现代控制理论大作业.ppt

现代控制理论大作业.ppt

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课题背景,2022/10/8,1,两轮自平衡小车的左右轮共轴、独立驱动、整个车身质心基本位于车轮轴正上方，通过车轮前后运动实现动态平衡，并且可以实现直立行走。

作为人为驾驶的代步工具，将会使得人们小范围、短距离的上班出行变得更加方便、灵活、环保。

课题背景,2022/10/8,2,双轮机器人属于动态稳定而静态不稳定的系统，本身具有多变量、非线性、强耦合等特性，它能有效反映诸如稳定性、鲁棒性、随动性等控制理论中的关键问题，对于学生掌握控制系统设计的基本方法十分有帮助，因而具有较大的研究价值。

课题背景,2022/10/8,3,系统工作原理,课题背景,2022/10/8,4,系统工作原理,前进（后仰）,前进（纠正前倾）,后退（前倾）,后退（纠正后仰）,由于车身是不断变化，检测、反馈就不断随之变化，动态地跟踪车身的倾角状态，使车身一直保持平衡状态，这就是动态自平衡原理。

控制对象分析与建模,2022/10/8,5,忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：

其中，M小车质量m摆杆质量b小车的摩擦系数l摆杆的转动轴心到质心的长度I摆杆惯量F施加给小车的力x小车的位置摆杆与垂直向下方向的夹角摆杆与垂直向上方向的夹角,自平衡车系统简图,图2小车及摆杆受力分析,控制对象分析与建模,2022/10/8,6,忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：

其中，M小车质量m摆杆质量b小车的摩擦系数l摆杆的转动轴心到质心的长度I摆杆惯量F施加给小车的力x小车的位置摆杆与垂直向下方向的夹角摆杆与垂直向上方向的夹角,图1自平衡车系统简图,图2小车及摆杆受力分析,控制对象分析与建模,2022/10/8,1.分析小车在水平方向所受合力可得：

2.分析摆杆在水平方向所受合力可得：

（1）,

（2）,3.把

（2）式带入

（1）式可得系统的第一个运动方程：

（3）,4.对摆杆垂直方向受力分析可得：

（4）,5.把（4）式带入（3）式可得系统的第二个运动方程：

（5）,控制对象分析与建模,2022/10/8,6.被控对象的输入力F用u表示，线性化后得到运动方程：

（6）,7.整理后得到系统状态空间方程：

（7）,控制对象分析与建模,2022/10/8,6.各物理量取以下数值，得到状态空间矩阵为：

M=1.096kgm=0.109kgb=0.1N/（ms）I=0.034kgm2l=0.25mg=9.8m/s2,状态变量,控制变量,输出变量,状态方程,控制对象分析与建模,2022/10/8,7.能控性和能观性分析：

Matlab程序：

结论：

Rank（M）=4系统完全能控Rank（N）=4系统完全能观,symsImMlbgxfai;M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.034;l=0.25;g=9.8;t=I*（M+m）+M*m*l2;A=0,1,0,0;0,-（I+m*l2）*b/t,m2*g*l2/t,0;0,0,0,1;0,-m*l*b/t,m*g*l*（M+m）/t,0;B=0;（I+m*l2）/t;0;m*l/t;C=1,0,0,0;0,0,1,0;Uc=ctrb（A,B）Vo=obsv（A,C）rankc=rank（Uc）ranko=rank（Vo）namid=eig（A）,计算结果：

rankc=4ranko=4,稳定性分析,2022/10/8,运用Matlab解出矩阵A的特征值如下：

namid=eig（A）namid=0-0.0830-2.57822.5769,A的特征值中有一个零点和一个整根，故系统的状态是不稳定的。

传递函数：

阶跃输入的响应曲线,极点配置,2022/10/8,1.状态反馈矩阵K的计算,已知该系统不稳定，要使系统稳定，必须重新配置极点，因为状态矩阵完全能控，所以可以采用状态反馈来使系统稳定。

通过设置不同的极点，可以得到不同的状态反馈矩阵，再通过比较不同输入下的响应曲线的响应速度和稳定性，可以得出一组较好的极点以及状态反馈矩阵。

pole=-1,-2,-3,-4;K=place（A,B,pole）A1=A-B*K;pole=-3,-4,-5,-6;K=place（A,B,pole）A2=A-B*K;pole=-8,-9,-10,-11;K=place（A,B,pole）A3=A-B*K;,Matlab计算程序:

极点为-1,-2,-3,-4时：

K1=-4.3530-9.168880.540631.3573极点为-3,-4,-5,-6时：

K2=-65.2954-62.1306321.1232124.8984极点为-8,-9,-10,-11时：

K3=-1436.5-613.53121.3986.3,计算结果:

极点配置,2022/10/8,2.阶跃输入下的响应,Matlab计算程序:

sys1=ss（A1,B,C,D）;curve1=step（sys1）;sys2=ss（A2,B,C,D）;curve2=step（sys2）;sys3=ss（A3,B,C,D）;curve3=step（sys3）;,figure;holdon;plot（curve1（:

1）,color,blue）;plot（curve2（:

1）,color,red）;plot（curve3（:

1）,color,green）;xlabel（时间（s））;ylabel（位移（m））;holdoff,figure;holdon;plot（curve1（:

2）,color,blue）;plot（curve2（:

2）,color,red）;plot（curve3（:

2）,color,green）;xlabel（时间（s））;ylabel（摆动角度（rad））;holdoff,极点配置,2022/10/8,2.阶跃输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线,极点配置,2022/10/8,2.白噪声输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线。

Matlab计算程序:

figurey1=wgn（100,1,0）;t=1:

100;sys=ss（A,B,C,D）;lsim（sys,y1,t）;sys1=ss（A1,B,C,D）;curve1=lsim（sys1,y1,t）;sys2=ss（A2,B,C,D）;curve2=lsim（sys2,y1,t）;sys3=ss（A3,B,C,D）;curve3=lsim（sys3,y1,t）;,figure;holdon;plot（curve1（:

1）,color,blue）;plot（curve2（:

1）,color,red）;plot（curve3（:

1）,color,green）;xlabel（时间（s））;ylabel（位移（m））;holdoff,figure;holdon;plot（curve1（:

2）,color,blue）;plot（curve2（:

2）,color,red）;plot（curve3（:

2）,color,green）;xlabel（时间（s））;ylabel（摆动角度（rad））;holdoff,极点配置,2022/10/8,2.白噪声输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线,状态观测器设计,2022/10/8,系统能观，故可以设计状态观测器。

设置极点设为-2,-3,-4,-5,1.全维状态观测器,Matlab计算程序:

全维观测器方程:

A=0100;0-0.08430.15020;0001.0000;0-0.05636.64370;C=1,0,0,0;0,0,1,0;op=-2,-3,-4,-5;G=（place（A,C,op）;,G=3.998,-0.003487603.4,-2207.0-0.8127,9.917-14.44,55.45,反馈矩阵G:

进一步的工作,2022/10/8,1.状态观测器设计2.极点配置3.Matlab仿真,参考文献,2022/10/8,1.赵勇.两轮不稳定机器人载体运动学及动力学变结构控制研究.西安电子科技大学硕士论文.20072.茹斐斐.双闭环控制方法在两轮自平衡车中的应用研究.河南大学.2013,