垂径定理优秀自己总结111.ppt

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问题问题：

你知道赵州桥吗：

你知道赵州桥吗?

它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度（弧所对的弦的长弧所对的弦的长）为为37.4m,37.4m,拱高拱高（弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离）为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？

你能你能破镜重破镜重圆圆吗？

吗？

把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？

由此你对折，重复几次，你发现了什么？

由此你能得到什么结论？

能得到什么结论？

可以发现：

可以发现：

圆是圆是轴对称轴对称图形，任意一条图形，任意一条直径直径所所在直线都是它的对称轴在直线都是它的对称轴实践探究实践探究观察并回答观察并回答

（1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗？

吗？

（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？

平分？

思考：

当非直径的弦思考：

当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系时，弦有什么位置关系时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？

平分？

看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE如图，如图，AB是是O的一条弦，作的一条弦，作直径直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E

（1）这个图形是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

）这个图形是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？

为什么？

）你能发现图中有那些相等的线段和弧？

为什么？

OABCDE线段：

线段：

AE=BE弧：

，弧：

，AM=BM,垂径定理AB是是O的一条弦的一条弦.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.OABCDMn由由CD是直是直径径CDAB可推得可推得AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论垂径定理证明垂径定理证明如图如图,小明的理由是小明的理由是:

连接连接OA,OB,OA,OB,驶向胜利的彼岸OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.MOACBN直线直线MN过圆心过圆心MNABAC=BC垂径定理垂径定理AM=MBAN=NB垂直垂直于弦的直于弦的直径平分这径平分这条弦，并条弦，并且平分弦且平分弦所对的两所对的两条弧条弧.垂径定理垂径定理三种语言三种语言定理定理垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.驶向胜利的彼岸OABCDMCDAB,如图如图CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.以下三个图以下三个图,是否有是否有AE=BE,AC=BC,AD=BD?

ABCDEOABCDEOABCDEO直径直径垂直垂直弦弦才能平分弦才能平分弦,平分弦所对的弧平分弦所对的弧.在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧如图，已知在如图，已知在O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求O的半径。

的半径。

E.ABO解：

连结解：

连结OA.过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。

AB8厘米厘米AE4厘米厘米在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米O的半径为的半径为5厘米厘米练习练习解得：

解得：

R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2解：

因为解：

因为如图，用如图，用表示主桥拱，设表示主桥拱，设所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D是是AB的中点，的中点，C是是的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高7.218.71.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.巩固练习2.一条排水管的截面如图所示排水管的一条排水管的截面如图所示排水管的半径半径OB=10，水面宽，水面宽AB=16，求截面圆心，求截面圆心O到水面的距离到水面的距离OCOABC16MOACBN直线直线MN过圆心过圆心MNABAC=BC垂径定理垂径定理AM=MBAN=NB垂直垂直于弦的直于弦的直径平分这径平分这条弦，并条弦，并且平分弦且平分弦所对的两所对的两条弧条弧.讨论讨论

（1）过圆心（）过圆心

（2）垂直于）垂直于弦弦（3）平分弦）平分弦（4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧（5）平分弦）平分弦所对的劣弧所对的劣弧OABCDMMOACBN直线直线MN过圆心过圆心AC=BCMNAB弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索一探索一：

结论结论：

注意：

注意：

AB不是直径不是直径如图如图:

ABAB是是OO的一条弦的一条弦，直径，直径CDCD交交ABAB于于MM，AM=BMAM=BM垂径定理的推论OABCDM连接连接OA,OB,OA,OB,则则OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAMOBM.AMO=BMO.CDABO关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦弦,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧.OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。

垂直。

因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。

不一定成立。

推论推论1.

（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

弦所对的两条弧。

CDMOACBNMNABAC=BC直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索二探索二：

推论推论:

（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBNMNABAC=BC弧弧AM=弧弧BM直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AN=弧弧BN探索三探索三：

推论推论:

（3）（3）平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径,垂直平垂直平分弦分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。

的另一条弧。

（1）（4）（5）

（2）（3）

（1）（5）

（2）（3）（4）讨论讨论

（1）（3）

（2）（4）（5）

（1）（4）

（2）（3）（5）

（1）过圆心（）过圆心

（2）垂直于）垂直于弦弦（3）平分弦）平分弦（4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧（5）平分弦）平分弦所对的劣弧所对的劣弧（3）（5）（3）（4）

（1）

（2）（5）

（2）（4）

（1）（3）（5）

（2）（5）

（1）（3）（4）

（1）

（2）（4）（4）（5）

（1）

（2）（3）OABCDM每条推论如何用语言表示？

OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理想一想想一想P9199条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。

如果具备一条直线来说。

如果具备

（1）过圆心）过圆心

（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论推出其他三个结论结论结论一、判断下列说法的正误一、判断下列说法的正误平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分OABCDM33半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是。

8cmAABBOOEEAABBOOEEOOAABBEE11半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm,那么圆心那么圆心OO到弦到弦ABAB的距离是的距离是。

2OO的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心OO到弦到弦ABAB的的距距离为离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是。

二、填空：

二、填空：

OOAABBEE变形变形22、CE=8,DE=2,CE=8,DE=2,则则AB=AB=。

DDCC变形变形11、AB=8,AB=8,CD=10,CD=10,则圆心则圆心OO到到ABAB的距离的距离是是。

变形变形33、CD=10,AB=8,CD=10,AB=8,则则DE=DE=。

338822若若CDCD为圆为圆OO的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于点于点E,E,到弦的距离用到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r表示，表示，弦长用弦长用a表示，这三者之间有怎样的关表示，这三者之间有怎样的关系？

系？

OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧44、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的距离是距离是__.2cm或或14cm1如图，在如图，在O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求O的半径的半径OABE试一试！

你行吗？

试一试！

你行吗？

解：

解：

答：

答：

O的半径为的半径为5cm.在在RtAOE中中2：

已知：

如图，在以：

已知：

如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，