x
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
【
【典型例题】
题型一两条直线平行关系
例1已知直线li经过点M（-3,0）、N（-15,-6）,12经过点R（-2,-）、S（0,
2
5），试判断^与12是否平行？
2
变式训练：
经过点P（2,m）和Q（m,4）的直线平行于斜率等于1的直线，贝Um的值是
（）.
A.4B.1C.1或3D.1或4
题型二两条直线垂直关系
例2已知ABC的顶点B（2,1）,C（6,3），其垂心为H（3,2），求顶点A的坐标.
变式训练：
（1）h的倾斜角为45°12经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问h与12是否垂直？
（2）直线11,12的斜率是方程x23x10的两根，则h与12的位置关系是—.
题型三根据直线的位置关系求参数
例3已知直线h经过点A（3,a）、B（a-2,-3），直线S经过点C（2，3）、D（-1，a-2）
（1）如果I1//I2，则求a的值；
（2）如果11丄12，则求a的值
题型四直线平行和垂直的判定综合运用
例4四边形ABCD的顶点为A（2,222）、B（2,2）、C（0,22..2）、D（4,2），试判断四边
形ABCD的形状.
变式训练：
已知A（1,1）,B（2,2）,C（3,-3），求点D，使直线CD丄AB,且CB
//AD.
探点一数形结合思想
例5已知过原点0的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y
轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明：
点C、D和原点0在同一直线上.
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
探点二分类讨论思想
例6ABC的顶点A（5,1）,B（1,1）,C（2,m），若ABC为直角三角形，求m的值.
3.2直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程
【典型例题】
题型一求直线的方程
（1）经过点A（2,5），斜率是4;
（2）经过点B（3,1），
例1写出下列点斜式直线方程:
倾斜角是30°.
例2倾斜角是135°，在y轴上的截距是3的直线方程是
变式训练：
1.已知直线I过点P（3,4），它的倾斜角是直线yx1的两倍，则直线I的方程为
2.已知直线I在y轴上的截距为一3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线I的
方程.
3•将直线yx731绕它上面一点（1,丽）沿逆时针方向旋转15°得到的直线方程
题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题
例3已知直线h的方程为y2x3,l2的方程为y4x2，直线l与li平行且与*
在y轴上的截距相同，求直线I的方程。
探究一直线恒过定点或者象限问题
例4.已知直线ykx3k1.
（1）求直线恒经过的定点；
（2）当3x3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围
探究二直线平移
例5已知直线I:
y=2x-3，将直线I向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的
直线方程为
322直线的两点式方程
【知识点归纳】
1•直线的两点式方程:
2•直线的截距式方程:
【典型例题】
题型一求直线方程
例1已知△ABC顶点为A（2,8）,B（4,0）,C（6,0），求过点B且将△ABC面积平分的直线方程
变式训练：
1•已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.
A.4x2y5B.4x2y5C.x2y5D.x2y5
2•已知2x13%4,2x23y24，则过点A（x「yj,B（X2,y?
）的直线l的方程是（）
A.2x3y4B.2x3y0C.3x2y4D.3x2y0
例2求过点P（3,2），并且在两轴上的截距相等的直线方程
变式训练：
已知直线l过点（3,-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则I的方程为
题型二直线方程的应用
例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；
（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？
x（千克）
探究一直线与坐标轴围成的周长及面积
例4已知直线I过点（2,3），且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线I的方程.
探究二有关光的反射
例5光线从点A（-3,4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2,
6）,求射入y轴后的反射线的方程•
变式训练：
已知点A（3,8）、B（2,2），点P是x轴上的点，求当Ap|PB最小时的点P的
坐标.
323直线的一般式方程
【知识点归纳】
1直线的一般式:
2•直线平行与垂直的条件:
【典型例题】
题型一灵活选用不同形式求直线方程例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是一1，经过点A（8,-2）;
（2）经过点B（4,2），平行于x轴；
2
3
（3）在x轴和y轴上的截距分别是—，—3;（4）经过两点P（3,-2）、F2（5,
2
4）.
题型二直线不同形式之间的转化
例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：
过点A（5,6）,B（4,8）.
题型三直线一般式方程的性质
例3直线方程AxByC0的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质？
（1）与两条坐标轴都相交；
（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.
变式训练：
已知直线l:
5ax5ya30。
变式训练:
（1）求经过点A（3,2）且与直线4x
（2）求经过点B（3,0）且与直线2xy5
y20平行的直线方程；
0垂直的直线方程
题型四运用直线平行垂直求参数
例4已知直线11:
xmy2m20,l2:
mxy1m0,问m为何值时:
（1）l1l2；
（2）l1//l2.
题型五综合运用
例5已知直线li：
xmy60,I2:
（m2）x3y2m0,求m的值，使得:
（1）li和12相交；
（2）li丄l2；（3）Ii//l2；（4）li和12重合.
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
3.3.2两点间的距离
【知识点归纳】
1.两条直线的焦点坐标：
2.两点间的距离公式：
【典型例题】
题型一求直线的交点坐标
例1判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
（1）直线l1:
2x－3y+10=0,l2:
3x+4y－2=0；
（2）直线l1:
nxyn1,l2:
nyx2n.
题型二三条直线交同一点
变式训练
1.设三条直线：
x2y
1,2xky
3,3kx4y5交于一点，求k的值
y30对称的直线I的方程.
2.试求直线l1:
xy20关于直线l2:
3x
题型三求过交点的直线问题
例3求经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线4x3y70的直线方程.
变式训练：
已知直线li：
2x-3y+10=0,I2：
3x+4y-2=0.求经过li和12的交点，且与直线13：
3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.
题型四两点间距离公式应用
例4已知点A（2,1）,B（a,3）且|AB|5，则a的值为
变式训练：
在直线2xy0上求一点P，使它到点M（5,8）的距离为5,并求直线PM的方程.
题型五三角形的判定
例5已知点A（1,2）,B（3,4）,C（5,0），判断ABC的类型.
探究一直线恒过定点问题
例6已知直线（a2）y（3a1）x1.求证：
无论a为何值时直线总经过第一象限
变式训练：
若直线I:
y=kx..3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，求直线I的倾
斜角的取值范围•
探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）
例7直线2x-y-4=0上有一点P,求它与两定点A（4,-1）,B（3,4）的距离之差的最大值
变式训练：
已知M（1,0）、N（1,0），点P为直线2xy10上的动点.求PM2PN2的最
小值，及取最小值时点P的坐标.
333点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离【知识点归纳】
1.点到直线的距离：
2.两条平行间直线的距离:
拓展：
点关于点、直线对称点的求法
【典型例题】
题型一利用点到直线距离求参数
例1已知点（a,2）（a0）到直线l:
xy30的距离为1,贝Ua=（）
A.2B.—C.21D.21
题型二利用点到直线距离求直线的方程
110
例2求过直线11：
y-X10和l2：
3xy0的交点并且与原点相距为1的直线I的方程.
33
变式训练：
直线I过点P（1,2）,且M（2,3）,N（4,—5）到I的距离相等，则直线I的方程是
题型三利用平行直线间的距离求参数
例3若两平行直线3x2y10和6xayc0之间的距离为乙〕3，求的值.
13a
变式训练：
两平行直线5x12y30与10x24y50间的距离是（
）
A.A
B.丄
C.丄
D.
5
13
13
26
26
题型四利用平行直线间的距离求直线的方程
例4与直线丨：
5x12y60平行且与I的距离2的直线方程是
题型五点、直线间的距离的综合运用
例5已知点P到两个定点M（—1,0）、N（1,0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1•求直线PN的方程.
探究一与直线有关的对称问题
例6△ABC中，A（3,3）,B（2,2）,C（7,1）.求/A的平分线AD所在直线的方程
变式训练：
1.与直线2x3y60关于点（1，-1）对称的直线方程是
2．求点A（2，2）关于直线2x4y90的对称点坐标
探究二与距离有关的最值问题
例7在函数y4x2的图象上求一点P,使P到直线y4x5的距离最短，并求这个最短的距离.
变式训练：
在直线l：
3xy10上求一点P,使得:
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。
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