中考数学一轮复习题型分类同步练习卷整式及其运算含答案.docx
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中考数学一轮复习题型分类同步练习卷整式及其运算含答案
整式及其运算
考点一整式的有关概念
例1．（2019•巴彦淖尔模拟）若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（ ）
A．3，5B．2，3C．2，5D．3，﹣2
【变式训练】
1．（2018•铜仁市模拟）单项式2πr3的系数是（ ）
A．3B．πC．2D．2π
2．（2019•大城县一模）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额
B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力
D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数
考点二幂的运算
例2．（2019•长安区三模）下列是摘录某学生的一次作业：
①（a2）3＝a6；②（﹣x）3÷（﹣x）＝x2；③3a+2b＝5ab；④（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2
其中结果错误的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【变式训练】
1．（2019•景泰县校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a4B．a4+a3＝a7
C．（a2）5＝a7D．（a﹣b）2＝a2+b2
2．（2019•长春四模）计算：
（﹣m）3•m4＝ ．
3．（2019•石家庄一模）已知3x＝5，3y＝2，则3x+y的值是 ．
考点三列代数式
例3．（2019•杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元（用含m、a的代数式表示）
【变式训练】
1.（2019•延边州二模）2019年国内航空公司规定：
旅客乘机时，免费携带行李箱的重量不超过20kg．若超过20kg，则超出的重量每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票小明的爸爸从长春飞到北京，机票原价是m元，他带了40kg行李，小明的爸爸应付的行李票是
（用含m的代数式表示）．
2．（2019•吉林二模）某微商平台有一商品，标价为a元，按标价5折再降价30元销售，则该商品售价为 元．
3．（2019•江西模拟）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若实数a用代数式表示为
，实数b用代数式表示为
，则a﹣b的值为 ．
考点四整式的运算
例4（2018•藁城区模拟）对于任何实数，我们规定符号：
ad﹣bc，如
1×5﹣2×3＝﹣1．
（1）按这个规定计算：
；
（2）如果
0，求x的取值范围，并在如图的数轴上表示．
【变式训练】
1．（2019•汉阳区模拟）计算：
4x4•x2﹣（﹣2x2）3﹣3x8÷x2
2．（2019•汉阳区校级模拟）计算，3x3•x2y﹣8x7y÷x2+4（x2）2•xy
3．（2018•海南模拟）计算
（1）2sin45°+（
）0﹣|
|
（2）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
考点五整式的化简求值
例5．（2019•东城区二模）如果x﹣y
，那么代数式（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）的值是 ．
【变式训练】
1．（2019•顺义区二模）已知a2+2a＝﹣2，则2a（2a+1）+（a+4）2的值为 ．
2.（2019•周口二模）先化简，再求值：
[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中x＝﹣4，y＝﹣6．
考点六代数式的变化规律
例6．（2019•都江堰市模拟）设a1、a2、a3…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2019等于 ．
【变式训练】
1．（2019•云南模拟）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1
，a2
，a3
，…an
，则a2019＝ ．
2．（2019•邹平县模拟）观察下列关于自然数的等式：
12﹣4×02＝1①
32﹣4×12＝5②
52﹣4×22＝9③
根据上述规律解决下列问题：
猜想第n个等式（用含n的式子表示） ．
3．（2019•娄底模拟）记Sn＝a1，+a2+…an，令Tn
，则称Tn为a1，a2，…，an这列数的“凯森和”，已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么1，a1，a2，…a500的“凯森和”为 ．
考点七整式的综合应用
例7．（2017•胶州市一模）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：
利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：
如何利用图形几何意义的方法证明：
13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：
1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：
B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：
2×2×2＝23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：
13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：
13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：
13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【变式训练】
1.（2019•越城区一模）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形．
（1）求拼成新矩形的周长（用含m或n的代数式表示）；
（2）当m＝7，n＝3时，求拼成新矩形的面积．
2．（2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：
a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
3．（2018•贵阳）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m＝7，n＝4，求拼成矩形的面积．
参考答案
考点一整式的有关概念
例1．（2019•巴彦淖尔模拟）若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（ ）
A．3，5B．2，3C．2，5D．3，﹣2
【分析】直接利用同类项的定义分析得出答案．
【解析】∵单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，
∴2m﹣1＝3，n＝5，
解得：
m＝2，
故m，n的值分别为：
2，5．
故选：
C．
点评：
此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2018•铜仁市模拟）单项式2πr3的系数是（ ）
A．3B．πC．2D．2π
【答案】D．
【解析】单项式2πr3的系数是2π，
故选：
D．
点评：
此题主要考查了单项式的系数，熟练掌握单项式系数的确定方法即可得出结论．
2．（2019•大城县一模）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额
B．若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力
D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数
【答案】D
【解析】A、若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额，正确；
B、若m表示一个正方形的边长，则4m表示这个正方形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则（4×10+m）表示这个两位数，则此选项错误；
故选：
D．
点评：
本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．
考点二幂的运算
例2．（2019•长安区三模）下列是摘录某学生的一次作业：
①（a2）3＝a6；②（﹣x）3÷（﹣x）＝x2；③3a+2b＝5ab；④（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2
其中结果错误的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】（a2）3＝a6，故①错误；
②（﹣x）3÷（﹣x）＝（﹣x）2＝x2，故②错误；
3a和2b不能合并，故③正确；
（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，故④正确；
即结果错误的有③④，
故选：
C．
点评：
本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2019•景泰县校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a4B．a4+a3＝a7
C．（a2）5＝a7D．（a﹣b）2＝a2+b2
【答案】A
【解析】a•a3＝a4，故选项A符合题意；
a4与a3不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；
（a2）5＝a10，故选项C不合题意；
（a﹣b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．
故选：
A．
2．（2019•长春四模）计算：
（﹣m）3•m4＝ ．
【答案】﹣m7．
【解析】（﹣m）3•m4＝﹣m7，
故答案为：
﹣m7
点评：
此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．
3．（2019•石家庄一模）已知3x＝5，3y＝2，则3x+y的值是 ．
【答案】10
【解析】∵3x＝5，3y＝2，
∴原式＝3x•3y＝10，
故答案为：
10
点评：
此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点三列代数式
例3．（2019•杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元（用含m、a的代数式表示）
【答案】0.17am．
【解析】由题意可得，
超市获得的利润是：
a（1+30%）×[m（1﹣10%）]﹣am＝0.17am（元），
故答案为：
0.17am．
点评：
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式训练】
1.（2019•延边州二模）2019年国内航空公司规定：
旅客乘机时，免费携带行李箱的重量不超过20kg．若超过20kg，则超出的重量每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票小明的爸爸从长春飞到北京，机票原价是m元，他带了40kg行李，小明的爸爸应付的行李票是
（用含m的代数式表示）．
【答案】0.3m元．
【解析】由题意可得，
小明的爸爸应付的行李票是：
（40﹣20）m×1.5%＝0.3m（元），
故答案为：
0.3m元．
2．（2019•吉林二模）某微商平台有一商品，标价为a元，按标价5折再降价30元销售，则该商品售价为 元．
【答案】（0.5a﹣30）
【解析】由题意可得，
该商品的售价为：
a×0.5﹣30＝（0.5a﹣30）元，
故答案为：
（0.5a﹣30）．
3．（2019•江西模拟）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若实数a用代数式表示为
，实数b用代数式表示为
，则a﹣b的值为 ．
【解析】∵实数a用代数式表示为
，实数b用代数式表示为
，
∴a﹣b
（
）
，
故答案为：
．
考点四整式的运算
例4.（2018•藁城区模拟）对于任何实数，我们规定符号：
ad﹣bc，如
1×5﹣2×3＝﹣1．
（1）按这个规定计算：
；
（2）如果
0，求x的取值范围，并在如图的数轴上表示．
【分析】
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，求出x的范围，表示在数轴上即可．
【解析】
（1）根据题中的新定义得：
原式
（﹣6）﹣（﹣2）3×2＝﹣3+16＝13；
（2）根据已知的不等式变形得：
（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝2x﹣2，
由2x﹣2≤0，得x≤1，
点评：
此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2019•汉阳区模拟）计算：
4x4•x2﹣（﹣2x2）3﹣3x8÷x2
【解析】原式＝4x6+8x6﹣3x6＝9x6．
点评：
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2019•汉阳区校级模拟）计算，3x3•x2y﹣8x7y÷x2+4（x2）2•xy
【解析】原式＝3x5y﹣8x5y+4x4•xy
＝3x5y﹣8x5y+4x5y
＝﹣x5y．
点评：
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
3．（2018•海南模拟）计算
（1）2sin45°+（
）0﹣|
|
（2）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
【解析】
（1）原式＝2
1
3
1
3
＝4；
（2）原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy．
考点五整式的化简求值
例5．（2019•东城区二模）如果x﹣y
，那么代数式（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）的值是 ．
【分析】根据x﹣y
，可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解析】∵x﹣y
，
∴（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）
＝x2+4x+4﹣4x+y2﹣2xy
＝x2﹣2xy+y2+4
＝（x﹣y）2+4
＝（
）2+4
＝2+4
＝6，
故答案为：
6．
点评：
本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
【变式训练】
1．（2019•顺义区二模）已知a2+2a＝﹣2，则2a（2a+1）+（a+4）2的值为 6 ．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解析】原式＝4a2+2a+a2+8a+16＝5a2+10a+16＝5（a2+2a）+16，
∵a2+2a＝﹣2，
∴原式＝﹣10+16＝6，
故答案为：
6
2.（2019•周口二模）先化简，再求值：
[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中x＝﹣4，y＝﹣6．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷4y
＝（4xy﹣2y2）÷4y
＝x
y，
当x＝﹣4，y＝﹣6时，
原式＝﹣4+3＝﹣1．
考点六代数式的变化规律
例6．（2019•都江堰市模拟）设a1、a2、a3…是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2019等于 ．
【分析】由4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1＝an+2，根据a1＝1，分别求出
a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，进而发现规律an＝2n﹣1，即可求出a2018＝4035
【解析】∵4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，
∴（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1﹣1＝an+1，
∴an+1＝an+2，
∵a1＝1，
∴a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，
…，
∴an＝2n﹣1，
∴a2019＝4037．
故答案为4037．
【变式训练】
1．（2019•云南模拟）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1
，a2
，a3
，…an
，则a2019＝ 5 ．
【分析】观察数据可知，a1
，a2
，a3
5，a4
，…，从第一项开始3个一循环，再用2019除以3得出余数即可求解．
【解析】观察数据可知，a1
，a2
，a3
5，a4
，…，从第一项开始3个一循环，
2019÷3＝673，
故a2019＝5．
故答案为：
5．
2．（2019•邹平县模拟）观察下列关于自然数的等式：
12﹣4×02＝1①
32﹣4×12＝5②
52﹣4×22＝9③
根据上述规律解决下列问题：
猜想第n个等式（用含n的式子表示） ．
【分析】根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式，本题得以解决．
【解析】∵12﹣4×02＝1＝4×1﹣3①
32﹣4×12＝5＝4×2﹣3②
52﹣4×22＝9＝4×3﹣3③
……
∴第n个等式（用含n的式子表示）是（2n﹣1）2﹣4（n﹣1）2＝4n﹣3，
故答案为：
（2n﹣1）2﹣4（n﹣1）2＝4n﹣3
3．（2019•娄底模拟）记Sn＝a1，+a2+…an，令Tn
，则称Tn为a1，a2，…，an这列数的“凯森和”，已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么1，a1，a2，…a500的“凯森和”为 2001 ．
【分析】先根据已知求出T500的值，再设出新的凯森和Tx，列出式子，把得数代入，即可求出结果．
【解析】∵Tn
，
∴T500＝2004，
设新的“凯森和”为Tx，
501×Tx＝1×501+500×T500，
Tx＝（1×501+500×T500）÷501
＝（1×501+500×2004）÷501
＝1+500×4
＝2001．
故答案为：
2001．
考点七整式的综合应用
例7．（2017•胶州市一模）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：
利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：
将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：
如何利用图形几何意义的方法证明：
13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：
1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：
B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：
2×2×2＝23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：
13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：
13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：
13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【分析】
（1）尝试解决：
如图：
边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
（2）尝试解决：
如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33＝62；
（3）问题拓广：
由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，进一步化简即可．
【解析】
（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：
B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：
2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：
13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：
62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n
n（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[
n（n+1）]2．
故答案为：
[
n（n+1）]2．
【变式训练】
1.（2019•越城区一模）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新矩形．
（1）求拼成新矩形的周长（用含m或n的代数式表示）；
（2）当m＝7，n＝3时，求拼成新矩形的面积．
【分析】
（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．
（2）把m＝7，n＝3代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可．
【解析】
（1）新矩形的长为：
m+n，
新矩形的宽为：
m﹣n，
新矩形的周长＝2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m．
（2）新矩形的面积为：
（m+n）（m﹣n），
把m＝7，n＝3代入（m+n）（m﹣n）＝10×4＝40，
即拼成新矩形的面积是40．
点评：
此题考查列代数式问题，关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．
2．（2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计
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