文科立体几何知识点方法总结复习.docx
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文科立体几何知识点方法总结复习
立体几何知识点整理
一.直线和平面的三种位置关系:
1.线面平行
符号表示:
2.线面相交
符号表示:
3.线在面内
符号表示:
二.平行关系:
1.线线平行:
方法一:
用线面平行实现。
方法二:
用面面平行实现。
方法三:
用线面垂直实现。
若,则。
方法四:
用向量方法:
若向量和向量共线且l、m不重合,则。
2.线面平行:
方法一:
用线线平行实现。
方法二:
用面面平行实现。
方法三:
用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量,且,则。
3.面面平行:
方法一:
用线线平行实现。
方法二:
用线面平行实现。
三.垂直关系:
1.线面垂直:
方法一:
用线线垂直实现。
方法二:
用面面垂直实现。
2.面面垂直:
方法一:
用线面垂直实现。
方法二:
计算所成二面角为直角。
3.线线垂直:
方法一:
用线面垂直实现。
方法二:
三垂线定理及其逆定理。
方法三:
用向量方法:
若向量和向量的数量积为0,则。
三.夹角问题。
(一)异面直线所成的角:
(1)范围:
(2)求法:
方法一:
定义法。
步骤1:
平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:
解三角形求出角。
(常用到余弦定理)
余弦定理:
(计算结果可能是其补角)
方法二:
向量法。
转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角):
(二)线面角
(1)定义:
直线l上任取一点P(交点除外),作PO于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,(图中)为直线l与面所成的角。
(2)范围:
当时,或
当时,
(3)求法:
方法一:
定义法。
步骤1:
作出线面角,并证明。
步骤2:
解三角形,求出线面角。
(三)二面角及其平面角
(1)定义:
在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
(2)范围:
(3)求法:
方法一:
定义法。
步骤1:
作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
步骤2:
解三角形,求出二面角的平面角。
方法二:
截面法。
步骤1:
如图,若平面POA同时垂直于平面,则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2:
解三角形,求出二面角。
方法三:
坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一:
计算
步骤二:
判断与的关系,可能相等或者互补。
四.距离问题。
1.点面距。
方法一:
几何法。
步骤1:
过点P作PO于O,线段PO即为所求。
步骤2:
计算线段PO的xx。
(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)
2.线面距、面面距均可转化为点面距。
3.异面直线之间的距离
方法一:
转化为线面距离。
如图,m和n为两条异面直线,且,则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二:
直接计算公垂线段的xx。
方法三:
公式法。
如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,,则异面直线m和n之间的距离为:
高考题典例
考点1点到平面的距离
例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
(Ⅰ)求证:
平面;(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
解答过程(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.,为二面角的平面角.
在xx,由等面积法可求得,
又,.
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由,得,.
点到平面的距离为.
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离.
解答过程:
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
为的中位线,∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,
在Rtxx,
在Rtxx,
又由于,即,解得故CD与SE间的距离为.
考点3直线到平面的距离
例3.如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离.
思路启迪:
把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.
解答过程:
解析一∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求
点O平面的距离,
,,平面,
又平面平面,两个平面的交线是,
作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离.
在xx,.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则
即BD到平面的距离等于.
小结:
当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.
考点4异面直线所成的角
例4如图,在xx,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角.是的xx点.
(I)求证:
平面平面;
(II)求异面直线与所成角的大小.
解答过程:
(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
,又,平面,
又平面.平面平面.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在xx,,,.
又.在xx,.
异面直线与所成角的大小为.
小结:
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:
①平移法:
在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:
把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:
.
考点5直线和平面所成的角
例5.四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,.
(Ⅰ)证明;(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
解答过程:
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面.
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,
故,由,,,得,.的面积.
连结,得的面积
设到平面的距离为,由于,得,解得.
设与平面所成角为,则.
所以,直线与平面所成的我为.
小结:
求直线与平面所成的角时,应注意的问题是
(1)先判断直线和平面的位置关系;
(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:
①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.
考点6二面角
例6.如图,已知直二面角,,,,,,直线和平面所成的角为.(I)证明
(II)求二面角的大小.
过程指引:
(I)在平面内过点作于点,连结.
因为,,所以,
又因为,所以.
而,所以,,
从而,又,
所以平面.因为平面,故.
(II)由(I)知,,又,,
,所以.过点作于点,连结,由三垂线定理知,.故是二面角的平面角.
由(I)知,,所以是和平面所成的角,则,
不妨设,则,.
在xx,,所以,于是在xx,.故二面角的大小为.
小结:
本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:
①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
考点7利用空间向量求空间距离和角
例7.如图,已知是棱长为的正方体,
点在上,点在上,且.
(1)求证:
四点共面;
(2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:
平面;
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.
过程指引:
(1)如图,在上取点,使,连结,,则,.
因为,,所以四边形,都为平行四边形.从而,.
又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以,
.
因为,所以为平行四边形,从而.
又平面,所以平面.
(3)如图,连结.因为,,所以平面,得.于是是所求的二面角的平面角,即.
因为,所以
,.