我们在做题时要讲究一题多解，多题一解，多解归一.要做到这些是很不容易的，要求大家在平时作业中，课堂练习中有意识地培养锻炼自己，这也是注重知识间联系，真正做到将知识融会贯通的一条重要途径.
师：
（板书）
5莒
例2己知ana=—,兀），求$m2Q,匚。
如。
，tan2CL之值-
师：
题目中对角济有范围限制，做题中应注意什么？
仅知sin济值，欲求二倍角正弦、余弦、正切，先需要知道什么？
请大家带着问题想一想.
生：
角a有范围限制，应考虑三角函数的符号；知道sina值，还需求出COSa,tana才能完成题目要求.
师：
你说我写.请全体同学看看他的解题过程，有问题可以指出来.
5x
生*因为皿a=而，住£（5，兀），所以
I-2-12
85。
=一sina=-—,
sinaf5
tanQ==
Cosa12
因此sin2a=2sina-cosa
512120
13七13?
169
cos2a=cosa;-sina
=（-凿_（&2=需，
2tana
tan2ct=—
1-tana
5
2•（—径）_12。
-y①
师：
首先肯定最终的结果是正确的.但过程有没有值得商榷的地方?
生：
我认为tan。
没有必要求出来.因为囱翌哄，这样可以简化求解过程cos2a
生：
我想cos2a=cos2a—sin2a，走这条路固然可以，但还是用cos2a=1—2sin2a
较好，这样使用已知的原始数据，减少了错误的可能性.
师：
两位同学说得非常好.答案正确是我们最低的要求，对自己标准要高一些，要精益求精，我们师生以此共勉吧！
我这里有一道证明题，请全体同学充分发挥你的聪明才智，战胜它，并力争一题多解.
师：
（板书）
例3饪明：
1+sinzp+cos2p
（给学生一些时间思考.）
师：
请大家想想，到现在为止，证明三角恒等式我们大致有几种方法？
生：
从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切割为弦；还可以利用分析综合法解决.有时几种方法会同时使用.
师：
概括得很好.有没有补充？
生：
今天学习了二倍角公式，我认为可以化倍角为单角，这也是证明三角恒等式的一种方法.
sin2B+（1—cos20）
师：
非常好.他很善于运用所学的新知识，我们大家要向他学习.下面希望同学踊跃发言，把你的方法展示给大家.
牛.~fr—
泗2。
+（1&。
德日）
2sm^*cos8+（1—1+2sin28）
2sin8♦cos8+（1+2cos28T）_2sn^（cos0+sin
2cos0（cos0+sinff）
=tan8=右
生、我和前面同学的方法略有区别.
左sin2^+cos2+sin2^+an3&-cos30sin%+cos20+sin28+&-sin2d
_sin2M2sin'Ssin2&+2cosa32si（sin0+costf）2cos^（an8+cos6）
=tan8=右•
师：
两位同学在前期的化简方法不同，变形都很巧妙.同学们从中是否体会到了数字“T的妙用？
它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用,
在今后的证题中，万万不要忽视它.
生：
老师，我对“1”的妙用深有体会，下面我说说我的证明过程.
（1+血2日）-cos25
（1+血2日）+cos2^
_（血％+cos36）+2sind•cosd-（cos36-an20）
（sina0+cos20）+2an@*+（cos36一an2
+cos?
）-（cos9+suiB）（cos&一sin&）
（戒nfi+cosfl）2+（cos&+sinS）（cos^-sin8）
（sinH++cos®+-cos0）
（sinH+cos0）（反口。
+cqsO+cos0-sin
（smB+cosS）,2sind
（sin0+cos0）•2cos0
=tan9二右.
教师：
思路很清晰.以上几种方法大致遵循以下规律：
首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“T的妙用，还望同学们仔细体会.在这道题中通常用的几种方法大家都见到了，我想留一个思考题：
能够将右端的正切化成弦，再用分析法，能够证出该题.课下请同学们思考.倍角公式不限于二倍角，凡用单角的三角函数来表示的三倍角，四倍角等的三角恒等式，都叫做倍角公式.下面我们来试着推导三倍角的正弦、余弦、正切公式.
师：
（板书）
例4
（1）用sin0表示sin30;
⑵用cos。
表示cos30.
（给一点时间让学生思考.）
师：
面对一道新题，怎么想？
从哪里入手？
怎么变形？
能否利用所学的知识解决它？
其实就是要学会“联想”，不要害怕因此而耽误时间，久而久之，你们倘若真正养成了会想问题的好习惯，你的数学水平，不，应该是整体各科的水平，就会上升一个大台阶，对你们将来步入社会，继续发展是大有好处的.
生：
可以将三倍角先转化成二倍角和单角，再将二倍角转化成单角，这样问题就可以解决了.
师：
思路是对的，能否具体说一下?
生：
sin30=sin（20+0）
=sin20-cos。
+cos2。
-sin0
=2sin0-cos。
-cos。
+（1—2sin2e）-sin0.
（停顿.问他为什么用cos2。
=1-2sin2e，而不用另外两种形式.）
（续上）=2sin0-cos2e+sin0—2sin30
=2sin0（1—sin2e）+sin0—2sin30
=3sin0—4sin3e.
所以sin3。
=3sin0—4sin3e.
师：
推导得非常漂亮，每一步变形均很清楚，格式很标准.下面请一位同学上黑板推导三倍角的余弦公式.
生：
cos3。
=cos（20+0）
=cos20-cos0—sin20-sin0
=（2cos20—1）cos0—2sin20-cos0
=2cos39—cos。
—2（1—cos?
0）•cos9
=4cos30—3cose.
所以cos3。
=4cos3e—3cos0.
师：
推导正确.上面我们是由和角公式与二倍角公式结合使用，推出结论，哪位同学还有其它方法？
生：
老师，我只用了和角公式就直接推出来了，以三倍角正弦为例.
sin（a+3+y）
=sin[（a+3）+y]
=sin（a+（3）-cosy+cos（a+3）,siny
=[sina-cos0+cosa-sin3]-cosy+[cosa-cos（3—sina-sin3]
-siny
=sina-cos3-cosy+cosa-sin3-cosy+cosa-cos3-sinY
—sina-sin。
-siny.
当a=3=Y=0时，即得：
sin30=sin0-cos20+sin0-cos20+sin0-cos20—sin30
=3sin0-cos20—sin30
=3sin0（1—sin2e）—sin30
=3sin0—4sin3e.
用此方法，同样可以推出三倍角余弦公式.
师：
刚才我发现有的同学在兴奋地点头，继而又微微摇头，有什么见解？
生：
方法2同样是一种推导方法，但与方法1比较，还是麻烦些，所以我认为，求
其它倍角公式时，还是把和角公式与倍角公式结合起来用比较简便.
师：
说得很有道理.我们要力争对每种方法作深入的探讨，这样将加深对题目本质的理解，加深对每种解法本质的理解.加深对所用概念、公式和相互联系的理解.如果将这些解法相互比较，进行抽象，还会在方法上有所创造，提高解题能力，那就更有价值了.
师：
（板书）.用tan0表示tan30.
这个作为思考题，同学们回家推导一下.我们回顾一下所学过的内容.
Sg
以"代臼
%
E=0（
Sa缶
**■
相除相除相除
T一以"代0
—*
（在复习两角和与差的三角函数公式的表图上，扩充倍角公式，使学生认清它们之间的内在联系.）
作业：
课本P219练习第3,4,5,7题.
补充：
不查表，用倍角公式求sin18°的值.
课堂教学设计说明
这份教案写的是倍角公式一堂课的实录，以问答的形式，详细地叙述出来.如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程即可：
1.复习两角和与差的三角函数公式.
2.引入并推导二倍角公式及其变形.
3.讨论二倍角公式成立的条件.
4.强调灵活理解二倍角的含义.
5.例1、例2是熟悉公式，强调书写格式.
6.例3、例4是强调一题多解，从而上升至类比和化归的思想.
7.小结，作业.
我为什么要采取上面几个环节呢？
目前数学教材是从少数公理、定理出发，通过演绎，将知识展开.于是过程1,3,4可省略，直接给出二倍角公式，继而大量练题.教材总是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学生面前，新旧知识的衔接点直接给出，学生只要记住公式就行.因此这种做法的优点是直截了当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的认识过程，把知识或方法不是作为“过程”，而是作为“结果”直接抛给学
生，长此以往，越“抛”越多，学生头脑中很难形成一个有效的认识结构.反之，插入环节1,3,4,使学生真正掌握二倍角公式的本质，知其然，还知其所以然，就为今后继续学习三角公式打下良好的基础，也为构造全章三角公式的内在联系图创造了条件，这也是学好这部分知识的关键.
为了调动学生的积极性，发挥学生的主体作用，从一上课开始，到推导公式，几道例题始终把解决问题的机会留给学生.在每一部分又分别强调学法指导，一题多解，善于联想，举一反三，善于总结，整个教学过程又是在教师的指导下进行的，使得教师的主导作用和学生的主体作用十分融洽.学生不会因为感到枯燥而厌学，反而会全身心地
投入到课堂上，我们的教学目的也就达到了.
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