专题08旋转中的最值问题.docx

专题08旋转中的最值问题.docx

《专题08旋转中的最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题08旋转中的最值问题.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题08旋转中的最值问题

专题08旋转中的最值问题

考点一费马点问题求最值

【方法点拨】费马点证明都長依据旋转思想.构造三角形全等.然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。

这个思路一走要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。

【典例剖析】

1・（经典例题）已知：

P是边长为1的正方形2ECD内的一点，求Rl+PB^PC的最小值.

BC

【点拨】顺时针旋转△EPC60度，可得为等边三角形，若R#PB-PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上，求岀.妒的值即可.

【解析】解：

顺时针旋转△BPC60度,可得恥为等边三角形.

即得M+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要-IP,PE,M在一条直线上，

即如下图：

可得最小R1+PB-PC=.4F.

此时ZEBC+ZCBP=ZFBE+ZEBC=6L=ZFBC.

所以ZABF=90°+60°=150°,

ZMBF=3L,

/q1

BW=BF・cos3（T=5C>cos30°=分MF=〒

则务寺1

在△zB/F中，勾股圧理得：

3+仃=,护

HF==J（坯2+2x字x尊+（坯2=J（学）2=竿.

2.（朝阳区二模）阅读下列材料:

小华遇到这样一个问题，如图1，HABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,在ZU5C内部有一点P，连接ELPB、PC,求R1+PB+PC的最小值.

小华是这样思考的：

要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为左点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求岀这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将ZUPC绕点C顺时针旋转60°,得到连接PD、BE,则EE的长即为所求.

（1）请你写出图2中，Ri+PB+PC的最小值为_质_；

（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：

①如图3,菱形ABCD中，ZABC=60°,在菱形.13CD内部有一点P,请在图3中画岀并指明长度等于R1+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画岀一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.

图3

【点拨】

（1）先由旋转的性质得出△APC^/XEDC.则ZACP=ZECD、AC=EC=5,ZPCD=60°,

再证明Z5CE=90°,然后在RtABCF中，由勾股迫理求出恥的长度，即为PA+PB-rPC的最小值：

（2）①将ZUPC绕点C顺时针旋转60。

得到ADEC,连接PE、则线段加即为R1+PB+PC最

小值的线段；

②当B、P、E、D四点共线时，刃+PB+PC值最小，最小值为肋.先由旋转的性质得出［\AFC9l\DEC、则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP,然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判左得出肿=CP,同理，得出DE=CE,则EP=PE=ED=|sZ）・

【解析】解：

（1）如图2.•・•将AJPC绕点（？

顺时针旋转60°,得到

:

.\APgHEDC、

:

.ZACP=ZECD.AC=EC=S.ZPCD=6Y,

•••ZJCP+ZPCB=ZECBZPCB,

:

.ZECD+ZPCB=ZACB=30a,

:

•,BCE=ZECD+ZPCB+ZPCD=3y+60°=90°・

在RtA5C£中，•:

ZBCE=9$,BC=6、CE=5.

:

・BE=\BC2+CE2=\^62+52=\/61,

即Ri+PB-PC的最小值为质：

（2）①将ZLIPC绕点C顺时针旋转60°,得到△£>£■（?

连接PE、DE,

则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段：

②如图，当2、P、E、D四点共线时，PA+PB^PC值最小，最小值为

•••将ZUPC绕点（7顺时针旋转60°,得到

AAJPC^AD£C.

:

・CP=CE、ZPCE=60°,

/.APcr是等边三角形，

:

・PE=CE=CP,ZEPC=ZCEP=6Q°・

•••菱形ABCD中，ZABP=ZCBP=畀朋。

=32,

AZPCB=ZEPC-ZCBP=60c-Z30°=30°,

：

・"CB=ZCBP=3L,

:

・BP=CP、

同理，DE=CE、

:

・BP=PE=ED・连接dC,交加于点O•则JC丄BD

在Rt△刃0C中，VZ50C=90°,ZOBC=3L,5C=4,

BO=BC•cosZOBC=4x号=2晶

:

・BD=2BO=4屈

:

・BP=；BD=攀

即当R1+PB+PC值最小时PB的长为——・

3・（延庆县一模）阅读下而材料：

小伟遇到这样一个问题：

如图1,在△J5C（其中ABAC是一个可以变化的角）中,AB=2,AC=4,以

BC为边在BC的下方作等边△PEC,求，妒的最大值.

图i图2图3

小伟是这样思考的：

利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△J5P逆时针旋转60°得到△/'BC,连接2'A,当点丄落在.4'C上时，此题可解（如图2）.

（1）请你回答：

的最大值是一6.

（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3,等腰RtZU5C・边AB=4.P为ZUEC内部一点，请写出求JP+EP+CP的最小值长的解题思路.提示：

要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把厶妙绕/点逆时针旋转60,得到ZU，BP'.

1请画出旋转后的图形

2请写出求JP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.

【点拨】

（1）由旋转得到BC,有M是等边三角形，当点A.C*三点共线时，fC=±l'

+AC,最大即可：

（2）由旋转得到结论E4PB+PC=PU1+P1B+PC,只有，旳、Pi、P、C四点共线时，（PU+P1B+PC）最短,即线段21C最短，根据勾股定理，即可.

【解析】解：

（1）•:

5ABP逆时针旋转60°得到厶丁BC,

加=60°,『B=AB,AP"C

是等边三角形，

••A1A=AB~BAr=2,

在C中,AfCULT+JC»即廿＜6,

则当点fA.C三点共线时,A'C=AA'+AC,

即JP=6,

即4P的最大值是:

6：

故答案是：

6.

（2）①旋转后的图形如图1：

②如图2,

A

以E为中心，将ZUPE逆时针旋转60°得到ZUiPiP・贝^A!

B=AB=BC=4.PA=P\A\.PB=P\B,

:

.R4+PB-PC=PiAi-PiB-PC.

•・•当旳、Pl、P、C四点共线时，（PM+PM+PC）最短，即线段旳C最短，

:

.A\C=PA+PB+PC.

sc长度即为所求.

过旳作21D丄CB延长线于D

VZJiBJ=60°（由旋转可知）,

AZA1BD=3O°・

"12=4,

:

.A1D=2,BD=2范

.•.CD=4+2x/3：

在RtAJiDC中，2iC=JaQ+DC?

=J22+（4+2\/3）2=2^2+2^6.

4.（2019春•灌桥区校级期末）问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系淸楚明了，从而将求解问题灵活转化.

问题提岀：

如图是边长为1的等边三角形,P为△MC内部一点，连接PA、PB、PC,求M+PB+PC的最小值.

D

®4

方法分析：

通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两泄点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.

问题解决：

如图2,将△处」绕点E逆时针旋转60°至连接PP\AC.记』C与JB交于点

D、易知BA'=BA=BC=1.ZA'BC=ZABA+ZABC=120°・由ZPBP=6V,可知△PBP

为正三角形，有PB=PP

故PA+PB+PC=PfA+PfP+PC>AfC=\/3・因此，当J.P\P.C共线时，Rl+PB+PC有最小值是"3.

学以致用：

（1）如图3,在/\ABC中，ZBJC=30°,.13=4,CA=3,P为厶毎C内部一点，连接EL

PB、PC,则的最小值是5.

（2）如图4,在/\ABC中，ZB」C=45°,AB=2近,CA=39P为内部一点，连接EkPB、

PC、求並PA+PB+PC的最小值.

（3）如图5,P是边长为2的正方形.拐CD内一点，0为边BC上一点，连接PA、PD、PQ,求刃+PZHP0的最小值.

【点拨】

（1）将ZUPC绕点zl逆时针旋转60°得到△*£,易知ZUFP是等边三角形，ZE坊=90°,转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.

（2）将ZUPB绕点/逆时针旋转90°得到厶匹£,易知厶旳是等腰直角三角形，ZE£8=135°,作EH^BA交的延长线于H.转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.

（3）如图5中，将△JPD绕点2逆时针旋转60°得到ZUFE,则易知是等边三角形，转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值.

【解析】解：

（1）如图3中，

将△dPC绕点2逆时针旋转60°得到易知是等边三角形，ZE松=90°,

在RtZ\E松中，BE=\lAE2+AB2=5,

JR知PB-PC=EF+FP亠PBPBE、

:

.R4+PB-PC^5.

:

.P4+PBrPC的最小值为5.

故答案为5・

图4

将绕点川逆时针旋转90°得到ZUFE,易知厶肝是等腰直角三角形，ZE松=135°,作阳丄交的延长线于H.

在Rt/XEIH中，VZJZ=90°,ZEAH=45°―4E=AB=2近

:

.EH=AH=2.

在RtZXEHC中，EC=02+52=V29

J近时PB-PC=FP-EF+PCMCE,

:

.PA+PB-PC>\/29,

:

.R4+PB-PC的最小值为后.

（3）如图5中，将厶庇绕点川逆时针旋转60°得到厶匠，则易知是等边三角形，

E

作EH丄BC于民交AD于G・

•••Ri^PD+PO=EF+FP+PQWEH・

易知£G=J£vsm60°=屆GH=AB=2.

•••EH=2+VJ,

:

.Ri+PD+PO

:

.Rl+PD+PO的最小值为V5+2.

考点二其它旋转中的最值问题

【方法点拨】正确的作岀辅助线构造全等三角形是解决此类题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握

旋转法添加辅助线•

碘例剖析】

I.（无锡一模）如图，正方形的边长为1,点P为EC上任意一点（可以与E点或C重合），分别过

B,C,D作射线的垂线，垂足分别是员C,D\则EB+CC十DD的最大值与最小值的和为二+@_・

【点拨】连接2C,DP,根据正方形的性质可得出AB=CDSf方形ABCD=1，由三角形的而枳公式即可

得出+CCf+DD'）=1,结合廿的取值范用即可得出肋'+CC'+DDf的范国，将其最大

值与最小值相加即可得出结论・

【解析】解：

连接2C,DP,如图所示・

•••四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1,

S”別皿8=1,

贝I］砂+CCr+DDf=命

・••当P与E重合时，有最大值2：

当P与C重合时，有最小值血.

:

.\f2

:

.BB'+CC-DD'^J最大值与最小值的和为2+V2.

故答案为：

2+0.

DC

2.（2019-金台区二模）如图，正方形，毎CD的边长为2齿，点E为正方形外一个动点，ZAED=45。

P为肋中点，线段PE的最大值是_V15+V6_・

BV

【点拨】当点E在正方形右侧时，连接VC,BD交于点O,连接PO,EO,根据J,C,E,D四点共圆，可得OE=OD=^BD=y/6.再根駄PEWOP-OE=屈+蒂,可得当点O在线段M上时，PE=OP+OE=V6+V3,则线段M的最大值为V6+V3；

当点E在正方形上方时，作斜边为-3的等腰直角厶」。

/），则点E在以O为圆心，CU为半径的圆上，当点P,点O,点E共线时，PE的值最大，求得此时PE最大值为佰+虫；

比较两个最大值，可得最终结果.

【解析】解：

如图，若点E在正方形右侧，连接JC,BD交于点0.连接PO,E0.

VZAED=45°,厶13=45°,

・•・』，C,E,D四点共圆，

•・•正方形ABCD的边长为2V3,

：

.OE=OD=^BD=届

TP为.0的中点，O是BD的中点，

0P=品、

•:

PEWOP+OE=V6+V3,

•••当点O在线段M上时，pe=op-oe=、E+书,即线段PE的最大值为虫+V3,如图，点E在正方形.18CD上方，

作斜边为的等腰直角AAOD.ZAOD=90J,

则点E在以O为圆心，02为半径的圆上，

•••当点只点O•点E共线时，PE的值最大，

过点0作ONLAB.交BA延长线于点N,

•.\£D=2V3,AO=DO,ZJOZ>=90°

:

.AO=V6,Z0.42）=45°,

TON丄-4B,AD丄肋

/.ZNA0=ZNOA=45°

:

・AN=NO=逅

:

.PO=y/PN2+ON2=V12+3=V15

:

.PE最大值为届+V6>V6+V3,

故答案为：

\/近+

3.（2018-无锡一模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点0为坐标原点，€）0的半径为1，点、』（2,0）.动点E在。

0上，连结从作等边Z\J5C

（A,B,C为顺时针顺序），求0C的最大值

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：

在图①中，连接0D以0B为边在0B的左侧作等边三角形BOE,连接JE.

（1）请你找出图中与0C相等的线段，并说明理由；

（2）线段0C的最大值为3.

【灵活运用】

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点2的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0）,点P为线段A8外一动点，且刃=2,PM=PB,ZBPM=90‘，求线段月M长的最大值及此时点P的坐标.

【迁移拓展】

（4）如图③，BC=4並、点D是以BC为直径的半圆上不同于2、C的一个动点，以加为边作等边厶ABD,请直接写出*C的最值.

（2）利用三角形的三边关系即可解决问题:

（3）连接将厶妒“绕着点戶顺时针旋转90°得到连接MN,得到ZUPN是等腰直角三角

形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2.BN=M根据当N在线段的延长线时.线段B中取得最大值，即可得到最大值为2x/2+3：

过P作PE丄x轴于根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论:

（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM,由HABC竺HDBW推出AC=A£D.推岀欲求2C的最大值，只要求出DW的最大值即可，由BC=4y/2=^值，ZBDC=9V,推出点D在以BC为直径的

O0上运动，由图象可知，当点D{£BC上方，DW丄EC时，DM的值最大;

【解析】解:

（1）如图①中，结论:

OC=.1E,

理由：

•••△J5C,都是等边三角形,

:

・BC—BA9

:

.ZCBO=ZABE.

:

・“CBO9、ABE、

•*.OC=AE,

•••血的最大值为3,：

.OC的最大值为3・故答案为3・

（3）如图1,连接BW,

菁优网

•••将绕着点P顺时针旋转90°得到连接zLM贝\\AAPN是等腰直角三角形,

:

.PN=PA=2,BN=AM.

•・T的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0）,

：

.OA=2,03=5,

・•・线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

・••当N在线段的延长线时，线段BV取得最大值（如图2中）

最大值乞拐-2N，

•:

AN=y/2AP=2\/2.

・••最大值为20+3；

如图2,过P作PE丄x轴于

•••△4PN是等腰直角三角形，

••PE~^1E=V2>

：

.OE=BO-AB-AE=5-3-返=2-近，

:

.P（2-返，V2）.

（4）如图4中，以BC为边作等边三角形

VZABD=ZCBM=60Q,

AZABC=ZDBM.9：

AB=DB,BC=BM.

:

.AABC^ADBM,

:

・AC=MD,

.・.欲求2C的最大值，只要求出ZL忆的最大值即可，

•.TC=4©=泄值，ZBDC=90°,

・••点D在以BC为直径的0O上运动，

由图象可知，当点D在BC±方，DM丄EC时，DM的值最大，最大值=2V2+2逅・

:

.AC的最大值为2迈+2后.

当点』在线段肋的右侧时，同法可得zlC的最小值为2V6-2V2.

4.如图1正方形ABCD,边CD在等腰三角形DEF的边D£±,AB=3,DE=5,连接ME、CF,点M、N分别是血'、CF的中点，连DM、DN、MN.

（1）直接写出JE与CF的关系和△DWV的形状.

（2）如图2,将等腰直角三角形DEF绕点》顺时针旋转a°（0°Wa£45°）,连接.匹、CF,点M、N分别是JE、CF的中点，连ZU/、DF、此时

（1）中的两个结论是否成立？

若成立，给出证明：

若不成立，说明理由.

（3）在

（2）的条件下，ZkECF的而积任旋转过程中变化吗？

若没有变化，请直接写岀而积：

若有变化，请直接写岀它的最大值和最小值.

團L图2

【点拨】

（1）如图1中，结论:

AE=CF,AE丄CF,是等腰直角三角形.证明\ADE9\CDFISAS）

即可解决问题.

（2）如图2中，结论成立.证明厶如圧竺△CDF（S2S）,再证明ZUDM幻△<»」¥（$$$）即可解决问题.

（3）△DMV的而积是变化的.求出△DMVifii积的最小值或最大值即可解决问题.

【解析】解：

（1）如图1中，结AE=CF,AE丄CF,△DWV是等腰直角三角形.

@1

理由：

延长FC交•花于H

•・•四边形MCD是正方形，

：

..1D=DC,Z4C=90°,

•••△DEF是等腰直角三角形，

:

・DE=DF,ZDEF=90°,

\\1D=DC,ZADE=ZCDE・DE=DF,

:

心ADE竺\CDF（SIS）,

：

..1E=CF.ZDCF=ZZW.

•••ZEAD+Z4ED=90°,ZHCE=ZDCF,•••ZHCE+ZAED=90°,

:

.ZCHE=90°,

丄CF,

CN=NF、

:

.DM=DN=；CF=CN=NF、

:

・DM=DN,Z.1DM=ZXL1D.乙DCN=ZNDC■

:

.ZADM=ZCDN,

:

.ZNDM=ZADC=90°,

•••△MDN是等腰直角三角形.

（2）如图2中，结论成立.

@2

理由：

延长FC交于H

VZADC=ZEDF=90Q,

•••ZADE=乙CDF、

\\1D=DC.DE=DF.

:

心ADE竺\CDF（SIS）,

：

..IE=CF.ZDCF=ZEAD.

•••ZDCF+ZDCH=180°,

:

.ZZ>^+ZDCH=180°,

AZJDC+Z-^C=180°,VZJDC=90°,

AZAHC=90°,

丄CF,

VAJZ）£^ACZ>F,DM.DN是三角形的中线,:

・DM=DN.AM=CN,\\4D=DC.

:

.HADMS△CDN（SSS）,

•••"DM=ZCDN,

:

.ZNDM=ZJDC=90°,

AAMDN是等腰直角三角形.

（3）如图3中，AECF的而枳在旋转过程中有变化.

①当DE与DC重合时，DM的长最小，此时△DMV的值最小，DM最小值=卜伽T万丽=卜

V32+52=学，

此时的而积=*X学X学=¥•

②当旋转角为45°时，D忆的值最大，此时△DMN的而积最大.

如图3中，D」=3,DE=5,ZJDA/=45°,作£囚丄£1」交D4的延长线于H,MKdAH于K・cry

则HE=DH=*

•:

MK//EH,AM=ME,

:

.AK=KH=i（DH-3）=*（竽一3）,磁=^EH=攀

:

.DAfi=M^+DK2=（―）2+[3+（—-3）]2=+

42224

••・的而积的最大值=半+罟.