等差数列求和.ppt

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小学四年级奥数小学四年级奥数在过去的三百多年里，在过去的三百多年里，人们分别在下列时间人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

里观测到了哈雷慧星：

（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（）你能预测出下一次的大致时间吗？

2062相差相差76你能根据规律在（你能根据规律在（）内）内填上合适的数吗？

填上合适的数吗？

（3）（3）1,41,4，99，16,16,（），），3636，（4）（4）1,21,2，3,53,5，8,138,13，2121，（，（）（11）3,4,5,6,7,8,9,（）3,4,5,6,7,8,9,（）

（2）1

（2）1,2,4,8,16,32,64,（）,2,4,8,16,32,64,（）253412810象这样按照一定的规律排列的一组数象这样按照一定的规律排列的一组数,我们称为我们称为数列数列,其中每个数都叫做数列的项其中每个数都叫做数列的项,排在第一列的叫第一项排在第一列的叫第一项,（,（也叫首也叫首项项）一般用一般用aa11表示表示,第二列的叫第二项第二列的叫第二项,用用aa22表示表示,排在第排在第NN个个的数叫第的数叫第NN项项,用用aann表示表示.+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+12222222222221112122323343444等差数列等差数列等比数列等比数列斐波拉斐波拉契数列契数列平方数列平方数列1、按数列中项的个数来分类：

有限数列：

如：

0，1，1，2，4，7，13，24，44无限数列：

如：

1，3，5，7，9，11，13，2、按数列中项的变化规律来分类：

递增数列：

如：

1，2，3，4，5，6，100递减数列：

如：

100，99，98，97，2，1常数列：

如：

1，1，1，1，1，1，13、按数列中、按数列中项的的性性质特点特点来分来分类：

等差数列：

如：

如：

0，1，2，3，4，5，6，（自然数列）（自然数列）递推数列：

如：

如：

1，1，2，3，5，8，13，21，周期数列：

如：

如：

1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，实战演练1观察与分析下面各列数的排列察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。

律，然后填空。

（1）5，9，13，17，。

（2）1，4，9，16，。

（3）4，5，7，11，19，。

212525363567找出下列各数列的找出下列各数列的规律，在横律，在横线上，填出适当的数。

上，填出适当的数。

（1）5，15，45，135，。

（2）60，63，68，75，。

（3）180，155，131，108，。

（4）0，1，1，2，3，5，。

405121584958665813实战演练2小故事小故事一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。

1+2+3+4+.+98+99+100=?

老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。

而更使人吃惊的是男孩的算法.小故事小故事老师发现：

第一个数加最后一个老师发现：

第一个数加最后一个数是数是101，第二个数加倒数第二个数，第二个数加倒数第二个数的和也是的和也是101，共有共有50对这样的对这样的数，用数，用101乘以乘以50得到得到5050。

这种算。

这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师法，高斯的才华使老师彪特耐尔彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。

孩的了。

卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯此男孩叫高斯，是德国数学家、此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。

牛顿并列，同享盛名。

四则运算四则运算（等差数列求和）

（一）（等差数列求和）

（一）等差数列的主要内容等差数列的主要内容1、等差数列的基本知识、等差数列的基本知识2、等差数列的项、等差数列的项3、等差数列的和、等差数列的和一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识（11）11、22、33、44、55、66（22）22、44、66、88、1010、1212（33）55、1010、1515、2020、2525、3030像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列数列中的每一个数称为数列中的每一个数称为一一项项；第第11项称为项称为首项首项；最后最后11项称为项称为末项末项；在第几个位置上的数就叫在第几个位置上的数就叫第几项第几项；有多少项称为有多少项称为项数项数；

（一）数列的基本知识

（一）数列的基本知识

（二）等差数列的基本知识

（二）等差数列的基本知识

（1）1、2、3、4、5、6

（2）2、4、6、8、10、12（3）5、10、15、20、25、30（公差（公差=1）（公差（公差=2）（公差（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一个通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第二项开始，后项与前项的差数列中，从第二项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为都相等的，具有这样特征的数列称为等差等差数列数列，这个差称为这个数列的，这个差称为这个数列的公差公差。

从第二项开始，后项与前项的差都相等的，从第二项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为具有这样特征的数列称为等差数列等差数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，第一项称为首首项项，最后一项称为末项末项，数列中共有的项的个数叫做项数项数。

等差数列的特点就是任意相邻两项的差都相等，我们把这个差叫做公差公差。

a1表示第一项，d表示公差，排在第N个的数叫第N项,用an表示.一、定义：

例1：

观察下列数列是否是等差数列：

一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的项起，后一项与它的前一项的差等于差等于同一个常数同一个常数，那麽这个数列就叫做，那麽这个数列就叫做等差数列等差数列。

这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。

表示。

1，4，7，10，13，16，1,3,5,7,9,2,4,6,8,105，5，5，5，5，5，1,3,5,7,10,13,16,19公差=第二项首项习习:

按规律把下列数列补充完整按规律把下列数列补充完整,并且指出那些是等差数列并且指出那些是等差数列.1,3,6,8,16,18,（）,（）,76,7881,64,49,36,（）,（）35,28,22,17,（）,（）1,2,4,7,11,16,（）2,3,5,8,12,17,（）2,3,5,8,13,（）1,3,7,15,（）45,55,66,78,（）,（）二、等差数列的项二、等差数列的项等差数列等差数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；4、10、16、22、28、34、40、46、52等差数列：

等差数列：

1、3、5、7、9、11第第2项：

项：

3=1+2首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：

项：

5=1+22首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：

项：

7=1+23首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：

项：

9=1+24首项首项+公差公差4（5-1）第第6项：

项：

11=1+25首项首项+公差公差5（6-1）a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3da5=a1+4d=1+2=3=1+22=5=1+32=1+42=7=9解:

已知a1=1,d=2,a10=？

求a21,a34,a57,a66a10=a1+9d=1+92=19a34=a1+33da21=a1+20da57=a1+56d=1+562=1+332=1+202=113=67=41等差数列的通项公式：

等差数列的通项公式：

等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-11）an=a1+d（n-1）等差数列的首项等差数列的首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1）适用条件：

适用条件：

该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1已知数列已知数列2、5、8、11、14求：

（求：

（1）它的第）它的第10项是多少？

项是多少？

（2）它的第）它的第98项是多少？

项是多少？

（3）这个数列各项被几除有相同的余数？

）这个数列各项被几除有相同的余数？

分析：

首项分析：

首项=2公差公差=3解：

（解：

（1）第）第10项：

项：

2+3（10-1）=29

（2）第）第98项：

项：

2+3（98-1）=293等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1已知数列已知数列2、5、8、11、14求：

（求：

（3）这个数列各项被几除有相同的余数？

）这个数列各项被几除有相同的余数？

分析：

分析：

被除数被除数=余数余数+除数除数商商等差数列的某一项等差数列的某一项=2+3（项数（项数-1）规律：

规律：

等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。

）与商相对应。

这个数列每这个数列每1项除以项除以3都余都余2。

等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。

项除以它的公差，余数相同。

答：

这个数列第答：

这个数列第10项是项是29；第；第98项是项是293；这个数列；这个数列各项除以各项除以3余数相同。

余数相同。

根据已知求项数1，2，3，497，98，99，100这一数列有几一数列有几项呢？

呢？

1001，3，5，799这一数列有几一数列有几项呢？

呢？

50那那5，6，7，8，9，45这一数列又有几一数列又有几项呢？

呢？

例例2已知数列已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有，这个数列有多少项。

多少项。

分析：

第分析：

第2项比首项多项比首项多1个公差，第个公差，第3项比首项多项比首项多2个个公差，第公差，第4项比首项多项比首项多3个公差个公差，那第，那第n项比首项项比首项多（多（n-1）个公差。

个公差。

规律：

规律：

末项比首项多的公差的个数，再加上末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到，就得到这个数列的项数。

这个数列的项数。

等差数列的项数等差数列的项数=公差个数公差个数+1=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1这个数列的项数这个数列的项数=（17-2）3+1=6小结：

小结：

等差数列项的有关规律等差数列项的有关规律等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。

项除以它的公差，余数相同。

等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1练习练习1、一串数：

、一串数：

1、3、5、7、9、49。

（。

（1）它的第）它的第21项是多少项是多少?

（2）这串数共有多少个？

）这串数共有多少个？

2、一串数：

、一串数：

2、4、6、8、2008。

（。

（1）它的第）它的第25项是多少项是多少?

（2）这串数共有多少个？

）这串数共有多少个？

3、一串数：

、一串数：

101、102、103、104、199。

（。

（1）它的第它的第30项是多少项是多少?

（2）这串数共有多少个？

）这串数共有多少个？

4、一串数：

、一串数：

7、12、17、22。

（。

（1）它的第）它的第60项项是多少是多少?

（2）这个数列各项被几除有相同的余数？

）这个数列各项被几除有相同的余数？

练习答案：

练习答案：

1、它的第、它的第21项项=1+2（21-1）=41；这个数列的项数这个数列的项数=（49-1）2+1=25；2、它的第、它的第25项项=2+2（25-