第1篇第2讲命题及其关系充分条件与必要条.docx
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第1篇第2讲命题及其关系充分条件与必要条
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[最新考纲]
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
辨析感悟
1.对四种命题的认识
(1)(2012·湖南卷改编)命题“α=
,则tanα=1”的否命
是“若α=
,则tanα≠1”.(×)
(2)若原命题“若p,则q”为真,则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.(×)
(3)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是“若1≤x≤2,则x2-3x+2≤0”.(√)
2.对充分条件、必要条件的理解
(4)给定两个命题p,q.若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.(√)
(5)“(2x-1)x=0”的充分不必要条件是“x=0”.(√)
(6)在△ABC中,“A=60°”是“cosA=
”的充分不必要条件.(×)
(7)(2013·浙江卷改编)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=
”的充分必要条件.(×)
[感悟·提升]
1.一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念.否命题同时否定原命题的条件和结论,命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变),如
(1).
2.三个防范 一是分清命题中的条件和结论,并搞清楚其中的关键词,如“≠”与“=”,“>”与“≤”,“且”与“或”,“是”与“不是”,“都不是”与“至少一个是”,“都是”与“不都是”等互为否定,如(3);
二是弄清先后顺序:
“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A,且A
B,如(5);而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B
A,如(6)、(7);
三是注意题中的大前提,如(6).
考点一 命题及其相互关系
【例1】已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ).
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.∴命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
答案 D
规律方法
(1)在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件与结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题.
(2)当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变.
(3)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例.
(4)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】(2013·长春二模)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( ).
A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0
B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
解析 “若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.
答案 D
考点二 充分条件、必要条件的判断
【例2】
(1)(2013·安徽卷)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2013·济南模拟)如果a=(1,k),b=(k,4),那么“a∥b”是“k=-2”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析
(1)f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,即a=0或
<0,也就是a≤0,故“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.
(2)因为a∥b,所以1×4-k2=0,即4=k2,所以k=±2.所以“a∥b”是“k=-2”的必要不充分条件.
答案
(1)C
(2)B
规律方法判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:
一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.
学生用书第5页
【训练2】(2013·北京卷)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由sinφ=0可得φ=kπ(k∈Z),此为曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件,故“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分不必要条件.
答案 A
考点三 充分条件、必要条件的探求
【例3】
(1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠∅”的充要条件是( ).
A.a>-2B.a≤-2C.a>-1D.a≥-1
(2)函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是( ).
A.a≤0或a>1B.0<a<
C.
<a<1D.a<0
审题路线
(1)A∩B≠∅⇔A与B有交集.
(2)先求函数f(x)有且只有一个零点的充要条件M⇒由选项推出M成立的充分条件⇒结合选项可得结论
解析
(1)A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},如图所示:
∵A∩B≠∅,∴a>-1.
(2)因为f(x)=
有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a>1.由选项可知,使“a≤0或a>1”成立的充分条件为选项D.
答案
(1)C
(2)D
规律方法有关探求充要条件的选择题,破题关键是:
首先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选项;其次,利用以小推大的技巧,即可得结论.
【训练3】“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( ).
A.-1<k<3B.-1≤k≤3
C.0<k<3D.k<-1或k>3
解析 “直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点”等价于
<
,解得k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0<k<3.
答案 C
1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提.
2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.
3.命题的充要关系的判断方法
(1)定义法:
直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:
利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:
若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
思想方法1——等价转化思想在充要条件关系中的应用
【典例】已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
解 法一 由q:
x2-2x+1-m2≤0,
得1-m≤x≤1+m,
∴綈q:
A={x|x>1+m或x<1-m,m>0},
由p:
≤2,
解得-2≤x≤10,
∴綈p:
B={x|x>10或x<-2}.
∵綈p是綈q的必要而不充分条件.
∴AB,∴
或
即m≥9或m>9.∴m≥9.
故实数m的取值范围是[9,+∞).
法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件,
∴p是q的充分而不必要条件,
由q:
x2-2x+1-m2≤0,
得1-m≤x≤1+m,
∴q:
Q={x|1-m≤x≤1+m},
由p:
≤2,
解得-2≤x≤10,
∴p:
P={x|-2≤x≤10}.
∵p是q的充分而不必要条件,
∴P
Q,∴
或
即m≥9或m>9.∴m≥9.
故实数m的取值范围是[9,+∞).
[反思感悟]本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.
【自主体验】
1.(2013·山东卷)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( ).
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由q⇒綈p且綈p
q可得p⇒綈q且綈q
p,所以p是綈q的充分而不必要条件.
答案 A
2.已知命题p:
x2+2x-3>0;命题q:
x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( ).
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]
解析 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
对应学生用书P221
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(2012·重庆卷)命题“若p,则q”的逆命题是( ).
A.若q,则pB.若綈p,则綈qC.若綈q,则綈pD.若p,则綈q
解析 根据原命题与逆命题的关系可得:
“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”,故选A.
答案 A
2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( ).
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
解析 同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题.
答案 A
3.(2014·浙江部分重点中学3月调研)设a∈R,则“a=2”是“直线y=-ax+2与y=
x-1垂直”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若直线y=-ax+2与y=
x-1垂直,则有-a×
=-1,即a2=4,所以a=±2.所以“a=2”是“直线y=-ax+2与y=
x-1垂直”的充分不必要条件,选A.
答案 A
4.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ).
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
解析 由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.
答案 C
5.(2014·台州三校联考)不等式x-
>0成立的一个充分不必要条件是( ).
A.-1<x<0或x>1B.x<-1或0<x<1
C.x>-1D.x>1
解析 画出直线y=x与双曲线y=
的图象(图略),两图象的交点为(1,1),(-1,-1),依图知x-
>0时,-1<x<0或x>1,显然x>1⇒x-
>0;但x-
>0
x>1.
答案 D
二、填空题
6.(2013·盐城调研)“m<
”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件.
解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,即m≤
.
答案 充分不必要
7.(2014·扬州模拟)下列四个说法:
①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;
②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题;
③“x>2”是“
<
”的充分不必要条件;
④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.
其中说法不正确的序号是________.
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故①错误;②此命题的逆否命题为“设a,b∈R,若a=3且b=3,则a+b=6”,此命题为真命题,所以原命题也是真命题,②错误;③
<
,则
-
=
<0,解得x<0或x>2,所以“x>2”是“
<
”的充分不必要条件,故③正确;④否命题和逆命题是互为逆否命题,真假性相同,故④正确.
答案 ①②
8.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是________.
解析 当c2=0时,原命题不正确,故其逆否命题也不正确;逆命题为“若ac2>bc2,则a>b”,逆命题正确,则否命题也正确.
答案 2
三、解答题
9.判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.
解 原命题:
若a≥0,则x2+x-a=0有实根.
逆否命题:
若x2+x-a=0无实根,则a<0.
判断如下:
∵x2+x-a=0无实根,
∴Δ=1+4a<0,∴a<-
<0.
∴“若x2+x-a=0无实根,则a<0”为真命题.
10.已知p:
x2-8x-20≤0,q:
x2-2x+1-a2≤0(a>0).若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解 p:
x2-8x-20≤0⇔-2≤x≤10,
q:
x2-2x+1-a2≤0⇔1-a≤x≤1+a.
∵p⇒q,q
p,
∴{x|-2≤x≤10}
{x|1-a≤x≤1+a}.
故有
且两个等号不同时成立,解得a≥9.
因此,所求实数a的取值范围是[9,+∞).
能力提升题组
(建议用时:
25分钟)
一、选择题
1.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( ).
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析 否命题既否定题设又否定结论,故选B.
答案 B
2.(2014·深圳二次调研)已知x∈R,则x≥1是|x+1|+|x-1|=2|x|的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若x≥1,则|x+1|+|x-1|=x+1+x-1=2x,2|x|=2x,故充分性成立;必要性的判断不易切入,可以考虑采用特值法,取x=-1,则|x+1|+|x-1|=2,2|x|=2,但是-1不满足x≥1,故必要性不成立,故选A.
答案 A
二、填空题
3.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
解析 已知方程有根,由判别式Δ=16-4n≥0,解得n≤4,又n∈N*,逐个分析,当n=1,2时,方程没有整数根;而当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.
答案 3或4
三、解答题
4.设命题p:
|4x-3|≤1;命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解 ∵綈p是綈q的必要不充分条件,∴綈q⇒綈p,且綈p
綈q等价于p⇒q,且q
p.
记p:
A={x||4x-3|≤1}=
,q:
B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0|={x|a≤x≤a+1},
则
从而
且两个等号不同时成立,解得0≤a≤
.
故所求实数a的取值范围是
.
学生用书第6页