幂函数的图像性质和应用.docx
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幂函数的图像性质和应用
幂函数
分数指数幕
m
正分数指数幕的意义是：
annJ（a0，m、nN，且n1）
m1
负分数指数幂的意义是：
an——（a0，m、nN，且n1）
nm
.a
1、幕函数的图像与性质
幕函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质
11
和图像分类记忆的方法.熟练掌握yxn，当n2,1,-,-,3的图像和性质,
23
列表如下.
从中可以归纳出以下结论：
1它们都过点1,1，除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函数图像都不过第四象限.
11
2a丄，丄,1,2,3时，幕函数图像过原点且在0,上是增函数.
32
1
3a-,1,2时，幕函数图像不过原点且在0,上是减函数.
2
4任何两个幕函数最多有三个公共点.
n
yx
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
n1
yj
p.
q
p.
yj
pJ
r
x
x
O
0n1
y‘
y」
yj
x
O
x
O
x
规律总结
1•在研究幕函数的性质时，通常将分式指数幕化为根式形式，负整指数幕
化为分式形式再去进行讨论；
2•对于幕函数y二x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，
由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即v0,0vv1
和>1三种情况下曲线的基本形状，还要注意二0，±1三个曲线的形状；对
于幕函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：
“正抛负双，大竖小横”，即〉0（胡）时图象是抛物线型；v0时图象是双曲线型；>1时
图象是竖直抛物线型；0vv1时图象是横卧抛物线型.
2、幕函数的应用
解：
取x
由图像可知:
c,应选（C）.
可以转化为同一幕函数，不同函数值的大小问题.
1
••yx3在0,上单调递增，且1.71.5
11
•••1.731.531.
（3）先将指数统一，底数化成正数.
点评：
比较幕形式的两个数的大小，一般的思路是:
（1）若能化为同指数，则用幕函数的单调性;
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性;
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作
为桥梁来比较大小.
23
解得：
a,1U2,3.
32
例3.已知幕函数yxm2m3丄mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.
2
解：
•••幕函数yxm2m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，
2
m2m30,.••1m3;
•••mZ,•（m22m3）Z，又函数图象关于原点对称，
•m2m3是奇数，•m0或m2.
例4、设函数f（x）=x3，
（1）求它的反函数；
（2）分别求出fT（x）=f（x），fT（x）>f（x），fT（x）vf（x）的实数x的范围.
1
解析：
（1）由y=x3两边同时开三次方得x=3y，•「1（x）二x1.
1
（2函数f（x）=x3和厂（x）=x3的图象都经过点（0,0）和（1，1）.
•广（x）=f（x）时，x=±1及0;
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
_1f（x）>f（X）时，xv—1或0VXV1；
f（x）vf（x）时，x>1或一1vxv0.
点评：
本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或
方程则较为麻烦.
21
例5、求函数y=x5+2x5+4（x>—32）值域.
1
—22
解析：
设t=x5,•••x>_32,二t>_2,则y=t+2t+4=（t+1）+3.
当t=一1时，ymin=3.
21
•••函数y=x5+2x5+4（x>-32）的值域为]3,+）.
点评：
这是复合函数求值域的问题，应用换元法.
【同步练习】
答案：
D
解析：
函数可化为根式形式，即可得定义域.
答案：
B
1
5.函数y=（1—x2）2的值域是（
解析：
这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t二1—x2，则严t.
•••—Kx<1，二0答案：
D
6•函数y=x5的单调递减区间为（）
A.（",1）B.（—x,0）C.[0,+7D.（-
x,+x）
2
解析：
函数y=x5是偶函数，且在[0,+x）上单调递增，由对称性可知选
B.
答案：
B
1—1
7.若a2va_2，则a的取值范围是（）
A.a>1B.a>0C.1>a>0D.1>a>0
解析：
运用指数函数的性质，选C.
答案：
C
8.函数y=.（15+2x—x2）的定义域是。
解析：
由（15+2x—x2）3>0.•••15+2x—xv20.二一3答案：
A
9.函数y=2-1—汗在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是
x
解析：
m的取值应该使函数为偶函数.故m二—1.
答案：
m二—1
2
10、讨论函数y=x5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.
2
思路：
函数y=x5是幕函数.
2
（1）要使y=x5=Vx2有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R.
2
（2）vxR，.°.x>0..••y>0.
•••函数y=x5是偶函数；
（4）vn=->0,
5
2
•••幕函数y=x5在］0,+］上单调递增.
2
由于幕函数y=x5是偶函数，
2
•••幕函数y=x5在（—，0）上单调递减.
（5）其图象如下图所示.
12.已知函数y=415—2x—x2.
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间.
解析：
这是复合函数问题，利用换元法令t二15—2x—x2，则y=4t,
（1）由15—2x—x2>0得函数的定义域为［—5,3］，
•••t=16—（x—1）［0，16］.a函数的值域为［0,2］.
（2）v函数的定义域为［—5，3］且关于原点不对称，.••函数既不是奇函数也不是偶函数.
（3）v函数的定义域为［—5，3］，对称轴为x=1，
Ax［—5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小.
又•••函数y=41在t［0，16］时，y随t的增大而增大，
•••函数y=V15-2x—x2的单调增区间为［—5，1］，单调减区间为（1,3］.答案：
（1）定义域为［—5,3］,值域为［0,2］；
（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数;
（3）（1,3].
1
分析：
若x1*3
则有三种情况解：
根据幕函数的性质,
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