广东省中考数学试题精析.docx

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广东省中考数学试题精析

2012年中考数学精析系列——广东卷

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）　

一．选择题（共5小题，每小题3分，共15分）

3．（2012广东省3分）数据8、8、6、5、6、1、6的众数是【】

　A．1B．5C．6D．8

【答案】C。

【考点】众数。

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是6，故这组数据的众数为6。

故选C。

4．（2012广东省3分）如图所示几何体的主视图是【】

A．

B．

C．

D．

【答案】B。

【考点】简单组合体的三视图。

【分析】从正面看，此图形的主视图有3列组成，从左到右小正方形的个数是：

1，3，1。

故选B。

5．（2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【】

　A．5B．6C．11D．16

【答案】C。

【考点】三角形三边关系。

【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。

故选C。

二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

6．（2012广东省4分）分解因式：

2x2﹣10x=　▲　．

【答案】2x（x﹣5）。

【考点】提公因式法因式分解。

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。

因此，直接提取公因式2x即可：

2x2﹣10x==2x（x﹣5）。

7．（2012广东省4分）不等式3x﹣9＞0的解集是　▲　．

【答案】x＞3。

【考点】解一元一次不等式。

【分析】移项得，3x＞9，系数化为1得，x＞3。

故答案为：

x＞3．

8．（2012广东省4分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　▲　．

【答案】50°。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧

，

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOC=2∠ABC，

又∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°。

9．（2012广东省4分）若x，y为实数，且满足

，则

的值是　▲　．

【答案】1。

【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。

【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使

，必须有

且

，即x=3，y=3。

∴

。

10．（2012广东省4分）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　▲　（结果保留π）．

【答案】

。

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积

=

。

三．解答题

（一）（共5小题，每小题6分，共30分）

11．（2012广东省6分）计算：

．

【答案】解：

原式=

。

【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。

【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。

12．（2012广东省6分）先化简，再求值：

（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．

【答案】解：

原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9。

当x=4时，原式=2×4﹣9=﹣1。

【考点】整式的混合运算（化简求值）。

【分析】先把整式进行化简，再把x=4代入进行计算即可。

13．（2012广东省6分）解方程组：

．

【答案】解：

①+②得，4x=20，解得x=5，

把x=5代入①得，5﹣y=4，解得y=1，

∴不等式组的解为：

。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入法求出y的值即可。

14．（2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【答案】解：

（1）作图如下：

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，

∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。

∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=

∠ABC=

×72°=36°。

∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。

【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。

【分析】

（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于

EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。

（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出

∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。

15．（2012广东省6分）已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

【答案】证明：

∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，

在△ABO与△CDO中，∵∠ABO=∠CDO，BO=DO，∠AOB=∠COD，

∴△ABO≌△CDO（ASA）。

∴AB=CD。

∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO，再由BO=DO，∠AOB=∠COD，即可根据ASA得出

△ABO≌△CDO，故可得出AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边是平行四边形的判定得出结论。

四．解答题

（二）（共4小题，每小题7分，共28分）

16．（2012广东省7分）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

【答案】解：

（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得

5000（1+x）2=7200．

解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）。

答：

这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%。

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为

7200（1+x）=7200×120%=8640万人次。

答：

预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次。

【考点】一元二次方程的应用。

【分析】

（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2万人次．根据题意得方程求解。

（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次。

17．（2012广东省7分）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数

的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．

（1）求k的值及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：

（1）∵点A（4，2）在反比例函数

的图象上，

∴把（4，2）代入反比例函数

，得k=8。

把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3。

∴B点坐标是（3，0）。

（2）存在。

假设存在，设C点坐标是（a，0），则

∵AB=AC，∴

，即（4﹣a）2+4=5。

解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）。

∴点C的坐标是（5，0）。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】

（1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求k，再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标。

（2）假设存在，设C点坐标是（a，0），然后利用勾股定理可得

，

解方程，即得a=3或a=5，其中a=3和B点重合，舍去，故C点坐标可求。

18．（2012广东省7分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=

，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：

参考数据：

sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．

【答案】解：

∵在RtABC中，

，∴

。

∵在RtADB中，

，∴BD=2AB。

∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣

=200，解得：

AB=300。

答：

小山岗的高度为300米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）

【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。

19．（2012广东省7分）观察下列等式：

第1个等式：

；

第2个等式：

；

第3个等式：

；

第4个等式：

；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：

a5=　　=　　；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：

an=　　=　　（n为正整数）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

【答案】解：

（1）

。

（2）

。

（3）a1+a2+a3+a4+…+a100

。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】

（1）

（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：

分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：

序号的2倍减1和序号的2倍加1。

（3）运用变化规律计算。

五．解答题（三）（共3小题，每小题9分，共27分）

（3）

。

∵在使分式

有意义的4种情况中，值为整数的（x，y）有（1，﹣2）、

（﹣2，1）2种情况，

∴使

分式的值为整数的（x，y）出现的概率是

。

【考点】列表法或树状图法，概率分式有意义的条件，分式的化简求值。

【分析】

（1）根据题意列出表或画树状图，即可表示（x，y）所有可能出现的结果。

（2）根据

（1）中的表或树状图中找出使分式

有意义的情况，再除以所有情况数即可。

（3）先化简，再在使分式

有意义的4种情况中，找出使分式的值为整数的（x，y）的情况，再除以所有情况数即可。

21．（2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：

△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

【答案】

（1）证明：

∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。

在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB=C′D，∠ABG=∠ADC′，

∴△ABG≌△C′DG（ASA）。

（2）解：

∵由

（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。

设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=

。

∴

。

（3）解：

∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。

∴HD=

AD=4。

∵tan∠ABG=tan∠ADE=

。

∴EH=HD×

=4×

。

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线。

∴HF=

AB=

×6=3。

∴EF=EH+HF=

。

【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。

【分析】

（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。

（2）由

（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=

AD=4，再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。

22．（2012广东省9分）如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

【答案】解：

（1）在

中，

令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；

令y=0，即

，解得：

x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。

∴AB=9，OC=9。

（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴

，即：

。

∴s=

m2（0＜m＜9）。

（3）∵S△AEC=

AE•OC=

m，S△AED=s=

m2，

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

=﹣

m2+

m=﹣

（m﹣

）2+

。

∴△CDE的最大面积为

，

此时，AE=m=

，BE=AB﹣AE=

。

又

，

过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：

，

即：

。

∴

。

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=

。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】

（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：

点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。