考研考研数学大纲详解教材分析.docx
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考研考研数学大纲详解教材分析
高等数学
考研指定教材：
同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）
第一章函数与极限（7天）（考小题）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第1节：
映射与函数
（一般章节）
函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）
习题1－1：
4，5，6，7，8，9，13，
15，16（重点）
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
第2节：
数列的极限
（一般章节）
数列定义，数列极限的性质（唯一性、有界性、保号性）（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）
习题1－2：
1
第3节：
函数的极限
（一般章节）
函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）P33（例4,例5）（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）
习题1－3：
1，2，3，4
第4节：
无穷大与无穷小（重要）
无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）
（例2不用看，定理2不用证明）
习题1－4：
1，6
第5节：
极限的运算法则（掌握）
极限的运算法则（6个定理以及一些推论）
（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46（例3,例4）,P47（例6）
习题1－5：
1，2，3，4,5（重点）
第6节：
极限存在准则（理解）
两个重要极限（重要）
两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）
P51（例1）习题1－6：
1，2，4
第7节：
无穷小的比较（重要）
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）
P57（例1）P58（例5）习题1－7：
全做
第8节：
函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）
函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。
例1－例5习题1－8：
1，2，3，4，5（重点）
第9节：
连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）
连续函数的运算与初等函数的连续性（包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性）（定理3,4的证明不用看）
例4－例8习题1－9：
1，2，3，4，5，6（重点）
第10节：
闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题特别是证明题会用到）
理解闭区间上连续函数的性质:
有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理（零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法）.（一致连续性不用看）例1－例2
习题1－10：
1，2，3，5（要会用5题的结论）
自我小结
总复习题一：
除了7，8，9以外均做，
3,5,11,14（重点）
本章测试题－检验自己是否对本章的复习合格（合格成绩为80分以上），如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。
第二章导数与微分（6天）（小题的必考章节）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第1节:
导数的概念（重要）
导数的定义、几何意义、物理意义（数三不作要求，可不看，数三要知道导数的经济意义：
边际与弹性），单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限.会求平面曲线的切线方程和法线方程.（导数定义年年必考）例1－例6
习题2－1：
3,4,5，6，7,8，11，15，16，17，18,19,（重点）20
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
第2节：
函数的求导法则
（考小题）
复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法（基本求导法则与求导公式要非常熟）（定理1，3的证明不用看，例1，17不用做，定理2的证明理解，例6,7,8重点做）
习题2－2：
除2,3,4,12不用做，其余全做，13,14重点做
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
第3节：
高阶导数
（重要，考的可能性很大）
高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）
例1－例7习题2－3：
5,6,7，11不用做，其余全做，4,12重点做
第4节：
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）
由参数方程确定的函数的求导法（数三不用看），变限积分的求导法，隐函数的求导法（相关变化率不用看）例1－例10
习题2－4：
9,10,11,12均不用做，数三5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做
第5节：
函数的微分
（考小题）
函数微分的定义，微分运算法则，微分几何意义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲不作要求）
例1－例6习题2－5：
5,6,7,8，9,10，11,12均不用做，其余全做
自我小结
总复习题二：
4,10,15,16,17,18均不用做，其余全做，2,3,6,7,14重点做，数三不用做12,13
第二章测试题
第三章微分中值定理与导数的应用（8天）考大题难题经典章节
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第1节：
微分中值定理（最重要，与中值定理应用有关的证明题）
微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义）（四个定理要会证明，及其重要）
例1，习题3－1：
除了13,15不用做，其余全部重点做
1．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．
4．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
5．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
第2节：
洛必达法则（重要，基本必考）
洛比达法则及其应用（洛比达法则要会证明，重要）
例1－例10，习题3－2：
全做，1,3,4重点做
第3节：
泰勒公式（掌握其应用）
泰勒中值定理，麦克劳林展开式
（可不看公式的证明）
例1－例3习题3－3：
8,9不用做，其余全做
10
（1）
（2）（3）重点做
第4节：
函数的单调性与曲线的凹凸区间（考小题）
求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐近线（选择题及大题会用到）例1－例12
习题3－4：
3
（1）
（2）（5）,5
（1）
（2），8
（1）
（2），9
（1）（3）（5），10
（2）不用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做
第5节：
函数极值与最大值最小值（考小题为主）
函数的极值（一个必要条件,两个充分条件）,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题
例5,6,7不用看习题3-5:
1
（2）（3）（6）（9）8,9,10,11,12,13,14，15,16均不用做，其余全做
第6节：
函数图形的描绘（重要）
简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。
例1－例3习题3－6：
2－5
第7节：
曲率（数三不作要求，仅数一、数二要求）
曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题
（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看）
例1－例3,习题3－7：
1－6
第8节：
方程近似解（不用看）
自我小结
总复习题三：
数一、数二全做，数三15不用做；其中2
（2）,3,7,8,9,10,（3）（4），11（3），12,17,18,20重点做
第三章测试题总结
第四章不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第一节：
不定积分的概念与性质（重要）
原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关系），基本的积分公式，原函数的存在性，原函数的几何意义和力学意义（数三不作要求）
例1－例16习题4－1：
1，2,3,4,6
1．理解原函数概念，理解不定积分的概念．
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分换元积分法与分部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．
第二节：
换元积分法（重要，第二类换元积分法更为重要）
不定积分的换元积分法，第二类换元法
例1－例27
习题4－2：
1,2
（1）
（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做
第三节：
分部积分法
（考研必考）
不定积分的分部积分法
例1－例10习题4－3：
1－24
第四节：
有理函数积分
（重要）
有理函数积分法，可化为有理函数的积分，
例1－例8习题4－4：
1－24
不定积分计算
总复习题四：
1－40
第5节:
积分表的使用
（不用看）
自我小结
总结本章
第五章定积分（6天）（重要，考研必考）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第一节：
定积分的概念与性质（理解）
定积分的概念与性质（可积存在定理）（定积分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分中值定理要会证明）
（定积分近似计算不用看）
习题5－1：
1,2,3,6,8,9,10均不用做，其余全做，5,11,12重点做
1．理解原函数概念，理解定积分的概念．
2．掌握定积分的基本公式，掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．
3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．
4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式．
5．了解广义反常积分的概念，会计算广义反常积分．
第二节：
微积分基本公式（重要）
微积分的基本公式积分上限函数及其导数（极其重要，要会证明）牛顿－莱布尼兹公式（重要，要会证明）
例5不用做，例6极其重要，记住结论习题5－2：
6
（1）
（2）（4）（5）（6）（7）,7,8均不用做，其余全做，2数三不做，9
（2），10,11,12,13重点做
第三节：
定积分的换元积分法与分部积分法（重要，分部积分法更为重要）
定积分的换元法与分部积分法
例1－例10例5，例6，例7，例12经典例题，记住结论
习题5－3：
1
（1）
（2）（3）（6）（12）（14）（15）（16），7
（1）（3）（8）（9）
不用做，其余全做，重点做1（4）（7）（17）（18）（25）（26）,2,6,7（7）（10）（12）（13）
第4节：
反常积分（考小题）
反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分例1－例5
习题：
5－4：
全做，3题结论记住
第五节：
反常积分的审敛法（不用看）
总复习题五：
1（3），2（3）（4）（5）,15,16不用做，其余全做，重点做3,5,7,8,9,10
（1）
（2）（3）（8）（9）（10）,13,14,17
自我小结
总结本章
第6章定积分的应用（4天）（考小题为主）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第一节：
定积分的元素法（理解）
定积分元素法
1.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值等．
第二节：
定积分在几何学上的应用（面积最重要）
一元函数积分学的几何应用（求平面曲线的弧长与曲率（仅数一看），求平面图形的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积（数三不作要求），求旋转面的面积定积分的几何应用相关计算
定积分应用的一些计算习题6－2：
数一全做；数二、数三21-30不用做
第三节：
定积分在物理学上的应用
（数三不用看，数一数二了解）
定积分的物理应用（用定积分求引力，用定积分求液体静压力，用定积分求功）。
综合题目的求解。
（数三不用看，数一数二了解）
例1－例5习题6－3：
数一、数二做
总复习题六：
数一全做；数二6不用做；数三只做3，4,5
自我小结
总结本章
第七章常微分方程（9天）（本章对数二相对重要，必考章节）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第1节：
微分方程基本概念
（了解）
微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解，
例1、2、3、4，（例2数三不用看）
习题7-1：
1（3）（4），2
（2）（4），3
（2），4
（2）（3），5
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．
4．会用降阶法解下列微分方程：
和
.
5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．
6．掌握二阶常系数线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
8．会解欧拉方程．
9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．
第2节：
可分离变量的微分方程（理解）
可分离变量的微分方程的概念及其解法
例1、2、3、4，（例2,3,4数三不作要求）
习题7-2：
1，2
第3节：
齐次方程
（理解）
一阶齐次微分方程的形式及其解法
（例2不用看，可化为齐次的方程不用看）
习题7－3：
1，2
第4节：
一阶线性微分方程
（重要，熟记公式）
一阶线性微分方程、伯努利方程（仅数一考，记住公式即可），
例1，3，4，习题7-4：
1，2，3，8仅数一做
第五节：
可降解的高阶微分方程（仅数一、数二考，理解）
全微分方程（会求全微分方程）
会用降阶法解下列微分方程：
和
，例1—6
习题：
7-5：
数三不用做、数一数二只做1,2
第六节：
高阶线性微分方程（理解）
线性微分方程解的结构（重要）（微分方程的特解、通解）（二阶线性微分方程举例不用看；常数变易法不用看）定理1,2，3,4重点看
习题7-6：
1，3,4
第七节：
常系数齐次线性微分方程（最重要，考大题）
特征方程，微分方程通解中对应项
例1，2，3，6，7（例4,5不用做）
习题7－7：
1，2
第八节：
常系数非齐次线性微分方程（最重要，考大题）
会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程
例1－4，（例5不用看）
习题7－8：
1，2,6重点做
第九节：
欧拉方程（仅数一考，了解）
欧拉方程的通解
习题7－9：
数一只做5,8
（第十节不用看）
自我小结
总复习题十二：
1
（1）
（2）（4），2
（2），3
（1）（3）（5）（7）（8），4（3）（4），5，7,8，10其中8,10仅数一做
第八章空间解析几何和向量代数（4天）（仅数一考，考小题，了解）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第一节：
向量及其线性运算
向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模、方向、投影
例1－例8习题7－1：
11.12.13.15.17.18.19
1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.
2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.
3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.
4.掌握平面方程和直线方程及其求法.
5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.
6．会求点到直线以及点到平面的距离.
7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.
8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.
9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.
第2节：
数量积,向量积,混合积
向量的数量积,向量的向量积
例1－例7习题7－2:
3,4,6,9,10
第3节：
曲面及其方程
曲面方程旋转曲面、柱面、二次曲面。
旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程）
例1－例5习题7－3：
2.5.6，8，9，10
第4节：
空间曲线及其方程
空间直线及其方程（空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角）
例1－例4习题7－4：
2，3，5，6
第5节：
平面及其方程
平面,平面方程，两平面之间的夹角
例1－例5
习题7－5：
1，2，3，5，6，9
第6节：
空间直线及方程
直线与直线的夹角以及平行,垂直的条件,点到平面和点到直线的距离,球面,母线平行于坐标轴的柱面
例1－例7习题7－6：
1－9，11，12
自我小结
总复习题七：
1，9－21
第九章多元函数微分法及其应用（10天）（考大题的经典章节，但难度一般不大）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第一节：
多元函数基本概念（了解）
二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理
例1—8，习题8—1：
2，3，4，5，6，8
1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.
2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．
3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．
4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.
5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．
6．会用隐函数的求导法则.
7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．
8．了解二元函数的二阶泰勒公式．
9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．
第二节：
偏导数（理解）
偏导数的概念，高阶偏导数的求解（重要）
例1—8，习题8—2：
1，2，3，4，6，9
第三节：
全微分（理解）
全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件
（全微分在近似计算中应用不用看）
例1，2，3，习题8—3：
1，2，3，4
第四节：
多元复合函数的求导法则（理解，重要）
多元复合函数求导，全微分形式的不变性
例1—6，习题8—4：
1—12
第5节：
隐函数的求导公式
（理解，小题）
隐函数存在的3个定理（方程组的情形不用看）
例1—4，习题8—5：
1—9
第6节：
多元函数微分学的几何应用
（仅数一考，考小题）
了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程（一元向量值函数及其导数不用看）
例2—7，习题8—6：
1—9
第七节：
方向导数与梯度（仅数一考，考小题）
方向导数与梯度的概念与计算
例1—5，习题8—7：
1—8，10
第八节：
多元函数的极值及其求法（重要，大题的常考题型）
多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值
例1－9，习题8—8：
1—10
第九节：
二元函数的泰勒公式（仅数一考，了解）
n阶泰勒公式，拉格朗日型余项
（极值充分条件的证明不用看）
（第十节最小二乘法不用看）
例1，习题8—9：
1，2，3
自我小结
总复习题八：
1—3，5，6，8，11—19
本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格（合格成绩为80分以上），如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。
第十章重积分（7天）（重要，数二、数三相对于数一，本章更加重要，数二、数三基本必考大题）
学习内容
复习知识点与对应习题
大纲要求
第1节：
二重积分的概念与性质
（了解）
二重积分的定义及6个性质
习题9—1：
1，4，5
1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理．
2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．
3．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（曲面面积、质量、质心、形心、转动惯量、引力）．
第二节：
二重积分的计算法（重要，数二、数三极其重要）
会利用直角坐标、极坐标计算二重积分
（二重积分换元法不用看）
例1－6，习题9—2：
1，2，4，6，7，8，12，14，15，16）
第三节：
三重积分（仅数一考，理解）
三重积分的概念，利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分的计算（三重积分的计算重要）
例1－4，习题9—3：
1，2，4—10
第四节：
重积分的应用（仅数一考，了解）
曲面的面积、质
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