辽宁省大连市届高三数学第一次模拟考试试题理及答案word版doc.docx
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辽宁省大连市届高三数学第一次模拟考试试题理及答案word版doc
辽宁省大连市2019届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.）
1.已知集合，，则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得B=（-1,2），再求A∩B.
【详解】由题得B=（-1,2），所以.
故选：
D
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.若的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简已知得，所以，解之即得a的值.
【详解】由题得，
所以.
故选：
A
【点睛】本题主要考查复数的除法运算和实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.
【详解】，
当时，，故A适合题意，
故选：
A
【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，属于基础题.
4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（ ）
A.6B.24C.120D.720
【答案】B
【解析】
【分析】
直接模拟程序框图运行.
【详解】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24.
故选：
B
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.已知等差数列的前项和为，且，，则（）
A.0B.10
C.15D.30
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得再利用等差数列的前n项和求.
【详解】由题得
故选：
C
【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.
【详解】当时，若，可得
又，可知
本题正确选项：
【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.
7.科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比.这12年间的研发投入（单位：
十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.
根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）
A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大
B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小
C.该企业连续12年来研发投入逐年增加
D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加
【答案】D
【解析】
【分析】
结合折线图对每一个选项分析判断得解.
【详解】对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%，2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%,所以该选项正确；
对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；
对于选项C,该企业连续12年来研发投入逐年增加,所以该选项是正确的；
对于选项D,该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的.
故选：
D
【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.已知，是两个单位向量，且夹角为，，则与的数量积的最小值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得与的数量积为，再利用二次函数的图像和性质求其最小值.
【详解】由题得与的数量积为，
所以当时，数量积最小为.
故选：
A
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和二次函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
9.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：
“斜解立方，得两壍堵。
斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为.
其中正确的个数为（）
A.0B.1
C.2D.3
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，结合几何体的结构特征作出正确判断.
【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=2，
PD⊥平面ABCD，PD=2，
对于①易证AB⊥平面PAD，BC⊥平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；
对于②，故正确；
对于③四个侧面中没有全等的三角形，故错误；
对于④外接球的直径为PB，故外接球的表面积为，正确，
故选：
D
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查四棱锥的结构特征，考查线面关系以及外接球问题，考查空间想象能力，属于中档题。
10.函数f（x）=的部分图象大致是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.
【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）
f（-x）===f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，
令f（x）=0，即=0，解得x=0，
∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，
当x=1时，f
（1）=＜0，故排除C，
综上所述，只有B符合，
本题选择B选项.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
11.已知抛物线：
的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若，的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设AF,FB的中点分别为D,E,求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.
【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,
由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，
设，则，
联立直线和抛物线的方程得，
所以，
所以抛物线的准线方程为x=-3.
故选：
C
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.
【详解】设
若，则
，不成立；
若，则
，不成立
若，则
设，则
当时，，则单调递减
当时，，则单调递增
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，，且2是，的等比中项，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过等比中项得到，再利用基本不等式求得最小值.
【详解】由题意得：
又，
当且仅当时取等号
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，属于基础题.
14.已知矩形，，，以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到双曲线的离心率.
【详解】
由题意易知：
即，
，
由双曲线定义可得，
∴双曲线的离心率为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．
15.若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“取出的2件中另1件是一等品”为事件B，分别求得P（AB）和P（A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．
【详解】解：
设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“取出的2件中另1件是一等品”为事件B，
则P（A），P（AB），
在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率为：
P（B|A），
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于中档题．
16.已知数列{an}中，a1=2，，则=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由递推关系可得，易知为常数列，求出，利用等差数列前n项和公式即可得到结果.
【详解】∵，，
∴，
即
记，显然为常数列，且，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查数列求和问题，涉及利用递推关系求通项，等差数列求和公式，考查计算能力，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，，.
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）若，，求的长.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理求得，可得，求出后可得面积；（Ⅱ）根据，利用余弦定理建立方程，求得结果.
【详解】（Ⅰ）由正弦定理得：
（Ⅱ）设，则
根据
可得：
解得：
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题；关键是能够通过互补角的余弦值互为相反数的关系建立起方程，从而求得结果.
18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：
min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．
分组
频数
[55，65）
2
[65，75）
4
[75，85）
10
[85，95]
4
合计
20
第一车间样本频数分布表
（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；
（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？
（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（I）60,300;（II）第二车间工人生产效率更高.（III）见解析.
【解析】
【分析】
（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为（人）.估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为（人）；（II）分别计算两车间工人生产时间的平均值，再推测哪个车间工人的生产效率更高；（III）由题得X可取值为0，1，2，再分别求出概率，列出分布列，求出数学期望.
【详解】（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为（人）.
估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为（人）.
（II）第一车间生产时间平均值约为（min）.
第二车间生产时间平均值约为
（min）.
∴第二车间工人生产效率更高.
（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，
X可取值为0，1，2，
，
.
X的分布列为：
X
0
1
2
P
所以数学期望.
【点睛】本题主要考查频数和平均数的计算，考查随机变量的分布列,考查数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】
【分析】
（I）先证明，再证明；（II）在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，
证明OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】（I）证明：
在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，
∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，
∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，,
∴在等腰中，
∴,即BD⊥BC，
∴BD⊥AE，
翻折后可得：
OP⊥AE,OB⊥AE，又，，
；
（II）解：
在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，
因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，
因为OB平面ABCE,AE平面ABCE,AE∩OB=O
∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为，
又因为OP=OB，∴OP⊥OB，
∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为,
设平面PCE的一个法向量为，
则
设，则y=-1,z=1，
∴，
由题意得平面PAE的一个法向量，
设二面角A-EP-C为，.
易知二面角A-EP-C为钝角，所以.
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.
20.已知椭圆：
的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
【答案】；.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设，，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点的轨迹方程；
（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形面积，转求函数最值即可.
【详解】法一：
设，，
直线
直线
得
又，
，
整理得点的轨迹方程为
法二：
设，，
直线
直线
由,解得：
，又，
故，代入得.
点的轨迹方程为
法三：
设直线，则直线
直线与椭圆的交点的坐标为.
则直线的斜率为.
直线
由解得:
点的轨迹方程为：
法一：
设，由法二得：
四边形的面积，
，当时，的最大值为.
法二：
由法三得：
四边形的面积
当且仅当时，取得最大值.
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法：
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21.已知，函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，，求的取值范围.
【答案】当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增；.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；
（Ⅱ）由是的极值点可知a=1，利用切线平行可得，同理，，构建新函数即可得到的取值范围.
【详解】.
当时，在上恒成立.
在上单调递减，无单调递增区间；
当，且，即时，在上恒成立.
在上单调递减，无单调递增区间；
当，且，即时，在上，，在上，，
在上单调递减，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增.
是的极值点，由可知
设在处的切线方程为
在处的切线方程为
若这两条切线互相平行，则，
令，则，同理，
【解法一】
设，
，
在区间上单调递减，
即的取值范围是
【解法二】
令，其中
函数在区间上单调递增，.
的取值范围是
【解法三】
设，则
，，函数在区间上单调递增，
的取值范围是.
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请标清题号.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：
，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于，两点，求的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）3.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据点和倾斜角为，代入直线参数方程，得到的参数方程；利用和极坐标的关系得到，从而得到，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线参数方程代入的直角坐标方程，利用韦达定理得到结果.
【详解】（Ⅰ）即（为参数），
设
即，即
所以
（Ⅱ）设对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标系方程中得：
即，此时
为方程的两个根，所以
所以
【点睛】本题考查直线参数方程及参数的几何意义、极坐标化直角坐标.易错点是在求解的直角坐标方程时，忽略了的限制条件，从而导致所求直角坐标方程缺少的范围.
23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）通过和两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
；法一：
设，利用，可得，从而推得，求得最大值；
法二：
构造出，利用可得，从而求得最大值；
法三：
构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.
【详解】（Ⅰ）①当时，
②当时，
③当时，
综上：
的解集为
（Ⅱ）法一：
由（Ⅰ）可知
即
又且
则，设
同理：
，
，即
当且仅当时取得最大值
法二：
由（Ⅰ）可知
即
又且
当且仅当时取得最大值
法三：
由（Ⅰ）可知
即
由柯西不等式可知：
即：
当且仅当即时，取得最大值
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式部分最值问题的关键是配凑出符合基本不等式或柯西不等式的形式，从而求得结果.
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