小学四年级奥数教程-盈亏问题.ppt

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把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。

如果物体还有剩余，就叫盈；每次都能正好分完。

如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。

凡是研究盈和亏这如果物体不够分，少了，叫亏。

凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

一类算法的应用题就叫盈亏问题。

解盈亏问题的公式解盈亏问题的公式【一盈一亏的解法一盈一亏的解法】（盈数盈数+亏数亏数）两次每人分配数的差两次每人分配数的差【双盈的解法双盈的解法】（大盈大盈-小盈小盈）两次每人分配数的差两次每人分配数的差【双亏的解法双亏的解法】（大亏大亏-小亏小亏）两次每人分配数的差两次每人分配数的差由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两关键是确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的公式，先求得人数公式，先求得人数（不是物数不是物数），再求出物数；如果两，再求出物数；如果两次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差除以两次分配数之差。

有些应用题，从表面看起来似除以两次分配数之差。

有些应用题，从表面看起来似乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后，乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后，竟然可变成盈亏问题进行解答。

必须转化题目中条件，竟然可变成盈亏问题进行解答。

必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从“包含包含”入手比较困难，可以间接从其反面入手比较困难，可以间接从其反面“不包含不包含”去想就会比较容易。

去想就会比较容易。

例例11：

小朋友分糖果，若每人分小朋友分糖果，若每人分44粒则多粒则多99粒；若每人粒；若每人分分55粒则少粒则少66粒。

问：

有多少个小朋友分多少粒糖？

粒。

问：

有多少个小朋友分多少粒糖？

由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。

比较两种分配方案，第一种方案每人分是不变的。

比较两种分配方案，第一种方案每人分44粒就多粒就多99粒，第二种方案每人分粒，第二种方案每人分55粒就少粒就少66粒，两种粒，两种不同的方案一多一少相差不同的方案一多一少相差99661515（粒）。

相差的（粒）。

相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分分44粒，第二种方案每人分粒，第二种方案每人分55粒，两次分配数之差为粒，两次分配数之差为554411（粒）。

（粒）。

每人相差每人相差11粒，多少人相差粒，多少人相差1515粒呢？

由此求出粒呢？

由此求出小朋友的人数为小朋友的人数为1515111515（人），糖果的粒数为（人），糖果的粒数为441515996969（粒）。

（粒）。

解：

（解：

（9966）（5-45-4）1515（人），（人），441515996969（粒）。

（粒）。

答：

有答：

有1515个小朋友，分个小朋友，分6969粒糖。

粒糖。

例例22：

小朋友分糖果，若每人分小朋友分糖果，若每人分33粒则剩粒则剩22粒；若每人粒；若每人分分55粒则少粒则少66粒。

问：

有多少个小朋友？

多少粒糖果粒。

问：

有多少个小朋友？

多少粒糖果？

本题与例本题与例11基本相同，本题中两次分配数之差基本相同，本题中两次分配数之差是是5-35-322（粒）（粒）,两种分配方案的盈数与亏数之和两种分配方案的盈数与亏数之和为为226=86=8（粒）。

仿照例（粒）。

仿照例11的解法即可。

的解法即可。

解：

（解：

（6622）（4-24-2）44（人），（人），3344221414（粒）。

（粒）。

由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。

解题的关键在于确定两次分配数之差西的总数量。

解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：

题的公式：

分配总人数分配总人数=盈亏总额盈亏总额两次分配数之差。

两次分配数之差。

需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一是一“盈盈”一一“亏亏”，也会出现两，也会出现两“盈盈”、两、两“亏亏”、一、一“不盈不亏不盈不亏”一一“盈盈”或或“亏亏”等情况。

等情况。

例例33：

小朋友分糖果，每人分小朋友分糖果，每人分1010粒，正好分完；若每粒，正好分完；若每人分人分1616粒，则有粒，则有33个小朋友分不到糖果。

问：

有多个小朋友分不到糖果。

问：

有多少粒糖果？

少粒糖果？

第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏1616334848（粒），所以盈亏总额是（粒），所以盈亏总额是0048=4848=48（粒），而（粒），而两次分配数之差是两次分配数之差是16-1016-1066（粒）。

由盈亏问题的（粒）。

由盈亏问题的公式得公式得有小朋友（有小朋友（00161633）（16-1016-10）88（人），（人），有糖有糖1010888080（粒）。

（粒）。

例例44：

一批小朋友去买东西，若每人出一批小朋友去买东西，若每人出1010元则多元则多88元；元；若每人出若每人出77元则少元则少44元。

问：

有多少个小朋友？

东西元。

问：

有多少个小朋友？

东西的价格是多少？

的价格是多少？

两种购物方案的盈亏总额是两种购物方案的盈亏总额是88441212（元），（元），两次分配数之差是两次分配数之差是10-710-733（元）。

由公式得到（元）。

由公式得到小朋友的人数（小朋友的人数（8844）（10-710-7）44（人），（人），东西的价格是东西的价格是10104-84-83232（元）。

（元）。

例例55：

顾老师到新华书店去买书，若买顾老师到新华书店去买书，若买55本则多本则多33元；元；若买若买77本则少本则少1.81.8元。

这本书的单价是多少？

顾老师元。

这本书的单价是多少？

顾老师共带了多少元钱？

共带了多少元钱？

买买55本多本多33元，买元，买77本少本少1.81.8元。

盈亏总额为元。

盈亏总额为331.8=4.81.8=4.8（元），这（元），这4.84.8元刚好可以买元刚好可以买7-57-522（本）（本）书，因此每本书书，因此每本书4.84.82=2.42=2.4（元），顾老师共带钱（元），顾老师共带钱2.42.455331515（元）。

（元）。

例例66：

王老师去买儿童小提琴，若买王老师去买儿童小提琴，若买77把，则所带的钱把，则所带的钱差差110110元；若买元；若买55把，则所带的钱还差把，则所带的钱还差3030元。

问：

儿童元。

问：

儿童小提琴多少钱一把？

王老师带了多少钱？

小提琴多少钱一把？

王老师带了多少钱？

本题在购物的两个方案中，每一个方案都出本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买现钱不足的情况，买77把小提琴差把小提琴差110110元，买元，买55把小提琴差把小提琴差3030元。

从买元。

从买77把变成买把变成买55把，少买把，少买了了7-5=27-5=2（把）提琴，而钱的差额减少了（把）提琴，而钱的差额减少了110-30110-308080（元），即（元），即8080元钱可以买元钱可以买22把小把小提琴，可见小提琴的单价为每把提琴，可见小提琴的单价为每把4040元钱。

元钱。

解：

（解：

（110-30110-30）（7-57-5）4040（元），（元），40407-1107-110170170（元）。

（元）。

答：

小提琴答：

小提琴4040元一把，王老师带了元一把，王老师带了170170元钱。

元钱。

例例77：

某班学生去划船，如果增加一条船，某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐那么每条船正好坐66人；如果减少一条人；如果减少一条船，那么每条船就要坐船，那么每条船就要坐99人。

问：

学生人。

问：

学生有多少人？

有多少人？

有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。

本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。

假设船数固定不变，题目的条件件加以转化。

假设船数固定不变，题目的条件“如果如果增加一条船增加一条船”表示表示“如果每船坐如果每船坐66人，那么有人，那么有66人人无船可坐无船可坐”；“如果减少一条船如果减少一条船”表示表示“如果每如果每船坐船坐99人，那么就空出一条船人，那么就空出一条船”。

这样，用盈亏问题。

这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为来做，盈亏总额为669=159=15，两次分配的差为，两次分配的差为9-69-633。

解：

（解：

（6699）（9-69-6）55（条），（条），66556=366=36（人）。

（人）。

答：

有答：

有3636名学生。

名学生。

例例88：

少先队员植树，如果每人挖少先队员植树，如果每人挖55个坑，个坑，那么还有那么还有33个坑无人挖；如果其中个坑无人挖；如果其中22人各挖人各挖44个坑，其余每人挖个坑，其余每人挖66个坑，那么恰好将坑个坑，那么恰好将坑挖完。

问：

一共要挖几个坑？

挖完。

问：

一共要挖几个坑？

我们将我们将“其中其中22人各挖人各挖44个坑，其余每人挖个坑，其余每人挖66个坑个坑”转化为转化为“每人都挖每人都挖66个坑，就多挖了个坑，就多挖了44个坑个坑”。

这样。

这样就变成了就变成了“典型典型”的盈亏问题。

盈亏总额为的盈亏问题。

盈亏总额为443377（个）坑，两次分配数之差为（个）坑，两次分配数之差为6-56-511（个）坑。

（个）坑。

解：

解：

33（6-46-4）22（6-56-5）77（人）（人）5577333838（个）。

（个）。

答：

一共要挖答：

一共要挖3838个坑。

个坑。

例例99：

在桥上用绳子测桥离水面的高度。

若把在桥上用绳子测桥离水面的高度。

若把绳子对折垂到水面，则余绳子对折垂到水面，则余88米；若把绳子三折米；若把绳子三折垂到水面，则余垂到水面，则余22米。

问：

桥有多高？

绳子有米。

问：

桥有多高？

绳子有多长？

多长？

因为把绳子对折余因为把绳子对折余88米，所以是余了米，所以是余了882=162=16（米）；同样，把绳子三折余（米）；同样，把绳子三折余22米，就是余了米，就是余了332266（米）。

两种方案都是（米）。

两种方案都是“盈盈”，故盈亏，故盈亏总额为总额为16-6=1016-6=10（米），两次分配数之差为（米），两次分配数之差为3-23-211（折），所以（折），所以桥高（桥高（882-22-233）（3-23-2）1010（米），（米），绳子的长度为绳子的长度为22101088223636（米）。

（米）。

例例1010：

有若干个苹果和若干个梨。

如果按每有若干个苹果和若干个梨。

如果按每11个苹果配个苹果配22个梨分堆，那么梨分完时还剩个梨分堆，那么梨分完时还剩22个苹果；如果按每个苹果；如果按每33个个苹果配苹果配55个梨分堆，那么苹果分完时还剩个梨分堆，那么苹果分完时还剩11个梨。

个梨。

问：

苹果和梨各有多少个？

问：

苹果和梨各有多少个？

容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。

原因在于第一种方与两次分配数之差很难找