高考专题复习之必修二空间几何体的结构.docx

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高考专题复习之必修二空间几何体的结构

人教版高中数学必修二专题复习讲义

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课题

空间几何体的结构复习

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教学内容

空间几何体的结构复习

【要点梳理】

知识点一、棱柱的结构特征

1、定义：

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．

2、棱柱的分类：

底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为

、

、

；

②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱

或棱柱

等；五棱柱可表示为棱柱

、棱柱

等；六棱柱可表示为棱柱

、棱柱

、棱柱

等．

4、棱柱的性质：

棱柱的侧棱相互平行.

要点诠释：

有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．

判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：

“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．

知识点二、棱锥的结构特征

1、定义：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；

2、棱锥的分类：

按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；

3、棱锥的表示方法：

用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥

．

要点诠释：

棱锥有两个本质特征：

（1）有一个面是多边形；

（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．

知识点三、圆柱的结构特征

1、定义：

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．

2、圆柱的表示方法：

用表示它的轴的字母表示，如圆柱

要点诠释：

（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．

（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．

（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．

知识点四、圆锥的结构特征

1、定义：

以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．

2、圆锥的表示方法：

用表示它的轴的字母表示，如圆锥

．

要点诠释：

（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．

（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．

（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．

知识点五、棱台和圆台的结构特征

１、定义：

用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.

2、棱台的表示方法：

用各顶点表示，如四棱台

；

3、圆台的表示方法：

用表示轴的字母表示，如圆台

；

要点诠释：

（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．

（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．

（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.

（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．

知识点六、球的结构特征

1、定义：

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.

2、球的表示方法：

用表示球心的字母表示，如球O.

要点诠释：

（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．

（2）若半径为

的球的一个截面圆半径为

，球心与截面圆的圆心的距离为

，则有

．

知识点七、特殊的棱柱、棱锥、棱台

特殊的棱柱：

侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；

特殊的棱锥：

如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；

特殊的棱台：

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；

注：

简单几何体的分类如下表：

知识点八、简单组合体的结构特征

1、组合体的基本形式：

①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；

2、常见的组合体有三种：

①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.

①多面体与多面体的组合体

由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图

（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图

（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．

②多面体与旋转体的组合体

由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图

（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图

（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．

③旋转体与旋转体的组合体

由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图

（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图

（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．

知识点九、几何体中的计算问题

几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：

（1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．

（2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．

（3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．

（4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．

（5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．

（6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．

【典型例题】

类型一：

简单几何体的结构特征

例1．判断下列说法是否正确．

（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；

（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；

（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；

（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．

举一反三：

【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）

例2．有下面五个命题：

（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；

（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；

（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；

（4）正四面体就是正四棱锥；

（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．

其中正确命题的个数是（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

举一反三：

【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？

如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．

举一反三：

【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？

为什么？

类型二：

几何体中的基本计算

例4．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2．求

（1）圆台的高；

（2）截得此圆台的圆锥的母线长．

举一反三：

【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：

9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．

类型三、简单几何体的组合体

例5．

（1）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能的图形是（）

A．①③B．②④C．①②③D．②③④

举一反三：

【变式1】圆锥底面半径为1cm，高为

，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题

例6．长方体ABCD-A1B1C1D1（如图）中，AB=3，BC=4，A1A=5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C．来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．

举一反三：

【变式1】圆台的上、下底面半径分别为5cm、10cm，母线长A8=20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子，绕圆台侧面转到A点，如图．求：

（1）绳子的最短长度；

（2）当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．

课后作业

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作业内容

作业得分

作业内容

【巩固练习】

1．下列说法中正确的是（）

A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

C．棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

2．下列命题中正确的是（）

A．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥

B．长方形绕二条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱

C．直角梯形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆台

D．圆柱的任意两条母线相互平行

3．下面的图形可以构成正方体的是（）

4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体过P、Q、R的截面是（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

5．下列命题中，正确的是（）

A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形

B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形

C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形

D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形

6．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于

、

，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1。

其中真命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

7．圆台两底面半径分别是2cm和5cm，母线长是3／10cm，则它的轴截面的面积是________．

8．已知地球半径为

，北纬

纬线的长度为。

9．三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R，则这个三棱柱的底面边长为________．

10．正四棱台的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高。

11．正四棱锥（棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形）有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上.若棱锥的底面边长为a，高为h，求内接正方体的棱长.

12．如右图，圆柱侧面上有两点B、D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程逮着苍蝇？

最短路程是多少？