【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。
为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log、log、log三项之间的联系。
在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。
另外,本题还要求对数运算十分熟练。
一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。
例5.已知=,且+=(②式),求的值。
【解】设==k,则sinθ=kx,cosθ=ky,且sinθ+cosθ=k(x+y)=1,代入②式得:
+==即:
+=
设=t,则t+=,解得:
t=3或∴=±或±
【另解】由==tgθ,将等式②两边同时除以,再表示成含tgθ的式子:
1+tgθ==tgθ,设tgθ=t,则3t—10t+3=0,
∴t=3或,解得=±或±。
【注】第一种解法由=而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。
第二种解法将已知变形为=,不难发现进行结果为tgθ,再进行换元和变形。
两种解法要求代数变形比较熟练。
在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。
例6.实数x、y满足+=1,若x+y-k>0恒成立,求k的范围。
【分析】由已知条件+=1,可以发现它与a+b=1有相似之处,于是实施三角换元。
【解】由+=1,设=cosθ,=sinθ,
即:
代入不等式x+y-k>0得:
3cosθ+4sinθ-k>0,即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。
一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:
在平面直角坐标系,不等式ax+by+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图形问题:
椭圆上的点始终位于平面上x+y-k>0的区域。
即当直线x+y-k=0在与椭圆下部相切的切线之下时。
当直线与椭圆相切时,方程组有相等的一组实数解,消元后由△=0可求得k=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组:
1.已知f(x)=lgx(x>0),则f(4)的值为_____。
A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg4
2.函数y=(x+1)+2的单调增区间是______。
A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]
3.设等差数列{a}的公差d=,且S=145,则a+a+a+……+a的值为_____。
A.85B.72.5C.60D.52.5
4.已知x+4y=4x,则x+y的范围是_________________。
5.已知a≥0,b≥0,a+b=1,则+的范围是____________。
6.不等式>ax+的解集是(4,b),则a=________,b=_______。
7.函数y=2x+的值域是________________。
8.在等比数列{a}中,a+a+…+a=2,a+a+…+a=12,求a+a+…+a。
9.实数m在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sinx+2mcosx+4m-1<0恒成立。
10.已知矩形ABCD,顶点C(4,4),A点在曲线x+y=2(x>0,y>0)上移动,且AB、AD始终平行x轴、y轴,求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:
对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。
使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:
①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程;
③利用定义本身的属性列方程;
④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:
首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组:
1.设f(x)=+m,f(x)的反函数f(x)=nx-5,那么m、n的值依次为_____。
A.,-2B.-,2C.,2D.-,-2
2.二次不等式ax+bx+2>0的解集是(-,),则a+b的值是_____。
A.10B.-10C.14D.-14
3.在(1-x)(1+x)的展开式中,x的系数是_____。
A.-297B.-252C.297D.207
4.函数y=a-bcos3x(b<0)的最大值为,最小值为-,则y=-4asin3bx的最小正周期是_____。
5.与直线L:
2x+3y+5=0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
6.与双曲线x-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
【简解】1小题:
由f(x)=+m求出f(x)=2x-2m,比较系数易求,选C;
2小题:
由不等式解集(-,),可知-、是方程ax+bx+2=0的两根,代入两根,列出关于系数a、b的方程组,易求得a+b,选D;
3小题:
分析x的系数由C与(-1)C两项组成,相加后得x的系数,选D;
4小题:
由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值,再代入求得答案;
5小题:
设直线L’方程2x+3y+c=0,点A(1,-4)代入求得C=10,即得2x+3y+10=0;
6小题:
设双曲线方程x-=λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程-=1。
Ⅱ、示范性题组:
例1.已知函数y=的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际