A．m个B．n个C．CnmD．Cmn个
3.在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则该问题有（D）
A．无界解B．唯一最优解C．无可行解D．无穷多最优解
4.如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj′,Xj〞,同时令Xj＝（B）
A．Xj′＋Xj〞B．Xj′－Xj〞C．Xj〞－Xj′D．Xj
5.图解法适用于求解有关线性规划问题，但该问题中只能含有（B）
A.一个变量B.两个变量C.三个变量D.四个变量
6.线性规划模型三个要素中不包括（C）
A.决策变量B.目标函数C.基D.约束条件
7.下列图形中阴影部分构成的集合为凸集的是（A）
8.线性规划问题是求极值问题，这是针对（D）
A.约束B.决策变量C.秩D.目标函数
9.线性规划问题有可行解，则（A）
A.必有基可行解B.必有唯一最优解C.无基可行解D.无唯一最优解
10.线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是（D）
A.顶点与基可行解无关B．顶点少于基可行解C．顶点与基可行解无关D．顶点多于基可行解
11.线性规划问题有可行解，则必有（D）
A．系数矩阵B．基C．基本解D．基本可行解
12.下列关于可行解，基本解，基可行解的说法错误的是（B）
A．可行解中包含基可行解B．可行解与基本解之间无交集
C．线性规划问题有可行解必有基可行解D．满足非负约束条件的基本解为基可行解
13.在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量（B）
A.线性相关B.线性无关C.非线性相关D.非线性无关
14.若目标函数为求max，一个基可行解比另一个基可行解更好的标志是（A）
A.使Z更大B.使Z更小C.绝对值更大D.Z绝对值更小
15.运筹学中，“LP”表示（C）
A．整数规划B．非整数规划C．线性规划D．非线性规划
16.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在某集合中进行搜索即可得到最优解。
这个集合是（D）
A.基B.基本解C.基可行解D.可行域
二、多项选择题
1.在线性规划的一般表达式中，变量xij可能为（ABE）
A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于0E.等于0
2.求解线性规划问题解的结果可能有（ABCDE）
A.唯一最优解B.无可行解C.无穷多最优解D.无界解E.无最优
3.在线性规划问题中a23表示（AE）
A.i=2B.i=3C.i=5D.j=2E.j=3
4.若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能（ABCD）
A.无最优解B．有最优解C．有唯一最优解D．有无穷多个最优解E．有有限多个最优解
5.在线性规划问题的标准形式中，可能存在的变量是（ABC）
A.可控变量B.松驰变量C.剩余变量D.人工变量E.非基变量
6.若线性规划问题有可行解，则（CDE）
A.其可行域一定有界B.其可行域无界C.其可行域是一凸多边形
D.其可行域可能有界也可能无界E.有无数可行解
三、名词解释
1.可行解：
在线性规划问题中，凡满足所有约束条件的解称为线性规划问题可行解。
2.最优解：
满足约束条件而又使目标函数取得极值的解
3.可行域：
线性规划问题的可行解集合。
4.基本解：
在线性约束方程组中，对于选定的基B令所有的非基变量等于零，得到的解，称为线性规划问题的一个基本解。
5.非基变量：
在线性规划问题中，与非基向量相对应变量。
6.线性规划问题：
就是求一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。
7.图解法：
对于只有两个变量的线性规划问题，可以用在平面上作图的方法来求解，这种方法称为图解法。
四、简答题
1.根据以下条件建立线性规划数学模型
某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
单位产品
消耗
资源
A
B
C
资源
限量
原材料
1.0
1.5
4.0
2000
机械台时
2.0
1.2
1.0
1000
单位利润
10
14
12
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250，280和120件，问如何安排生产计划，使总利润最大？
解：
设X1,X2,X3分别设代表三种产品的产量，则线性规划模型为
maxZ=10X1+14X2+12X3
s·tX1+1.5X2+4X3≤2000
2X1+1.2X2+X3≤1000
200≤X1≤250
250≤X1≤280
X1，X2，X3≥0
2.把下列线性规划问题化成标准形式：
答：
maxZ’=－5x1+2x2
3.把下列线性规划问题化成标准形式：
minZ=2x1-x2+2x3
答：
4.线性规划数学模型具备哪几个要素？
答：
⑴求一组决策变量xi或xij的值（i=1，2，…mj=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；⑵表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；⑶表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数
5.根据所给条件建立线性规划模型。
某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?
答：
将10米长的钢筋截为3米和4米长，共有以下几种下料方式：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
3米
4米
0
2
1
1
2
0
设X1，X2，X3分别表示采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ种下料方式的钢筋数，则线性规划模型可写成：
minZ=X1+X2+X3
s·t2X2+3X3≥90
2X1+X2≥60
X1，X2，X3≥0
第三章
一、单项选择题
1.当已化为标准形的线性规划问题的系数矩阵中仍不存在可行基时，要构造可行基一般可以采取的方法是增加（C）
A．松弛变量B．决策变量C．人工变量D．剩余变量
2.在线性规划典式中，所有基变量的目标系数为（B）
A.MB.0C.1D.-1
3.在单纯形表的终表中，若若非基变量的检验数有0，那么最优解（A）
A．不存在B．唯一C．无穷多D．无穷大
4.若在单纯形法迭代中，有两个Q值相等，当分别取这两个不同的变量为入基变量时，获得的结果将是（C）
A.先优后劣B.先劣后优C.相同D.会随目标函数而改变
5.当线性规划问题的系数矩阵中不存在现成的可行基时，若要构造可行基一般可以采取的方法是增加（C）
A.松弛变量B.决策变量C.人工变量D.剩余变量
6.若某个约束方程中含有系数列向量为单位向量的变量，则该约束方程不必再引入（C）
A．松弛变量B．剩余变量C．人工变量D．自由变量
7.求目标函数为极大的线性规划问题时，若全部非基变量的检验数≤O，且基变量中有人工变量时该问题有（B）
A．无界解B．无可行解C．唯一最优解D．无穷多最优解
8.单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数（C）
A.绝对值最大B.绝对值最小C.正值最大D.负值最小
9.线性规划的代数解法主要利用了代数消元法的原理来实现一种转换寻找最优解.这种转换是（C）
A.基B.基本解C.基可行解D.最优解
10.出基变量的含义是（D）
A．该变量取值不变B．该变量取值增大C．由0值上升为某值D．由某值下降为0
11.在单纯形迭代过程中，若此问题是无界,则有某个δk>0对应的非基变量xk的系数列向量Pk（D）
A.大于零B.小于零C.大于等于零D.小于等于零
12.用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引入的人工变量在目标函数中的系数应为（B）
A.0B.-1C.1D.-M
13.下列说法错误的是（B）
A.图解法与单纯形法从几何理解上是一致的B.在单纯形迭代中，进基变量可以任选
C.在单纯形迭代中，出基变量必须按最小比值法则选取D.人工变量离开基底后，不会再进基
14.入基变量的含义是（C）
A．该变量取值不变B．该变量取值增大C．由0值上升为某值D．由某值下降为0值
15.在单纯形迭代中，出基变量在紧接着的下一次迭代中立即入基的可能性为（B）
A．会B．不会C．可能性很大D．可能性很小
二、多项选择题
1.下列解中可能成为最优解的有（ABCDE）
A.基可行解B.迭代一次的改进解
C.迭代两次的改进解D.迭代三次的改进解E.所有检验数均小于等于0且解中无人工变量
2.设X
（1），X
（2）是用单纯形法求得的某一线性规划问题的最优解，则说明（ACDE）
A．此问题有无穷多最优解B．该问题是退化问题
C．此问题的全部最优解可表示为λX
（1）+（1一λ）X
（2），其中0≤λ≤1
D．X
（1），X
（2）是两个基可行解E．X
（1），X
（2）的基变量个数相同
3.某线性规划问题，含有n个变量，m个约束方程，（mA.该问题的典式不超过CNM个B.基可行解中的基变量的个数为m个
C.该问题一定存在可行解D.该问题的基至多有CNM=1个E．该问题有111个基可行解
三、计算题
1.下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量，表中解代入目标函数后得Z=10
Xl
X2
X3
X4
－10
b
-1
f
g
X3
2
C
O
1
1／5
Xl
a
d
e
0
1
（1）求表中a～g的值
（2）表中给出的解是否为最优解?
解：
（1）a=2b=0c=0d=1e=4/5f=0g=－5
（2）表中给出的解为最优解
2.用单纯形法求解下列线性规划问题：
maxZ=3x1+5x2
x1≤15
s·t2x2≤12
3x1+2x2≤18
x1，x2≥0
解：
化为标准形式
maxZ=3x1＋5x2＋x3＋0x4＋0x5
s·tx1+x3=15
2x2+x5=12
3x1+2x2+x5=18
xj≥0（j=1,……，5）
cj
35000
CBxBb
x1x2x3x4x5
0x315
0x412
0x518
10100
0
（2）010
32001
cj－zj
35000
0x315
0x46
0x56
10100
0101/20
（3）00－11
cj－zj
300－5/20
0x313
5x26
3x12
0011/3－1/3
0101/20
100－1/31/2
cj－zj
000－3/2－1
最优解X﹡=（2，6，13，0，0）TZ﹡=36
3.用大M法求解下列线性规划问题
解：
化为标准形式
maxZ=x1+2x2+3x3－x4－mx5－mx6
s·tx1+2x2+3x3+x5=15
2x1+x2+5x3+x6=20
x1+2x2+x3+x4=10
xj≥0（j=1,……，6）
cj
123–1–M–M
CBxBb
x1x2x3x4x5x6
－Mx515
－Mx620
－1x410
123010
215001
1
（2）1100
cj－zj
4M+15M+29M+3000
－Mx55
－Mx615
2x25
002-110
（3/2）04/2-1/201
1/211/21/200
cj－zj
M0
M+2-
M+200
－Mx55
1x110
2x20
00
（2）-110
103-1/302/3
0112/30-1/3
cj－zj
002M+2-M-20-M
3x15/2
1x15/2
2x25/2
001-1/21/20
1007/6-3/22/3
01011/2-1/3
cj－zj
000-7/2-M-1-M
x*=（
，
，
，0，0，0）T，z*=15
4.用单纯形法求解线性规划问题
minZ=－2x1+x2+x3
s·t3x1+x2+x3≤60
x1－x2+2x3≤10
x1+x2－x3≤20
xj≥0（j=1,2，3）
解：
化为标准形式
maxZ’=2x1－x2＋x3
s·t3x1+x2+x3+x4=60
x1－x2+2x3+x5=10
x1+x2－x3+x6=20
xj≥0（j=1,……，6）
cj
2－11000
CBxBb
x1x2x3x4x5x6
0x460
0x510
0x620
311100
（1）－12010
11－1001
cj－zj
2－11000
0x430
0x110
0x610
04－51－30
1－12010
0
（2）－30－11
cj－zj
01－30－20
0x410
2x115
－1x25
0011－1－2
101/201/21/2
01－3/20－1/21/2
cj－zj
00－5/20－1/2－1/2
最优解X﹡=（15，5，0，10，0，0）TZ﹡=－25
5.用图解法求解下列线性规划问题。
maxZ=10x1+5x2
3x1+4x2≤9
s.t5x1+2x2≤8
x1,x2≥0
解：
X2
4
2
A（2，
）
OB1
3X1
最优点为A（1，
）
最优解为X*=（1，
）T
表一对应O点（0，0）
表二对应B点（1
，0）
表三对应A点（1，
）
第四章
一、单项选择题
1.若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则CX﹡与Y﹡B的关联关系为（C）
A．CX﹡≥Y﹡BB．CX﹡≤Y﹡BC．CX﹡=Y﹡BD．CX﹡≮Y﹡B
2.线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（A）
A.ATB.A-TC.-ATD.AT-1
3.如果z。
是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡有（A）
A．W﹡=Z﹡B．W﹡≠Z﹡C．W﹡≤Z﹡D．W﹡≥Z﹡
4.若某种资源的影子价格等于k。
在其他条件不变的情况下（假设原问题的最佳基不变），当该种资源增加3个单位时，相应的目标函数值将增加（A）
A.6KB.5KC.4KD.3k
5.设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（D）
A.min=YbYA≥cY≥0B.max=YbYA≥cY≥0C.min=YbYA≤cY≥0D.max=YbYA≤cY≥0
6.对偶问题的对偶问题是（D）
A．极大问题B．极小问题C．对偶问题D．原问题
7.线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y﹡=（A）
A．CBB－1B．CBBC．CB-1BD．C-1BB
8.对偶单纯形法的迭代起始点是（A）
A.正则解B.最优解C.可行解D.基本解
9.若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题（B）
A.可行B.不可行C.无界D.有界
10.若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则下面有关式子中正确的是（C）
A.CX﹡≥Y*bB.CX﹡≤Y*bC.CX﹡=Y*bD.CX﹡>Y*b
11.影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的某个变量的数量表现。
这个变量是（A）
A．基变量B．非基变量C．决策变量D．对偶变量
12.如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为（A）
A．等式B．严格不等式C．大于等于D．小于等于
13.设
、
分别是标准形式的原问题与对偶问题的可行解,则有（C）
14.在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0（j=1，2，…n），则原问题（D）
A.无界解B.唯一最优解C.无穷多最优解D.无解
15.在下列线性规划问题中，采用求其对偶问题的方法，单纯形迭代的步骤一般会增加的是（B）
二、多项选择题
1.根据对偶理论，在求解线性规划的原问题时，可以得到相关信息包括（ACD）
A．对偶问题的解B．市场上的稀缺情况C．影子价格D．资源的购销决策E．资源的市场价格
2.如线性规划的原问题为求极大值型，则下列关于原问题与对偶问题的关系中正确的有（BCDE）
A.原问题的约束条件“≥”，对应的对偶变量“≥0”B.原问题的约束条件为“=”，对应的对偶变量为自由变量
C.原问题的变量“≥0”，对应的对偶约束“≥”D．原问题的变量“≤O”对应的对偶约束“≤”
E．原问题的变量无符号限制，对应的对偶约束“=”
3.下列有关对偶单纯形法的说法正确的有（ABCD）
A．在迭代过程中应先选出基变量，再选进基变量B．当迭代中得到的解满足原始可行性条件时，即得到最优解
C．初始单纯形表中填列的是一个正则解D．初始解不需要满足可行性E．初始解必须是可行的
三、简答题
1.一对对偶问题可能出现的情形。
答：
①原问题和对偶问题都有最优解，且二者相等；②一个问题具有无界解，则另一个问题具有无可行解；③原问题和对偶问题都无可行解。
2.写出下列线性规划问题的对偶问题
minZ=2x1+2x2+4x3
解：
maxWˊ=2y1+3y2+5y3
s．t2y1+3y2+y3≤2
3y1－y2+4y3≤2
－5y1+7y2+6y3≤4
y1≥0，y2≤0，y3≤0
四、计算题
1.已知线性规划问题
应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25
2、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
解：
化为标准形式
maxZ’=－3x1－2x2－x3＋0x4＋0x5＋0x6
s·tx1+x2+x3+x4=6
－x1+x3+x5=－4
－x2+x3+x6=－4
xj≥0（j=1,……，6）
cj
－3－2－1000
CBxBb
x1x2x3x4x5x6
0x46
0x5－4
0x6－4
111100
（－1）01010
0－11001
cj－zj
－3－2－1000
0x42
－3x14
0x6－4
012110
10－10－10
0（－1）1
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