北师大版七年级数学下册三角形难题全解.docx
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北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：
2011-2012学年某省某市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）
考点：
三角形
c:
\iknow\docshare\data\cur_work\.manfen5\shiti\ccz_sx\
如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．
求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．
【答案】
见解析
【解析】解：
（1）证明：
在△AEO与△BFO中，
∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，
∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF；
（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，
由
（1）知：
∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，
∴AE⊥BF．
（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；
（2）由
（1）知：
∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF
来源：
2012-2013学年某省八年级上期中考试数学试卷（解析版）
考点：
四边形
c:
\iknow\docshare\data\cur_work\manfen5\shiti\ccz_sx\
如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=
AB,已知△ABE≌△ADF.
（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；
（2）线段BE与DF有什么关系？
证明你的结论.
【答案】
（1）绕点A旋转90°；
（2）BE=DF，BE⊥DF．
【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质
（1）根据旋转的概念得出；
（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．
（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．
（2）BE=DF，BE⊥DF；
延长BE交DF于G；
由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；
又∠AEB=∠DEG；
∴∠DGB=∠DAB=90°；
∴BE⊥DF．
来源：
2012年某省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）
如图，在△abc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.
1.求
的度数；
2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.
【答案】
1.∠BFD=∠ABF+∠BAD（三角形外角等于两内角之和）
∵∠BAD=∠EBC，
∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，
∴∠BFD=∠ABC=30°；
2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）
∵EH⊥BE，
∴∠HEB=90°，
∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．
【解析】
1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，
2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．
三角形强化训练和深化☣
1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°．
解析：
由题意可知折叠前，由BC//AD得：
∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，
∠GEF=∠DEF=25°
所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°
又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°
则由：
∠DGF+∠GFC=180°
所以：
∠GFC=180°－50°＝130°
将纸带再沿BF第二次折叠成图C后
∠GFC角度值保持不变
且此时：
∠GFC＝∠EFG+∠CFE
所以：
∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=105
2、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：
AE＝BG．
解法1：
【解析】证明：
∵∠BAC=900
AD⊥BC
∴∠1=∠B
∵CE是角平分线
∴∠2＝∠3
∵∠5＝∠1+∠2
∠4＝∠3+∠B
∴∠4＝∠5
∴AE＝AF
过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N
∴MN//AB
∵FG//BD
∴四边形GBDF为平行四边形
∴GB=FN
∵AD⊥BC,CE为角平分线
∴FD=FM
在Rt△AMF和RtNDF中
∴△AMF≌△NDF
∴AF＝FN
∴AE＝BG
解法2：
解：
作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EG=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
∵在△AFG和△EHB中，
∠GAF=∠BEH
∠AGF=∠B
AF=EH
，∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．
3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．
解：
作CF⊥AB于F，交AD于G，
如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，
∴∠1=∠2，
在△AGC和△CEB中
∠1=∠2
AC=CB
∠ACG=∠CBE
，∴△AGC≌△CEB（ASA），
∴CG=BE，
∵AD为腰CB上的中线，
∴CD=BD，
在△CGD和△BED中
CG=BE
∠GCD=∠B
CD=BD
，∴△CGD≌△BED（SAS），
∴∠CDA=∠EDB．
4、如图，已知AD和BC相交于点O，且
均为等边三角形，以
平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
求证：
也是等边三角形
证明：
∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．
∵四边形ODEB是平行四边形，
∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．
∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
∴△ABE≌△EDC．
∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．
∵BE∥AD，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠EAD=∠ECD．
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠ADC=60°．
∴△ACE为等边三角形．
5.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+BO=8.求AD+BC的值.
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点，且
求证：
BD=BA。
解：
如图：
以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，
∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED；
又∵AE=ED，BE=BE，
∴△BEA≌△BED（SAS），
∴BA=BD．
7.已知，如图D是
的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC
求证：
延长CA至F，使得AF=CA
则三角形DAF与三角形BAC全等，
DF=BC,且又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足
。
求
的周长。
过D做AC和AB的垂线交与HG
找到一个I点，使∠EDI=60度
可以证明。
过D做AC和AB的垂线交与HG
找到一个I点，使∠EDI=60度
那么三角形HDF和GDI全等。
证明：
∠HDG=120∠FDI=120（2个60度相加）
∠HDG-∠FDG=∠FDI-∠FDG
∠HDF=∠GDI
DH=GD
∠DHF=∠DGI=90度
由此可知FD=ID
那么三角形FDE和IDE全等。
证明：
因为FD=ID
ED=ED
∠FDE=∠IDE=60°
由此可知FE=IE（蓝色线）
那么三角形AFD和BID全等。
证明：
∠ADB=120∠FDI=120（2个60度相加）
∠ADB-∠ADI=∠FDI-∠ADI
所以∠BDI=∠FDA
因为FD=ID，AD=BD
那么，AE=BI（红色线）
最后，AE+EF+FA=AE+EI+IB=单边长。
为固定值。
初一下册数学难题（全内容）
1、解方程：
，则
=60°
2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg，问10%和5%的盐水各需多少kg？
设需10%的盐水X千克，则需要5%的盐水（10-X）千克
X*10%+（10-X）*5%=10*8%
5%X=0.3
X=6
10-6=4（千克）
所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克
3、已知
的解为正数，则k的取值X围是
4、
（2）若
的解为x＞3，则a的取值X围
（3）若
的解是-1＜x＜1，则（a+1）（b-2）=
（4）若2x＜a的解集为x＜2，则a=
（5）若
有解，则m的取值X围
5、已知
，x＞y，则m的取值X围；
6、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？
7、已知
，则x=，y=；
8、已知
（
），则
，
；
9、当m=时，方程
中x、y的值相等，此时x、y的值=。
10、已知点P（5a-7,-6a-2）在二、四象限的角平分线上，则a=。
11、
的解是
的解，求
。
12、若方程
的解是负数，则m的取值X围是。
13、船从A点出发，向北偏西60°行进了200km到B点，再从B点向南偏东20°方向走500km到C点，则∠ABC=。
14、
的解x和y的和为0，则a=。
15、a、b互为相反数且均不为0，c、d互为倒数，则
。
a、b互为相反数且均不为0，则
。
a、b互为相反数，c、d互为倒数，
，则
。
16、若
，则m0。
（填“＞”、“＜”或“=”）
17、计算：
；
。
18、若
与
互为相反数，则
。
19、倒数等于它本身的数是：
；相反数等于它本身的数是：
。
20、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？
21、如图
（1）,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E
的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
图1图2图3
（1）试说明:
BD=DE+CE.
∵∠ABD+∠BAD=90°,∠CAE+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE
在Rt△ABD和Rt△CAE中，∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA=90°,AB=CA,∴△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE,∵DE+AD=AE,∴DE+CE=AE=BD
（2）若直线AE绕A点旋转到图
（2）位置时（BD不需说明.
DE=BD+CE（AAS）
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
DE=BD+CE（AAS）
22、如图,已知:
等腰Rt△OAB中,∠AOB=900,等腰Rt△EOF中,∠EOF=900,连结AE、BF.求证:
（1）AE=BF;
（2）AE⊥BF.
证明：
（1）
∵∠AOE+∠EOB=∠AOB=90º
∠BOF+∠EOB=∠EOF=90º
∴∠AOE=∠BOF
又∵AO=BO，EO=FO
∴⊿AOE≌⊿BOF（SAS）
∴AE=BF
（2）
∵⊿AOE≌⊿BOF
∴∠OAE=∠OBF
延长AE交BF于G
∵∠ABO+∠BAE+∠OAE=90º
∴∠ABO+∠BAE+∠OBF=90º
∴∠AGB=90º
即AE⊥BF
23、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=
AB，
已知△ABE≌△ADF.
（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（3分）
（2）线段BE与DF有什么关系？
证明你的结论。
（10分）
BE=DF且垂直于DF
过程如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
∵E是AD的中点
∴AE=1/2AD
又∵AF=1/2AB
∴AE=AF
∵∠DAB=90°
∴∠DAF=90°
∴△DFA≌△BEA（边角边）
∵∠FDA+∠F=90°，∠EBA=∠FDA
∴∠F+∠EBA=90°
∴∠FPB=90°（P是延长后交DF的点）
∴BE⊥DF
24、上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？
若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（9分）
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？
请说明理由.（5分）
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